2022-2023学年人教版八年级数学上学期期末复习通关练第十一章 三角形(提高卷)(含详解)

2022-2023学年人教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（提高卷）

第十一章三角形

试卷满分：100分考试时间：120分钟

姓名：班级：学号：

题号一二三总分

得分

第I卷（选择题）

评卷人得分

选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）

1.（2分）（2020春•雨花区期末）如图，已知CZ）和破是A48C的角平分线，ZA=60°,则NBOC=（）

A.60°B.100°C.120°D.150°

2.（2分）（2020春•义乌市期末）如图，在AABC中,N8+NC=a,按图进行翻折，使B'D//CG//BC,

B'EUFG,则NC'FE的度数是（）

C.«-90°D.加一180°

3.（2分）（2020春•海淀区校级期末）如图，在AABC中，ZAC3=90。，CD//AB,448=36。，那么Nfi

的度数为（）

AD

BC

A.144°B.54°C.44°D.36°

4.（2分）（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能

为（）

A.14或15B.13或14C.13或14或15D.14或15或16

5.（2分）（2019秋•潮州期末）如图，在AA8C中，N8=32。，将AA8C沿直线机翻折，点B落在点。的

位置，则N1-N2的度数是（）

A.32°B.45°C.60°D.64°

6.（2分）（2019秋•兰州期末）AA8C的三个内角NA,ZB,NC满足关系式N8+NC=3NA,则此三角形

)

A.一定是直角三角形B.一定是钝角三角形

C.一定有一个内角为45。D.一定有一个内角为60。

7.（2分）（2019秋•义安区期末）如图，将AA8C沿DE、HG、£F翻折，三个顶点均落在点。处，若Nl=131。,

则N2的度数为（）

A.49°B.50°C.51°D.52°

评卷人得分

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

8.（2分）（2020春•竞秀区期末）如图1,AABC中，有一块直角三角板放置在AABC上（P点在A4BC

内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点5和点C.

（1）若NA=52°,则Nl+N2=°；

（2）如图2,改变直角三角板的位置；使P点在AABC外，三角板的两条直角边PM、PN仍然

分别经过点B和点C,Nl,N2与N4的关系是.

9.（2分）（2020春•鼓楼区期末）如图，直线〃、b、c、d互不平行，以下结论正确的是—.（只填序号）

①N1+N2=N5;

②N1+Z3=N4；

@Z1+Z2+Z3=Z6；

④Z3+N4=N2+Z5.

10.（2分）（2020春•裕华区期末）（1）新冠肺炎疫情发生以来，我国人民上下齐心，共同努力抗击疫情,

逐渐取得了胜利.截止3月13日，我国各级财政安排的疫情防控投入己经达到了1169亿元，1169亿元用

科学记数法表示一元.

（2）已知10"'=2,10"=3,则10"'*2"=.

（3）在AABC中，NA=4N3,且NC-NB=60。，则Nfi的度数是.

（4）如图（1）,在三角形ABC中，ZA=38,ZC=72%边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的

位置（即旋转角0°麴卜360°）,在旋转过程中（图2）,当C8'//AB时，旋转角为度；当C8所在直线垂

直于反时，旋转角为一度.

11.（2分）（2020春•雨花区期末）如图，若幺=30。，248=105。，则N£BC=

12.（2分）（2015春•金牛区期末）如图，AA8C的外角平分线CP和内角平分线族相交于点P，若

ZBPC=8Q°,则NC4P=____.

13.（2分）（2011春•成都校级期末）AA8C中，Z4=x,ZB、NC的角平分线的夹角为y,则y与x之间

的关系可以表示为.

14.（2分）（2019春•崇川区校级期末）如图，在A45c中，ABAC=40°,ZACB=60°,。为AABC形外

一点，D4平分NB4C,且NC8£>=50。，求N£）C8=.

15.（2分）（2018秋•沈河区期末）已知如图，BQ平分NABP,CQ平分NACP,ZBAC=a,4BPC=0,

则N8QC=.（用a,£表示）

16.（2分）（2016秋•成都期末）如图，已知A4BC中，NA=60°,于£>,CE上AB于E,BD、

CE交于点、F,ZFBC、ZFCB的平分线交于点O,则NBOC的度数为

17.（2分）（2017春•高密市期末）如图，把一个三角尺的直角顶点。放置在AABC内，使它的两条直角边

如果24=30。，则NA8D+NA8=

评卷人得分

三.解答题（共12小题，满分66分）

18.（4分）（2020春•惠安县期末）已知：如图1,在AABC中，CD是边上的高，ZA=ADCB.

