3.5 共点力的平衡（原卷版）

3.5共点力的平衡——划重点之初升高暑假预习强化精细讲义知识点1：共点力平衡的条件1.平衡状态物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态.例如，在光滑水平面上匀速滑动的物块、沿斜面匀速下滑的木箱、天花板上静止的吊灯等，这些物体都处于平衡状态。①两种平衡情形（1）物体在共点力作用下处于静止状态.（v=0，a=0）（2）物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态.（v=常数，a=0）②对静止状态的理解"静止"要满足两个条件：v=0，a=0，缺一不可，"保持"某状态与"瞬时"某状态有区别.例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛的物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止。2.共点力作用下的平衡条件在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。表达式∶（Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力）正交分解表达式Fx合=0→F1x+F2x+…+Fnx=0;Fy合=0→F1y＋F2y+…+Fny=0.3.共点力平衡的重要推论（1）二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，则这两个力必定大小相等，方向相反，作用在一条直线上（2）三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反.（3）多力平衡∶如果物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中一个力与其余的力的合力必定等大反向，或其中几个力的合力与其余的力的合力必定等大反向.拉密定理如图所示，在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任一个力与其他两个力夹角正弦值的比值相等，即4.共点力平衡条件的应用有时物体不处于平衡状态，但它可能在某一方向上处于平衡状态.如在光滑水平面上加速运动的物体，在水平方向上受力不平衡，但它在竖直方向上只受重力和支持力这一对平衡力作用，因此它在竖直方向上处于平衡状态。三力汇交原理：当物体受到同平面内不平行的三力作用而平衡时，三力的作用线必汇交于一点。①如果物体在共点力作用下处于平衡状态，则物体所受合力为零，即物体在任一方向上所受的合力都为零。②如果物体只是在某一方向上处于平衡状态，则在该方向上所受合力为零，可以在该方向上应用平衡条件对问题进行分析。5.求解共点力平衡问题的一般步骤（1）根据问题的要求，以计算方便为原则恰当地选取研究对象，使题目中给定的已知条件和待求的未知量通过这个研究对象的平衡条件联系起来。（2）对研究对象进行受力分析，画出受力分析图.（3）通过平衡条件，找出各个力之间的关系，由平衡条件列方程，即Fx合=0，Fy合=0。（4）联立方程求解，必要时对结果进行讨论.解题方法一般先对整体和被隔离物体分别进行受力分析，然后对整体和被隔离物体分别应用平衡条件列方程求解。重难点1：解决静态平衡问题的常用方法静态平衡问题，分析时首先应认真画出各状态物体的受力图，然后根据受力图用正交分解等方法进行运算。1.合成法：如图甲所示，若物体受三个力平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反.一般采用力的合成法，如图乙所示，将F1、F2合成，或采用力的分解法，如图丙所示.然后在同一个三角形里解三角形即可.2.正交分解法：若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法.如分析一静止物体受力步骤如下;（1）如图所示，选取研究对象，建立直角坐标系，以少分解力和容易分解力为原则，尽量不分解未知力（2）将坐标轴之外的力分解成沿x轴方向和沿y轴方向的两个分力。（3）列出x轴和y轴方向上的方程Fx合=0、Fy合=0，求解。3.闭合矢量三角形法：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形.把三个共点力转化为三角形的三条边，然后通过解这一三角形求解平衡问题.如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。【典例1】如图所示，轻绳OA、OB和OP将一只元宵花灯悬挂在P点，花灯保持静止．已知绳OA和OB的夹角为106°，对O点拉力的大小皆为F，sin53°=0.8，cos53°=0.6，轻绳OP对O点拉力的大小为（A．F B．53F C．65【典例2】如图，轻质细杆PQ上固定一个质量为m的小球C，将细杆放置于互成60°角的两光滑平面上，杆球系统恰好处于静止状态，已知右侧平面与水平面成30°角，左侧平面与水平面垂直，△OPQ为等边三角形，OPCQ在同一竖直面内。下列说法正确的是（）A．左侧面对杆的支持力大小为33mg C．右侧面对杆的支持力大小为3mg D．右侧面对杆的支持力大小为【典例3】如图所示，用一根细绳跨过铁钉将一块小黑板悬挂在墙壁上，细绳的两端固定在小黑板边缘两点A、B上。小黑板静止时，铁钉两侧细绳与竖直方向的夹角分别为α、β。细绳质量不计，细绳与铁钉接触处摩擦不计，则关于夹角α、β大小关系正确的是（

