四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类③

四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类③一．反比例函数综合题（共2小题）1．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．（1）求k，m的值；（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．2．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．二．二次函数综合题（共6小题）3．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD＝CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．4．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．5．（2023•乐山）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．6．（2023•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点C（﹣2，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；（3）点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．7．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2023•广安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．三．三角形综合题（共1小题）9．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．四．切线的性质（共1小题）10．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．（1）求证：BC平分∠DCF；（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．五．圆的综合题（共1小题）11．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．​六．相似形综合题（共1小题）12．（2023•达州）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+EF的值．​

四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类③参考答案与试题解析一．反比例函数综合题（共2小题）1．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．（1）求k，m的值；（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．【答案】（1）k＝2，m＝12；（2）（，2+2）或（﹣1，2）．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），则﹣k+2＝0，解得：k＝2，∴直线l的解析式为y＝2x+2，∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，∴点C的坐标为（2，6），∴m＝2×6＝12；（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，），∴DE＝|2n+2﹣|，∵OB∥DE，∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，∴OB＝2，∴|2n+2﹣|＝2，当2n+2﹣＝2时，n1＝，n2＝﹣（舍去），此时，点D的坐标为（，2+2），当2n+2﹣＝﹣2时，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），此时，点D的坐标为（﹣1，2），综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（，2+2）或（﹣1，2）．2．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．【答案】（1）点A的坐标为（0，5），反比例函数的表达式为（2）点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）点P的坐标为的值为3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，∴点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，∴a＝1，∴B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，4＝，解得k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，∴N（5，0），∴OA＝ON＝5，∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°，∵A（0，5），B（1，4），∴＝，∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，∴，∴M（0，3），设直线l的解析式为y＝k1x+b1，将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，解得，∴直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），∵•|xB﹣xC|＝，解得t＝﹣4或t＝6，当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，当t＝6时，t+3＝9，∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，将直线l与双曲线的解析式联立方程组，解得，或，∴E（﹣4，﹣1），画出图形如图所示，∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE，∴AB∥DE，∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，∴b2＝﹣5，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，∴解方程组得，或，∴D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，解方程组得，，∴P（﹣，），∴，，∴m＝．二．二次函数综合题（共6小题）3．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD＝CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6；（2）①8﹣2；②点F（4，6）．