(1)试说明NAC3=90°；

(2)如图2,如果他是角平分线，AE,CD相交于点尸.那么NCEE与NCEF的大小相等吗？请说明理

由.

图1图2

19.(4分)(2020春•海州区期末)己知如图，ZCO£>=90°,直线4?与OC交于点3,与交于点A,

射线OE与射线AF交于点G.

(1)若OE平分N3Q4,AF平分NS4Z),ZOE4=36°,则NOG4=°.

(2)若NGOA=」NBOA,ZGAD=-ZBAD,ZOBA=36°,则NOG4=°.

（3）将（2）中的“NO8A=36。”改为“NO8A=a"，其它条件不变，求NOG4的度数.（用含a的代数式

表示）

2

（4）若OE■将N8Q4分成1:4两部分，ZGAD=-ZBAD,NABO=a（18。<a<90。），求NOG4的度数.（用

含a的代数式表示）

C八O

（备用图1）（备用图2）

20.（4分）（2020春•淅川县期末）现有一张AABC纸片，点。、E分别是AABC边上两点，若沿直线DE

折叠.

研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则N1与/4的数量关系是.

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想N1+N2与Z4的数量关系是一；

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想/I、N2和NA的数量关系，并说明理由.

图③

21.（4分）（2020春•马山县期末）如图，在三角形A8C中，AO_LBC于点。，且4）平分N8AC,点E是

A4的延长线上任一点，过点E作收，3c于点F,与AC交于点G.

（1）求证：ADHEF.

（2）若NCG尸=36。，求N6的度数.

（3）猜想NE与Z4GE的大小关系，并证明你的猜想.

22.（5分）（2020春•赣榆区期末）［问题背景］

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明NA+NB=NC+N£>

［简单应用］（可直接使用问题（1）中的结论）

（2）如图2,AP.C尸分别平分Na4。、ABCD,

①若NABC=28。，ZADC=20°,求NP的度数；

②/D和NB为任意角时，其他条件不变，试直接写出々与NO、ZB之间数量关系.

［问题探究］

(3)如图3,直线5P平分NA8C的邻外角NF3C,DP平分NAZX7的邻补角/4DE,

①若NA=30。，ZC=18°,则NP的度数为；

②/4和NC为任意角时，其他条件不变，试直接写出NP与44、NC之间数量关系.

［拓展延伸1

(4)在图4中，若设NC=x,ZB=y,ZC4P=-ZCAB,NCDP'/CDB,试问NP与NC、Zfi之间

44

的数量关系为—;(用x、y的代数式表示NP)

(5)在图5中，直线3P平分NABC,DP平分NAZX7的外角/4DE,猜想NP与NA、NC的关系，直接

写出结论一.

23.(5分)(2020春•西城区期末)在A45C中，8。是AA5c的角平分线，点£在射线DC上，£F_L8C于

点、F,平分/4EF交直线AB于点M.

(1)如图1,点E在线段DC上，若NA=90。，ZM=a.

①NA£F=；(用含a的式子表示)

②求证：BDHME-,

(2)如图2,点£■在£心的延长线上，E”交应)的延长线于点N,用等式表示NHVE与N3AC的数量关

系，并证明.

M

24.（5分）（2020春•润州区期末）已知AA8C中，ZABC=90°,是AC边上的高，AE■平分N3AC,分

别交3C、BD于点、E、F.求证：ZBFE=ZBEF.

25.（6分）（2019秋•市中区期末）己知将一块直角三角板。卯放置在A4BC上，使得该三角板的两条直角

边DE,/加恰好分别经过点5、C.

（1）ZDBC+ZDCB=度；

（2）过点A作直线MN//DE,若NA8=20。，试求NOW的大小.

26.(7分)(2019秋•揭阳期末)探究与发现：如图①，在AABC中，NB=NC=45°,点。在BC边上，

点E在AC边上，且连接。E.

(1)当NJ%£>=60°时，求NCDE的度数；

(2)当点。在BC(点8、。除外)边上运动时，试猜想N3AO与NODE的数量关系，并说明理由.

(3)深入探究：如图②，若NB=NC,但NC0450,其他条件不变，试探究/BAD与NCDE的数量关

系.

27.(7分M2020春•泰州期末)已知在四边形ABCD中，NA=x,NC=y,(0。<x<18()。,0。<y<180°).