）A．若A点高于B点，则α>βB．若A点高于B点，则绳OB段的拉力较大C．不论A点与B点高度关系如何，均有α=βD．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计，平衡时OA与OB的长度一定相等【典例4】（多选）如图所示，质量M=2kg，倾角θ=37∘的斜面放置在水平面上，顶端固定一光滑定滑轮。质量m=1kg的物块通过轻绳跨过定滑轮与轻弹簧相连，弹簧另一端与水平地面相连，轻绳与斜面平行，弹簧保持竖直，弹力大小为8NA．物块所受摩擦力的方向沿斜面向下B．物块所受支持力和绳子拉力的合力方向竖直向上C．地面对斜面的支持力大小为25.2D．地面对斜面的摩擦力大小为0【典例5】（多选）超长春节假期，点燃了旅游热，一些旅游景点悬挂了灯笼。如图所示，一度假村用长度相等的轻绳依次连接了10个质量均为m的灯笼．灯笼1的左端被细绳固定在竖直杆上，左端细绳与竖直杆的夹角为θ=45°。灯笼10的右端被细绳也固定在竖直杆上，右端细绳与竖直杆的夹角也为45°。灯笼5和灯笼6之间的细绳恰好水平。则下列说法正确的是（重力加速度为g）（）A．灯笼5和灯笼6之间的细绳张力的大小为2.5mgB．灯笼5和灯笼6之间的细绳张力的大小为5mgC．灯笼3和灯笼4之间的轻绳与水平方向的夹角α的正切值等于2D．灯笼3和灯笼4之间的轻绳与水平方向的夹角α的正切值等于2重难点2：解决动态平衡问题的常用方法类型一：对于一根绳挂着光滑滑轮，三个力中有两个力是绳的拉力（由于是同一根绳的拉力，两个拉力大小相等），另一个力大小、方向不变的问题，应用解析法.方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系.当受力动态变化时，抓住绳长不变这一点，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。类型二∶物体所受的三个力中，有一个力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其他力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，应用三角形图解法。方法∶先正确分析物体所受的三个力，将三个力首尾相连构成闭合三角形.然后将方向不变的力的矢量延长，物体所受的三个力中有两个力变化而又形成闭合三角形，只不过三角形的形状发生改变，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就会一目了然。类型三∶物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，①另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变;②动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，这两种类型的问题，用辅助圆法。方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作圆，在辅助圆中可画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况.第二种情况以大小不变、方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助圆中可画出一个大小不变、方向改变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。类型四∶物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其他两个力的方向均发生变化，目三个力中没有哪两个力保持垂直关系，但矢量三角形与几何三角形相似的问题，应用相似三角形法。方法∶先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的变化问题进行讨论。【典例6】如图所示，斜面体放在水平面上，A球套在粗细均匀的水平杆上，B球放在光滑斜面上，A、B两球用轻质细线连接。现用水平向左的推力F向左推斜面体，使斜面体缓慢向左移动，A始终保持静止。在斜面体向左移动直至细线与斜面平行过程中，关于线对A球的作用力F1与斜面对B球的作用力F2的大小变化，下列说法正确的是（

）A．F1不断减小，F2不断减小 B．F1不断减小，F2不断增大C．F1不断增大，F2不断减小 D．F1不断增大，F2不断增大【典例7】如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用较链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90∘，现使A．钢丝绳上的拉力逐渐增大B．钢丝绳对滑轮A的作用力变小C．杆BC对B点的作用力先减小后增大D．杆BC对B点的作用力变小【典例8】如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（）A．水平拉力的大小可能保持不变B．M所受细绳的拉力大小可能先减小后增加C．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加D．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加【典例9】如图所示，斜面静止于水平地面。将一个质量为m的小球用轻质细线悬挂于斜面顶端O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的共同作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。开始时，F方向水平。现缓慢增大θ角同时保持α角α>90°不变，直至细线水平。此过程中，斜面始终保持静止，则下列说法正确的是（

A．外力F逐渐增大 B．外力F与细线拉力FTC．地面对斜面的摩擦力逐渐增大 D．地面对斜面的作用力保持不变【典例10】如图（a），某人借助瑜伽球锻炼腿部力量，她曲膝静蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球紧靠竖直墙面，假设瑜伽球光滑且视为均匀球体，整体可简化成如图（b）。当人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角θ<πA．墙面对球的力保持不变B．人受到地面的摩擦力变大C．地面对人的支持力变大D．球对人的压力先增大后减小【典例11】（多选）质量为M的凹槽静止在粗糙水平地面上，内壁为光滑半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽内有一质量为m的小滑块，用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，下列说法正确的是（）

A．推力F先增大后减小B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大C．水平地面对凹槽的摩擦力先增大后减小D．水平地面对凹槽的支持力一直减小【典例12】（多选）如图所示，质最为M的物体用OA和OB两根等长的绳子悬挂在半弧形的支架上，B点固定不动，A点则由D沿圆弧向顶点C移动。在此过程中，两根绳子的张力将（）

