数字信号处理（第3版）课件 第04章 LTI系统的变换域分析

第4章LTI系统的变换域分析4.1系统函数4.2频率响应4.3差分方程、系统函数和频率响应间的关系4.4广义线性相位系统的变换域分析4.1系统函数

1.定义对LTI系统2.差分方程与系统函数间的关系差分方程对应的系统函数是有理系统函数；零点和极点个数相等；当差分方程或H(z)是实系数或h[n]是实序列时，复数零点（或极点）两两共轭。3.收敛域与系统类型间的关系（1）因果系统

因果LTI系统的h[n]是因果序列，z变换的ROC包括z＝∞（是系统因果的充要条件）（2）稳定系统

稳定LTI系统的h[n]绝对可和，z变换的ROC包括单位圆（是系统稳定的充要条件）（3）因果稳定系统

ROC是从单位圆内的某个圆到∞的整个区域，表示成其中。

所以H(z)的全部极点必须都在单位圆以内（是系统因果稳定的必要条件）1或者ROC是整个平面，无极点，例如h[n]=δ[n]1因果稳定系统的极点和ROC举例h[n]有限长，ROC是整个平面（z=0和∞可能例外），所以一定包括|z|=1（一定稳定），并且除了z=0和∞没有其他极点（又称全零点型系统）。可以推断出H(z)化简后是有限项整式，差分方程无递归或有递归。因果FIR系统只有z=0的极点。注意：互相抵消的零点和极点不能算作系统的零点和极点。（4）FIR系统

1z=1处的零点和极点互相抵消，只有极点z=0,所以是因果FIR通过对H(z)添加相同的零点和极点，可以构造无穷多的差分方程举例h[n]无限长，所以ROC不是整个平面，又因为ROC以极点为界，所以z平面上一定有除z=0和∞以外的极点。ROC可以是一个圆的内部、外部或圆环，不一定包含单位圆，即系统不一定稳定。可以推断出H(z)一定是有理分式（不可以化简成有限项整式），差分方程一定有递归。如果除z=0外没有其他零点，则称全极点型系统：（5）IIR系统IIR与FIR的比较

FIR IIRh[n] 有限长 无限长y[n]由x[n]加权求和 有限项 无限项实现 卷积（无递归）

差分方程（有递归）

或差分方程（有递归）稳定性

一定稳定 不一定稳定H(z) 除原点和无穷远外无有不位于原点和无穷远其他极点的极点

（ROC几乎是整个平面）例题4.逆系统

如果两个系统的系统函数满足要使

满足,H(z)和Hi(z)的ROC必须有交集则称二者互为逆系统

举例举例（1）不是所有系统均有逆系统，

例如:理想选频滤波器;

y[n]=nx[n];y[n]=Re{x[n]}。具有有理系统函数的系统均有逆系统。（2）逆系统可能不唯一。（3）因果稳定系统的逆系统不一定因果稳定。原系统和逆系统均因果稳定的条件是：零点和极点均在单位圆内。说明零点和极点都在单位圆内的因果稳定系统为最小相位系统，系统函数用表示；极点全在单位圆内，而零点全在单位圆外的因果稳定系统为最大相位系统，系统函数用表示。相应的时域序列分别称最小相位序列和最大相位序列

5.最小相位系统举例4.2频率响应

1.定义幅度响应或增益

相位响应或相移

对LTI系统任何稳定系统都有一个有限且连续的频率响应幅度响应或增益幅度平方函数对数幅度，以dB计的增益以dB计的幅度衰减幅频特性对数幅度在工程上更常用。优点：（1）动态范围大；（2）系统级联时增益做加法而不是乘法。相位响应，相移主值相位群延迟连续相位相频特性2.频率响应的物理意义对LTI系统在整个区间幅度响应为常数的系统是没有幅度失真的系统，并被定义为全通系统。在整个区间相位响应全为零的系统是没有相位失真的系统，称零相位系统。而相位是的线性函数的系统称为线性相位系统。幅度响应对信号的幅度谱进行整形；相位响应对信号的相位谱进行调整；群延迟让信号作时域的移位（单位是采样点）幅度响应是常数，群延迟是常数nd，任何频率成分都延迟nd点，所以信号整体平移。理想延迟系统当相位是线性函数时群延迟是常数，所有频率成分延迟相同采样点。延迟失真(线性相位失真)被认为是很轻微的相位失真，可以接受。无幅度失真无相位失真举例滑动平均系统