(1)ZABC+ZADC^(用含x、y的代数式直接填空)

(2)如图1,若x=y=90°.DE平分NADC,8F平分NCBM,请写出OE与BE的位置关系，并

说明理由;

(3)如图2,/。斤8为四边形ABCO的NA6C、NADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.

①若x+y=120°,/DFB=20°,试求x、y.

②小明在作图时，发现NOEB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，NOEB不存在.

图1图2

28.(7分)(2019秋•辽阳期末)已知如图①，BP、CP分别是AABC的外角NC班)、NBCE的角平分线,

BQ、CQ分别是NP8C、NPC3的角平分线，BM、CV分别是NPBD、NPCE的角平分线，ABAC=a.

(1)当c=4O。时，ZBPC=°,NBQC=°；

(2)当。=。时，BM//CN；

（3）如图②，当&=120。时，BM、CN所在直线交于点O,求N8OC的度数；

（4）在a>60。的条件下，直接写出NBPC、NBQC、NBOC三角之间的数量关系:

29.（8分）（2019秋•长白县期末）RtAABC中，NC=90°,点D、E分别是A45C边AC、BC上的

点，点尸是一动点.令NPZM=N1,ZPEB=Z2,NDPE=Na.

（1）若点尸在线段AB上，如图（1）所示，且Na=50°,则Nl+N2=°；

（2）若点尸在边A3上运动，如图（2）所示，则N。、Nl、N2之间有何关系？

（3）若点P在RtAABC斜边B4的延长线上运动（CE<CD）,则N。、Nl、N2之间有何关系？猜想并

说明理由.

2022-2023学年人教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（提高卷）

第十一章三角形

选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）

1.（2分）（2020春•雨花区期末）如图，已知8和3E是AA8C的角平分线，ZA=60°,则NBOC=（）

A.60°B.100°C.120°D.150°

【解答】解：­.-ZA=6O°，

ZABC+ZACB=180°-60°=l20°,

CD和BE是AABC的角平分线，

ZOBC+NOCB=-ZABC+-ZACB=-（ZABC+ZACB）=60°，

222

ZBOC=180°-（ZOBC+ZOCB）=120°,

故选：c.

2.（2分）（2020春•义乌市期末）如图，在AABC中，ZB+ZC=a,按图进行翻折，使5Z>〃CG〃3C,

B'EHFG,则NC'RE的度数是（）

A

BEFC

acc

A.-B.90°--C.a-90°D.2a-1800

22

【解答】解：设=ZAGC="，ZCEBf=y,NCFE=x

・・・？O//CG,

:.y+P=Z.B+ZC=a,

・・•EB//FG,

NCFG=NCEB1=y,

.•.x+2y=180。①,

\*y+y=2/B,J3+x=2ZC,

y+y+/?+x=2a,

:.x+y=a®>

②x2-①可得x=2«-180°，

r.N。EE=2。-180°.

3.（2分）（2020春•海淀区校级期末）如图，在AABC中，ZACB=90°,CD!/AB,NACO=36。，那么Nfi

的度数为（)

B.54°C.44°D.36°

【解答】解:AB//CD,

ZA=ZACD=36°,

•.•ZACB=90%

.­.Zfi=90°-36°=54°,

故选：B.

4.（2分）（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形,则原来的多边形的边数可能

为（）

A.14或15B.13或14C.13或14或15D.14或15或16

【解答】解：如图，“边形，A44…4,

若沿着直线AA.,截去个角，所得到的多边形,比原来的多边形的边数少1,

若沿着直线AM截去一个角，所得到的多边形,与原来的多边形的边数相等,

若沿着直线截去一个角，所得到的多边形,比原来的多边形的边数多1,

因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15,

5.（2分）（2019秋•潮州期末）如图，在AA8C中，N8=32。，将AA8C沿直线机翻折，点B落在点。的

位置，则N1-N2的度数是（）

A.32°B.45°C.60°D.64°

【解答】解：如图所示：

山折叠的性质得：Z£>=ZB=32°,

根据外角性质得：Z1=Z3+ZB,Z3=N2+N£),

N1=N2+ZD+N3=N2+2ZB=N2+64°,

.-.Z1-Z2=64O.

故选：D.

6.（2分）（2019秋•兰州期末）A4BC的三个内角44,Zfi,NC满足关系式NB+NC=3ZA,则此三角形

A.一定是直角三角形B.一定是钝角三角形

C.一定有一个内角为45。D.一定有一个内角为60。

【解答】解：•.•NA+NB+NC=180。

XvZB+ZC=3ZA,

.-.4ZA=Z180o.