A．绳OB拉力逐渐增大 B．绳OB拉力逐渐减小C．绳OA拉力逐渐增大 D．绳OA拉力先减小后增大【典例13】（多选）如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，轻杆的另一端C用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点。某人用竖直向下、大小为F的拉力作用于C点，静止时AOC构成等边三角形。下列说法正确的是（）A．此时弹性轻绳的拉力大小为FB．此时弹性轻绳的拉力大小为2FC．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力增大D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻杆OC对C点的作用力减小一、单选题1．如图所示，两根细线（不可伸长，但长度可以改变）的一端分别固定在M、N两点，另一端系在一个玩具娃娃上，使a段细线恰好水平，b段细线与水平方向的夹角为45°。若使a段细线的悬点缓慢向下移动一小段距离，玩具娃娃的位置不变，则与移动前相比（）

A．a段细线的拉力变小 B．a段细线的拉力不变C．b段细线的拉力变大 D．b段细线的拉力变小

2．现代家居常用吊篮美化室内环境。如图所示，三根等长的轻质铁链对称地悬挂在吊篮架上，另一端接在一起，悬挂在支架上。已知吊篮、花和花盆的总质量为3m。下列说法正确的是（）A．每根铁链的拉力均为mgB．给花浇水后支架对墙面的作用力变大C．改变铁链的长度，铁链的拉力大小不变D．吊篮架对花盆的支持力与花盆的重力是一对相互作用力3．如图所示，质量为M的物块A放在水平桌面上，质量为m的物块B通过轻绳与A相连，水平拉力F（大小未知）作用在物块B上，系统恰好处于平衡状态，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ。已知物块A与桌面之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A．轻绳的拉力大小为mgB．F的大小为mgtanθC．桌面对A的摩擦力大小为μMgD．桌面对A的支持力大小为Mg4．某物理兴趣小组为了模拟机器人“手臂”，制作了如图所示装置，A、B类似于人手臂的关节，能在竖直面内自由转动，前臂BC末端系一重物和一轻绳，轻绳另一端跨过滑轮牵拉前臂。初始时，关节A、B均锁定，前臂BC水平。小组成员解除关节A的锁定，通过拉绳缓慢提升重物，上臂AB转过60°。不计“手臂”重力及一切摩擦，下列说法正确的是（

）A．绳CD拉力先减小后增大B．绳CD拉力先增大后减小C．前臂BC受到的压力大小不变D．前臂BC受到的压力先减小后增大5．放风筝是人们喜爱的体育休闲运动，其中蕴含着丰富的物理学知识。如图，质量为m的风筝在牵线拉力和垂直于风筝平面的恒定风力的作用下处于平衡状态，风筝平面与水平面夹角为30°，牵线与风筝平面夹角为60°，重力加速度大小为g，则风筝所受风力的大小为（）A．mg B．12mg C．3mg6．如图所示，竖直固定放置的光滑大圆环，其最高点为P，最低点为Q。现有两个轻弹簧1、2的一端均栓接在大圆环P点，另一端分别拴接M、N两小球，两小球均处于平衡态。已知轻弹簧1、2上的弹力大小相同，轻弹簧1、2轴线方向与PQ连线的夹角分别30°、60°，则下列说法正确的是（）A．轻弹簧1处于压缩状态，轻弹簧2处于伸长状态B．大圆环对两小球的弹力方向均指向圆心C．M、N两小球的质量比为mD．大圆环对M、N两小球的弹力大小之比为F7．用大小为F的两个力将100块重为G的砖头夹住，如图所示。设所有接触面间的动摩擦因数均为μ，则第27号和28号砖块之间的摩擦力为（）A．23G B．27G C．28G D．2μF8．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为FNA．F逐渐增大，FNB．F逐渐增大，FNC．F先减小后增大，FND．F先减小后增大，FN9．如图，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、B两点，在轻绳中点O系一重物，OB段绳子水平，OA段绳子倾斜。现将轻杆在竖直面内逆时针缓慢转动直到OA段绳子竖直，在此过程中，绳OA、OB的张力FA和F

A．FA先减小后增大，FB一直减小 B．FAC．FA一直减小，FB一直减小 D．FA二、多选题10．有一上表面光滑、下表面粗糙的半圆柱体放在粗糙的水平地面上，其横截面如图所示，质量为m的光滑小球（可视为质点）在水平力F的作用下静止在半圆柱体表面上A点，A点与截面圆心O连线与水平面成30°角，现将F逆时针缓慢旋转至竖直向上，半圆柱体和小球始终