只有幅度失真，无相位失真举例模拟系统：全通系统的群延迟单位脉冲响应（产生弥散）全通系统无幅度失真，只有相位失真举例图片出自《信号与系统》第2版，奥本海默(1)对于输入输出是是LTI系统的特征函数

是其对应的特征值(2)对于输入输出是延迟的采样点数按复指数信号分解信号和h[n]的意义特征函数法求输出例题稳态响应 暂态响应

（3）对于因果输入对于输入是因果序列的情况，时间足够长后，稳定系统的输出为稳态响应，暂态响应消失或可忽略不计可见暂态响应随着时间推移越来越小，直至消失或小到可以忽略不计：所以时间足够长后，对因果输入信号的输出为稳态响应，暂态响应最终消失的充分条件是系统稳定。从数学上理解暂态响应输入因果正弦序列，分别经过FIR和IIR，观察稳态响应和暂态响应FIR的输出IIR的输出输入信号n=0:100; x=sin(0.1*pi*n); subplot(3,1,1); stem(n,x,'.');h=ones(1,10)/10; y=filter(h,1,x); subplot(3,1,2); stem(n,y,'.');A=[10.810.810.81]; B=[10101]; z=filter(B,A,x); subplot(3,1,3); stem(n,z,'.');举例特征函数法、时域极限法求稳态响应例题3.理想选频滤波器的频率响应幅度分段恒定,线性相位或零相位b理想选频滤波器的单位脉冲响应h[n]双边无限长，非因果非稳定，无法用卷积实现，H(z)不收敛，无法用递归的差分方程实现，所以理想选频滤波器不是在计算上可实现的。求输入信号x[n]经增益为1，截止频率为0.5π的理想低通滤波后的输出信号y[n]。

例题4.3有理系统函数的频率响应

1.公式法举例原点的零点/极点对相位的影响2.几何法（根据零点和极点的位置确定频响）零点矢量的模极点矢量的模B不影响幅度的基本特征原点处的零/极点不影响幅度离零点近的ω处的幅度响应为极小值，单位圆上的零点使幅度为0；离极点近的ω处的幅度响应为极大值。圆点处的零极点不影响幅度，但影响相位。演示如果a<0,则是高通演示举例零极点图幅度响应梳状滤波器举例B=1；A=[1,-0.5]figure(1);zplane(B,A)figure(2);freqz(B,A)figure(3);grpdelay(B,A,10)3.matlab法举例4.全通系统幅度响应是常数无幅度失真无相位失真理想延迟系统(FIR)举例无幅度失真有相位失真

举例其中A是正常数（定义为正数是为了使相位为负，群延迟大于0），dk是实数,ek是复数全通系统的零点和极点互为共轭倒数;若实系数系统函数，则零点对互为共轭，极点对互为共轭。具有实系数系统函数的IIR全通系统的一般形式

YYYN判断以下系统是否是全通系统z=∞有零点a+bj1/(a-bj)a+bj1/(a+bj)rejθ(1/r)ejθ例题例题所以可采用级联全通系统（即把极点反演）的方式，将不稳定系统变成幅度响应相同的稳定系统。因果不稳定因果稳定稳定和全通分解：任何因果不稳定系统可以分解成因果稳定系统和全通系统的级联全通系统举例本质就是将原系统单位园外的所有极点取共轭倒数变到单位圆内变成最小相位系统.不同系统中互为共轭倒数的零点（极点）对幅度响应的作用相同最小相位和全通分解：任何单位圆上无零点和极点的有理系统函数可以分解成最小相位系统和全通系统的级联举例本质就是将原系统单位园外的所有零点和极点取共轭倒数变到单位圆内变成最小相位系统.群延迟大于0群延迟最小相位延迟最小若