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）令y＝﹣x2+2x+6＝0，则x＝6或﹣2，即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（6，0）；①设点F（m，﹣m2+2m+6），由点A、F得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2）①，当x＝0时，y＝﹣（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即点D（0，6﹣m），则CD＝6﹣6+m＝m，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6②，联立①②得：﹣（m﹣6）（x+2）＝﹣x+6，解得：x＝，则点E（，6﹣），由点C、E的坐标得，CE＝，∵CD＝CE，即m＝，解得：m＝0（舍去）或8﹣2，则CD＝m＝8﹣2；②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积比为边的比，即＝＝2，∵OD∥EM∥FN，则，，则＝＝＝2，即＝2，整理得：3xE﹣xF＝2，由①知，xE＝，xF＝m，则3×﹣m＝2，解得：m＝±4（舍去负值），经检验，m＝4是方程的根，则点F（4，6）．4．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；（3）OM+ON为定值6．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx+4得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点A（﹣2，0），B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线l：，设直线l与x轴交于点G，过点E作ED⊥l于点D，当F在x轴上方时，如图：∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，∴EF＝BF，∵∠DFE＝90°﹣∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°，∴△DFE≌△GBF（AAS），∴GF＝DE，GB＝FD，设F（1，m），则DE＝m，DG＝DF+FG＝GB+FG＝3+m，∴E（1+m，3+m），∵E点在抛物线y＝﹣x2+x+4上，∴，解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，∴F（1，1）；当F在x轴下方时，如图：同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD，设F（1，n），则E（1﹣n，n﹣3），把E（1﹣n，n﹣3）代入y＝﹣x2+x+4得：n﹣3＝﹣（1﹣n）2+（1﹣n）+4，解得n＝3（舍去）或n＝﹣5，∴F（1，﹣5）；当E点与A点重合时，如图所示，∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，∴，此时F（1，﹣3），由对称性可得，点F'（1，3）也满足条件，综上所述，F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；（3）OM+ON为定值6，理由如下：设P（s，t），直线AP的解析式为y＝dx+f，BP的解析式为y＝gx+h，∵点A（﹣2，0），B（4，0），P（s，t），∴，，解得：，，∴直线AP的解析式为，BP的解析式为y＝x+，在中，令x＝0得，∴，在中，令x＝0得，∴N（0，），∵P（s，t）在抛物线上，∴t＝﹣s2+s+4＝﹣（s﹣4）（s+2），∴OM+ON＝+×＝＝＝6，∴OM+ON为定值6．5．（2023•乐山）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．【答案】（1）b＝0；（2）①2≤m≤2+2；②．【解答】解：（1）由题可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2，∵当x1+x2＝0时，总有y1＝y2，∴﹣+bx1＝﹣+bx2，整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0，∵x1≠x2，∴x1﹣x2≠0，∴x1+x2﹣4b＝0，∴b＝0；（2）①注意到抛物线C2最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移．下面考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，0）时，如图1所示，此时，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）．（i）当抛物线C2过点（2，﹣1）时，如图2所示，此时，x＝2，解得或（舍）．综上所述，2≤m≤2+2；②同①考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，﹣1）时，如图3所示，此时，x＝0，，解得或（舍）．（ii）当抛物线C2过点（2，0）时，如图4所示，此时，x＝2，，解得m＝4或0（舍）．综上所述，．如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上，，解得xA＝m﹣2，xB＝m+2，∴HB＝m+2﹣m＝2，∵FB＝FC．∴FH2+HB2＝FG2+GC2，设FH＝t，∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2，∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0，∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0，∵m≥2，∴﹣1≠0，∴，即，∵∴，即＜FH≤，∵EF＝FH+1，∴．6．（2023•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点C（﹣2，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；（3）点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6；（2）△APQ′的面积为；（3）M（0，12﹣4）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0），C（﹣2，6）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6；（2）设抛物线的对称轴交x轴于K，如图：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，∴K（﹣1，0），∴AK＝3，设N（t，﹣t2﹣t+6），设AN的函数表达式为y＝kx+n，把A（﹣4，0），N（t，﹣t2﹣t+6）代入得：，解得，∴AN的函数表达式为y＝（﹣t+）x﹣3t+6，在y＝（﹣t+）x﹣3t+6中，令x＝﹣1得y＝﹣t+，∴P（﹣1，﹣t+），同理可得Q（﹣1，t+9），∴Q关于x轴的对称点Q'坐标为（﹣1，﹣t﹣9），∴PQ'＝﹣t+﹣（﹣t﹣9）＝，∴S△APQ'＝××3＝；∴△APQ′的面积为；（3）当△ACM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠AMC最大的点M，如图：∴TM⊥y轴，设T（p，q），则TM＝﹣p，∵AT＝CT，A（﹣4，0），C（﹣2，6），∴（p+4）2+q2＝（p+2）2+（q﹣6）2，∴q＝﹣p+2，∴T（p，﹣p+2），∵TM＝AT，∴p2＝（p+4）2+（﹣p+2）2，解得p＝﹣30+12或p＝﹣30﹣12（不符合题意，舍去），∴﹣p+2＝﹣（﹣30+12）+2＝12﹣4，∴M（0，12﹣4）．7．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）最大值为，此时P（，﹣）；（3）存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．【解答】解：（1）由题意，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵A（0，﹣2），B（4，0），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设P（0＜m＜4），则，∴PK+PD＝（m﹣m2+m）+（﹣+m+2）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，PK+PD有最大值，最大值为，此时P（，﹣）；（3）存在．