高考数学常用二级结论专题分类（教师版）

2 2 4 5 6 6 8 9 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.例1.(2023·全国·高三对口高考)函数f(x)是定义在区间[-A.0B.1C.2D.3设f(x)在x0∈[-a,a]处取到最大值，则f(x)在-x0∈[-a,a]处取到最小值，可得f(x0)+f(-x0)=0，且F(x)在x0处取到最大值，在-x0处取到最小值，所以F(x0)+F(-x0)=[f(x0)+1[+[f(-x0)+1[=[f(x0)+f(-x0)[+2=2.35A.-4B.-2C.2D.1∴g(x)max+g(x)min=0， ①若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期T=2a；②若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期T=2a；④若f(x+a)=-，则函数的周期T=2a；⑤f(x+a)=f(x+b)=，则函数的周期T=|a-b|.例1.已知函数f(x)=ln(x+、1+x2(++4在[-8,8]上的最大值和最小值分别为M、m，则M+m=()A.8B.6C.4D.2可得出答案.-8,8〔，因为g(-x)=ln(-x+=ln((=-g所以函数g(x(为奇函数，所以g(x(max+g(x(min=0，所以M+m=8.1.已知函数y=f(x+1)是定义在R上的偶函数，且f(x+3)+f(1-x)=2，则()A.f(1(=0B.f(2(=0C.f(3(=1D.f(4(=1所以f(x)关于x=1对称，则f(1-x)=f(x+1)，又f(x+3)+f(1-x)=2，所以f(x+3)+f(x+1)=2，即f(x+2(=-f(x(+2,f(x+4(=-f(x+2(+2=f(x(，函数f(x)的周期为4，取x=0，则f(2)+f(0)=2f(2(=2⇒f(2(=f(0(=1，2.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=-f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)=x-1，则f()的值等于()A.B.C.D.-【解答过程】解：根据题意，定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=-f(x)，则有f(2-x)=-f(-x)，变形可得f(x+2)=-f(x)，则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数，则f()=f(-)=-f()，故f()=-，故选：D.①f(a+x(=-f(a-x)；②f(x(=-f(2a-x)③f(-x(=-f(2a+x)①若f(a+x(=f(b-x)，则f(x(关于x=对称；②若f(a+x(=-f(b-x)，则f(x(关于,0(对称；例1.已知函数y=f(x)的定义域为(-∞,1(∪(1,+∞(，且f(x+1)为奇函数，当x<1时，f(x)=-x2-4x，则f(x)=的所有根之和等于()A.4B.2C.-12D.-6【详解】解：当x<1时，f(x)=-(x2+4x(=-(x+2(2+4，∴对称轴为x=-2，∴f(x+1)=-f(-x+1)，∴f(x)=-f(2-x)，设(x,y(为y=f(x)(x>1(图像上任意一点，则(2-x,-y(在f(x)=-x2-4x上，∴-y=-(4-x(2+4，即y=(x-4(2-4，由图像知f(x)=有4个根，不妨设x1<x2<x3<x4， ×(-2(=-4，()A.-πB.-πC.π-D.π-因为y=f(x)图像关于点,0(对称，所以f(+x)+f(-x)=0，所以f(1+x)+f(-x)=0，又y=f(x)为偶函数，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(1+x)=f(x)，所以函数f(x)最小正周期为2，所以f(π)=f(π-4)=f(4-π)=π-4+=π-.若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.5例1.已知函数f(x(=x2-ax(≤x≤e，e为自然对数的底数)与g(x(=ex的图象上存在关于直线y=x【解析】因为函数f(x)=x2-ax与g(x)以函数f(x)=x2-ax与h(x)=lnx的图像有公共点，则x2-ax=lnx有解，即a=x-有解，令F(x(=x-，则F’(x(=<0在,1(成立，F’(x(=>0在(1,e[上成立，即F(x(=x例1.设函数=1-e-x.证明:当x>-1时,f证明x>-1时,f(x)≥⇔x>-1,1-e-x≥⇔1-≥e-x(x>-1)⇔≥(x>-1)⇔x+1≤ex(x>-1).当x>-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x>-1时,f1.已知函数,则y=f的图象大致为()【解析】因为f(x)的定义域为所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排 除A,C,故选B.OP设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,OP=λO+μO,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,O=O+O.∴A-A=λ(A-A)，∵A=A，A=mA+A，∴A=mA+A，∴A=mA+A.A=xA，A=A=xA，A=故AE=AD=故AE=AD=AM+AN公众号：慧博高中数学最新试题公众号：慧博高中数学最新试题—→—→mA，A=nA—，则mn+m的最小值为()由已知，可得A—=A+B—=A+B=A+=AB+AC=所以mn+m=+m=+=(+)(+)=++≥+2×=2，2sinA.2sinA.A.|AB+AC—→—→B.AB⋅AC=2 C.PA+PB+PC=3因为△ABC是边长为2的正三角形，所以|A+A—|=(A+A—(2=A2+2A⋅A—+A—2=重心的性质可得A—=⋅(A+A—)=(A+A—)，所以3P-3P=P-P+P-P，所以3PG=PA+PB+PC，故C正确；因为|A+C|=(A+C2(=A2+C2+2A⋅C=4+4+2×2×2×=23，故D不正确.A.1B.23C.23所以BC2+AC2=AB2→AC⏊BC，设BC的中点为D，所以A—=A—=(A—+C(，—→—→2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线A.