是因果稳定的非最小相位失真系统失真系统级联补偿系统后整个系统是全通系统，无幅度失真最小相位全通分解的应用

补偿非最小相位系统的幅度失真3.补偿相位失真（相位均衡，相位校正）2.补偿幅度失真有相位失真补偿相位失真无相位失真（线性相位系统）有幅度失真补偿幅度失真（最小相位系统）无幅度失真全通系统的应用1.将不稳定系统变成稳定系统不稳定稳定4.1-4.3小结4.1系统函数零点极点ROC特点：（1）零点和极点个数相等.（2）若实系数H(z)或h[n]是实序列,则复数零点(或极点)两两共轭.（3）若因果,则ROC包括z=∞.（4）若稳定,则ROC包括|z|=1.（5）若因果稳定,则极点全在单位圆内.（6）FIR:没有原点和无穷大以外的极点.（7）IIR:有原点和无穷大以外的极点.逆系统、最小相位系统的定义用途：（1）根据h[n]或差分方程求系统的输出（人工求解）（2）h[n]或卷积式或H(z)

差分方程（计算机递推求解系统输出）（3）根据零点极点判断系统的类型：因果、稳定、FIR/IIR、全通、最小相位、广义线性相位等（4）分析系统的频率响应：公式法、几何法1.定义：幅频特性:

相频特性:2.物理意义:(1)

(2)

特征函数法求输出；稳态响应、暂态响应。

(3)时域卷积法或频域相乘法求输出。3.理想选频滤波器的周期性、零相位或线性相位，无法实现4.2频率响应4.3有理系统函数的频率响应：公式法和几何法用公式法和几何法分析全通系统稳定和全通分解、最小相位和全通分解，及其应用4.4广义线性相位系统的变换域分析4.4.1定义4.4.2充分条件4.4.3因果广义线性相位FIR系统4.4.1定义

线性相位系统

理想延迟系统举例具有线性相位的理想低通滤波器举例广义线性相位系统线性相位和广义线性相位系统统称为常数群延迟系统

振幅广义相位希尔博特变换器举例因果滑动平均系统幅度（不是振幅）幅度过零点时相位突变π，所以是折线，但通带内是直线即严格的线性相位；而广义连续相位是直线。相位（不是广义相位）举例（广义）线性相位和非（广义）线性相位低通滤波的比较举例1.线性相位及广义线性相位的定义2.线性相位及广义线性相位选频滤波器的优点：对所有通带内频率成分在时域延迟相同采样点4.4.1小结4.4.2充分条件LTI系统是广义线性相位的两组充分条件等效表达充分条件非必要条件

设h[n]实数证明

广义线性相位理想低通滤波器的单位脉冲响应举例写出以下系统的广义相位和群延迟例题h[n]对称或反对称则广义线性相位：广义相位=-αω+β

其中α=对称中心，β=0,若h[n]对称

π/2,

若h[n]反对称4.4.2小结4.4.3因果广义线性相位FIR系统分类1.充分条件nM=4M/2对称中心01nM=5M/2对称中心01nM=1M/2对称中心0-11nM=2M/2对称中心0-11举例I类II类III类IV类2.频率响应

（有下划线的对应III和IV类）广义相位广义幅度（振幅）下划线上的内容只有时域反对称时才有下划线上的内容只有时域反对称时才有证明振幅证明见习题4-33振幅广义相位取主值ππ举例关注红色小圈：振幅取值为0的位置如果h[n]是对称或反对称的有限长实数序列,则H(z)具有如下形式:

3.系统函数的零点特点证明

II类,一定有零点z=-1.III,类,一定有零点

z=1和z=-1.IV,类,一定有零点

z=1.(1)I类(2)II类(3)III类(4)IV类H(1)=H(1)H(-1)=H(-1)H(1)=H(1)H(1)=-H(1)=0H(1)=-H(1)=0H(-1)=-H(-1)=0H(-1)=-H(-1)=0H(-1)=H(-1)证明I类：II类：III类：IV类：采用几何法，根据系统函数的零点可以得到幅度响应的零值点。与前面采用FT法分析得到的结论相同III举例幅度和相位IIIIV幅度和相位举例四种类型广义线性相位FIR滤波器的应用限制

M偶数

M奇数

低通高通带通带阻低通