过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），则＝n2+4n+5，＝n2+9，由AB2+＝，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5，∴n＝6，∴M1（1，6），∴直线BM1解析式为y＝﹣2x+8，∵AM2∥BM1，且经过A（0，﹣2），∴直线AM2解析式为y＝﹣2x﹣2，∴当x＝1时，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4，∴M2（1，﹣4），综上所述：存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．8．（2023•广安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴点A的坐标为（﹣3，0），∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；（2）连接ON，如图：设P（m，0），则N（m，m2+2m﹣3），在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∴S四边形ABCN＝S△AON+S△BOC+S△CON＝×3（﹣m2﹣2m+3）+×1×3+×3（﹣m）＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴当m＝﹣时，S四边形ABCN取最大值，此时P（﹣，0）；∴四边形ABCN面积的最大值是，此时点P的坐标为（﹣，0）；（3）在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，设Q（0，t），P（n，0），则M（n，﹣n﹣3），N（n，n2+2n﹣3），∵MN∥CQ，∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN＝CQ，∴，解得（此时M，N与C重合，舍去）或；∴Q（0，﹣1）；②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，∴，解得（舍去）或或，∴Q（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）；综上所述，Q的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣1﹣3）或（0，﹣1+3）．三．三角形综合题（共1小题）9．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．【答案】（1）见解析过程；（2）①＝，见解析过程；②当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，；（3）点M运动的路径长为．【解答】（1）证明：连接CD，∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF，∴AE+BF＝AE+CE＝AC＝AB；（2）①AE+BF＝AB，理由如下：过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，∴AD＝x，BD＝2x，∴AB＝3x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝2NE，∴AE+BF＝x+NE+（2x﹣FH）＝2x＝AB；②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE+BF＝x﹣NE+（nx+FH）＝2x＝AB；当点F在CB的延长线上时，如图5，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE﹣BF＝x+NE﹣（FH﹣nx）＝2x＝AB；综上所述：当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，；（3）如图，连接CD，CM，DM，∵EF的中点为M，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CM＝DM＝EF，∴点M在线段CD的垂直平分线上运动，如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上，当点E''与点C重合时，点F″在CB的延长线上，过点M'作M'R⊥F'C于R，∴M'R∥AC，∴＝，∴M'R＝1，F'R＝CR，由图2，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x＝2，∴x＝，∵F'D＝BD＝nx，∴F'B＝2nx，∴CF'＝2nx﹣2，∴CR＝nx﹣1＝﹣1＝，由（2）可得：CD＝＝x•，DF″＝nDE″＝nx•，∴CF″＝（1+n2）x，∴CM″＝＝＝，∴RM″＝n，∴M″M'＝，∴点M运动的路径长为．四．切线的性质（共1小题）10．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．（1）求证：BC平分∠DCF；（2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵CF是⊙O的切线，点C是切点，∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠BCF＝90°，∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，∴∠BCE+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCE＝∠BCF，即BC平分∠DCF；（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝，∴OE＝＝1，∵GM⊥AB，CD⊥AB，∴CE∥GM，∴△GMH∽△CEH，∴，∵CH＝3GH，∴，∴GM＝1，设MH＝x，则HE＝3x，∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，∴（4x﹣1）2+12＝（）2，解得x＝1（负值舍去），∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+＝2．五．圆的综合题（共1小题）11．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为cm；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．​【答案】【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①作图见解答过程；②cm；【问题拓展】两个纸板重叠部分的面积是cm2．【解答】解：【问题解决】（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①如图：作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，∴△BOB'是等腰直角三角形，∵BB'＝6，∴OB＝＝3，∵＝（cm），∴点B经过的路径长为cm，故答案为：cm；【问题拓展】连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，如图：∵点P为中点，∴∠PAB＝，由旋转得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，在Rt△PAM中，PM＝PA•sin∠PAM＝4×sin30°＝2，∴A'M＝PA'﹣P