河南省周口市周口学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024-2025学年度高二9月联考数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答題卡一并交回。考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.12.如图，在直三棱柱中，为棱的中点.设，，，则（）A. B. C. D.3.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.C.若，则，的夹角是钝角 D.4.设，向量，，且，，则（）A. B. C.5 D.65.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（）A. B.C. D.6.已知圆锥PO的母线长为2，表面积为，为底面圆心，AB为底面圆直径，为底面圆周上一点，，为PB中点，则的面积为（）A. B. C. D.7.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.8.在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，.若BC边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（）（1）过点，且以为方向向量的空间直线的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为.现已知平面，，，则（）A. B. C. D.11.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A.两条异面直线和所成的角为B.直线与平面ABCD所成的角等于C.点到平面的距离为D.四面体的体积是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，四棱柱为正方体.①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为.则上述结论正确的是________.（填序号）13.已知空间向量，，，若，，共面，则mn的最小值为________.14.设空间向量，，是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的x，y，的最小值是2，则的最小值是________。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点.（1）求的值；（2）证明：C，E，F，G四点共面.16.（15分）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.（1）求线段的长；（2）求证：.17.（15分）已知空间中三点，，.（1）若向量与平行，且，求的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量；（3）求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积.18.（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过作，交AD于，连PO.（1）求证：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段PA上存在一点，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.19.（17分）将菱形ABCD绕直线AD旋转到AEFD的位置，使得二面角的大小为，连接BE，CF，得到几何体.已知，，，分别为AF，BD上的动点且.（1）证明：平面CDF；（2）求BE的长；（3）当MN的长度最小时，求直线MN到平面CDF的距离.

2024-2025学年度高二9月联考数学参考答案及评分意见1.D【解析】零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故①正确；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等.但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；对于命题④，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故④错误.故选D.2.A【解析】由題意可得.故选A.3.B【解析】对于A，若，，则，不一定垂直，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，若，夹角为，则成立，故C错误，对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误，故选B.4.D【解析】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选D.5.B【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点，则，平面的法向量为，，.故选B.6.A【解析】设底面圆的半径为，则，解得或（舍去），则，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，故，，所以，，故，所以，所以.故选A.7.C【解析】以为坐标原点，，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，，设平面PMN的法向量为，则令得，，故.因为，故平面PMN，Q为平面PMN上的动点，直线与直线的夹角为，平面PMN，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，即为点的轨迹，其中，由对称性可知，，故半径，故点的轨迹长度为.故选C.8.C【解析】平面，平面，，又，，，平面，平面PAQ，又平面，；设，，，，，，，即，关于的方程有且仅有一个范围内的解，曲线的对称乾为，，解得：，.以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，轴平面，平面PAD的一个法向量是；设平面PDQ的法向量是，则令，解得：，，，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.故选C.9.AD【解析】设平面的法向量为，则由题意可得，对于A选项，，满足题意；对于B选项，设，无解，所以不符合题意；对于C选项，设，无解，所以不符合题意；对于D选项，，满足题意.故选AD.10.AC【解析】平面，则平面法向量为，对则，即，所以过点，方向向量为，所以，所以，所以，故A正确，D错误；对，即，所以过点，方向向量为，点代入平面方程成立，所以与平面有公共点，故B错误；对，所以过点，方向向量为，因为，所以，所以或，但点代入平面方程不成立，故，所以，所以C正确.故选AC.11.BCD【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，.对A：，，故，故，即异面直线和所成的角为，故A错误；对B：，由轴平面ABCD，故平面ABCD的一个法向量为，则，故直线与平面ABCD所成的角为，故B正确；对C：，，，设平面的法向量为，则有令，则，故点到平面的距离，故C正确；对D：易得四面体为正四面体，则，故D正确.故选BCD.12.①②③【解析】设正方体的棱长为1.因为，且，所以①正确；因为，，所以②正确；因为平面，，所以③正确；因为正方体中平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，而与相交，不平行，则与平面不垂直，故不是平面的法向量，所以④错误.故答案为①②③.13.【解析】因为，，共面，，不共线，所以设，即，即，解得所以，，因为，所以mn的最小值为.故答案为.14.1【解析】以，，的方向分別为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，设，则，当，时，的最小值是，。取，则，。又，是任意值，的最小值是5.取，则，.又是任意值，的最小值是1.故答案为1.15.（1）解：在直四棱柱中，，易得，，，两两垂直.故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，，，，.，..（2）证明：由（1）得：.令，即解得.故C，E，F，G四点共面.16.（1）解：设，，，则，.，则，.，，故线段的长为.（2）证明：，，故.17.解：（1）由已知可得，因为向量与平行，设，其中，则，解得.所以，或.（2）由，可得，所以.又由，可得向量的单位向量为，故向量在向量上的投影向量.（3）由题可得：，，所以，所以，所以，以CB，CA为邻边的平行四边形的面积为.18.解：（1），，四边形BODC为矩形，.在中，，，，则，，.又平面平面，平面PAD，平面平面，平面ABCD.（2）以为原点，OA为轴，OB为轴，OP为轴，建立空间直角坐标系如下图所示，，，可得，则，，，，.设平面APB的法向量为，，，由取.设平面CPB的法向量为，，由取.设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值为.（3）设，则，又平面PAD的一个法向量为，直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，解得，显然时，在线段PA上，.19.（1）证明：在AD上取点，使得，连接HM，HN，如图1.图1因为，所以.因为平面，平面CDF，所以平面CDF.因为，所以，又，所以.因为平面，平面CDF，所以平面CDF.因为且HM，HN都在平面HMN内，所以平面平面CDF.因为平面HMN，所以平面CDF.（2）解：取AD的中点，连接OE，OB，ED，如图2.图2由题意可得，是边长为4的正三角形，则，，且，所以为二面角的平面角，即，则为正三角形，所以.（3）解：取OB的中点，连接EG，则，且.由（2）得，，，，平面OBE，所以平