外心B.内心C.重心D.垂心 .B= .的大小.由余弦定理可得cosB=又0<B<π,则B=又D是AB的中点，故答案为重心.an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n⇒ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).p+q=0.k2k-Sk,S3k-S2k,⋯构成的数列是等差数列.有项之和S2m=m,S偶-S奇=md,故选B.2.已知无穷等差数列{an{的公差d>0，{an{的前n项和为Sn，若a5<0，则下列结论中正确的是()A.{Sn{是递增数列B.{Sn{是递减数列C.S2n有最小值D.S2n有最大值则{an{是递增数列，但{Sn{应是先减后增数列，A.B.C.D.3,S6-S3,S9-S6,S12-S9已知等比数列{an{,公比为q,前n项和为Sn.n=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).1a2a3⋯am,am+1am+2⋯a2m,a2m+1a2m+2⋯a3m,⋯成等比数列(m∈N*).nA.2B.3C.4D.6T=(-24(46=84×=>192，T则d===2，∴an=2n+1；nn+1((n∈N∗(在函数y=3x-4的图像上n=3n+2.T1+52+⋯+(2n+1)×n2+53+⋯+(2n+1)×n+1①-②得，Tn=3×1+2×2+3+⋯+n[-(2n+1n=1+2×-(2n+1n=2n+4n+1【解析】如图，正四棱锥P-ABCD的底面中心为H.又PH=4，PA=PH2+AH2又AH⊥PH，由射影定理可得PA2=PH×PQ，1.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，则三棱锥A1-BCD内切球的表面积为()A.23+22A.23+22+12【详解】设三棱锥A1-BCD内切球半径为r，三棱锥A1-BCD的表面积S表=S△BCD+S△BCA+S△BDA+S△CDA因为1-BCD=S表r，.(1+22+3(2所以三棱锥A1-BCD内切球的表面积为.(1+22+3(2解得r=1.:O到平面ABC的距离为又C到AB的最大距离为，(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分F:1-b2=5:所求椭圆的标准方程为x2+y2=1或yA.33B.233F积.的平方关系和三角形面积公式可得.1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别C切.(1)x2=12y；(1)设直线l1的方程为y=x+再根据直线和圆相切求出p的值得解；(2)依题意设M(m,-3(，求出切线l2的方程和B点坐标，求出M—=(x1-2m16(，O—=(x1-m13(即可求解:(x+1(2+y2=2的圆心C2(-1,0(，半径r=、2，由直线l1与圆C2相切，2=12y的准线为y=-3，设M(m,-3(，于是切线l2的方程为x1(x-x1(+y1，令x=0，得y=-+y1=-×12y1+y1=-y1，即l2交y轴于点B(0,-y1(，因此M=(x1-m,y1+3(,M=(-m,-y1+3(，M=M+M=(x1-2m,6(，则O=O+M=(x1-m,3(，设N点坐标为(x,y(，从而y=3，所以点N在定直线y=3上.1.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB·的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0故直线AB的方程为y-1=-2(x-1(，即2x+y-3=0，故选A.2.设椭圆=1,点P(1,则椭圆C在点P(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1即-=kPF∙kCF=×=-，即a2=2b2，故选DD.+=1AOB\PF1.过点M(1,1)的直线与椭圆+=1交于A,B两点，且点M平分弦AB，则直线AB的方程为()A.4x+3y-7=0B.3x+4y-7=0C.3x-4y+1=0D.4x-3y-1=0x+y=1①x+y=1①①-②得+=0，因为点M为AB中点，则x1+x2=2,y1+y2=2，所以+=0，即k==-，所以直线l的方程为y-1=-(x-1(，整理得3x+4y-7=0(1)8、5(2)4x-y-15=0所以直线l的方程为：y-1=x-4，即y=x-3，联立y2=8x得x2-14x+9=0，设A(xA,yA(，B(xB,yB(，所以xA+xB=14，xAxB=9，所以|AB|=(1+k2([(xA+xB(2-4xAxB[=2×(142-4×9(=85所以y=8xA，y=8xB，两式相减得：y-y=8xA-8xB，得====4，所以直线l的方程为：y-1=4(x-4(，即4x-y-15=0在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.直线AB的斜率kAB为已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.直线AB的斜率kAB为定值-b2x0已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.直线AB的斜率kAB为定值-.x2x25为定值.2-2ty+t2-1=0，因为x1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.同理,设直线AF的方程为y=-k(x-1)+,所以kEF=则直线lAB过定点,0(.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点 (2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点0).同理,抛物线x2=2py(p>0)ob=0,则弦AB所在直线过点(2p,⊥ob,则直线AB过定点(0,2p).(3k2+1(x1x2+(3km-3((x1+x2(+3m2+9=0，化简得9k2+9km+2m2=0，解得m=-3k或m=-k，若直线MN的斜率不存在，设MN方程为x=x0(-3<x0<3(，-1=t-y，即直线AB恒过抛物线的焦点F(0,1)，而|HF|=、(t-0)2+(-1-1)2=、t2+4，即S△HAB=(t2+4)、t2+4=(t2+4>4，AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A