:.ZA=45°,

,AASC一定有一个内角是45。，

故选：C.

7.（2分）（2019秋•义安区期末）如图，将AA8C沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点。处，若NI=131。,

则N2的度数为（）

A.49°B.50°C.51°D.52°

【解答】解：由折叠得：NHOG=NB,ZDOE=ZA,NEOF=NC,

•.•ZA+ZB+ZC=180°,

/.NHOG+NDOE+ZEOF=180°,

Z1+Z2+ZHOG+ZDOE+ZEOF=360°,

.-.Zl+Z2=180°,

-.•Zl=131°,

.•.Z2=180°-131°=49°,

故选：A.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

8.（2分）（2020春•竞秀区期末）如图I,AABC中，有一块直角三角板放置在AA3C上（P点在A48C

内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C.

⑴若NA=52。，则4+N2=38。；

（2）如图2,改变直角三角板的位置；使尸点在A48C外，三角板的两条直角边PM、PN仍然

分别经过点3和点C,Zl,N2与/4的关系是.

【解答】解：⑴vZA=52°,

ZABC+ZACB=18O°-52°=128°,

-.-ZP=90°,

:.ZPBC+NPCB=90。,

ZABP+ZACP=128°-90°=38°，

即Zl+Z2=38°.

故答案为：38：

(2)Z2-Z1=9O°-ZA.理由如下：

在AABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

■.■ZMPN=90°,

:.NPBC+NPCB=9O。,

(AABC+ZAC8)-(NPBC+NPCB)=180。-ZA-90。，

即ZABC+ZACP+ZPCB-ZABP-ZABC-APCB=90°-ZA.

ZACP-ZABP=90°-ZA.

BPZ2-Z1=9O°-ZA；

故答案为：Z2-Zl=90°-ZA.

9.(2分)(2020春•鼓楼区期末)如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是①②③.(只

填序号)

@Z1+Z2=Z5；

②4+N3=N4；

@Z1+Z2+Z3=Z6；

@Z3+Z4=Z2+Z5.

b\

a

【解答】解：由三.角形外角的性质可知：Z5=Z1+Z2,Z4=Z1+Z3,Z6=Z4+Z2=Z3+Z5,

.•.Z6=Z1+Z2+Z3.

故①②③正确，

故答案为①②③.

10.（2分）（2020春•裕华区期末）（1）新冠肺炎疫情发生以来，我国人民上下齐心，共同努力抗击疫情,

逐渐取得了胜利.截止3月13日，我国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元，1169亿元用

科学记数法表示_1.169X10”_元.

（2）已知10™=2,10"=3,则1（）2=.

（3）在AABC中，N4=4NB,且NC-N3=60。，则NB的度数是.

（4）如图（1）,在三角形A8C中，NA=38,NC=72。，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的

位置（即旋转角0啜卜360°）,在旋转过程中（图2）,当。9//钻时-，旋转角为____度；当CB所在直线垂

直于时，旋转角为度.

【解答】解：（1）1169亿=1169x108元=1.169>10”（元）.

故答案为1.169x10”.

(2)10m+2n=10mx102n=(10m)x(10")2-2x32-18,

故答案为18.

(3)•.•Z4=4N3,且“一々=60°,

.-.ZC=60o+Zfi,

.•.4ZB+ZB+60°+ZB=180°,

.■.ZB=20°,

故答案为20。

（4）•.•在三角形ABC中，ZA=38°,ZC=72°,

/.Zfi=l80°-38°-72°=70°,

如图1,当CBVMS时，旋转角=NB=70。，当C犷/MB时，ZB"CAZA=38°,

旋转角=360。-38。—72。=250。，

综上所述，当CBV/AB时，旋转角为70。或250。；

如图2,当时，ZBCB"=90°-70°=20°.

旋转角=180°-20°=160°,

当CB"时，旋转角=180。+160。=340。，

综上所述，当时，旋转角为160。或340。；

故答案为：70或250；160或340.

11.（2分）（2020春•雨花区期末）如图，若N4=30。，ZACD=105°,则N£BC=105°.

B

CD

【解答】解：・.・NAS=NA+NA8C，

..105。=30。+ZABC,

:.ZABC=75°,

/.NEBC=180°-ZABC=105。，

故答案为105.

12.（2分）（2015春•金牛区期末）如图，AABC的外角平分线CP和内角平分线相交于点尸，若

ZBPC=80°,则NC4P=10°.

【解答】解：延长BA，作PNLBD于点N,PFLBA于点F,PM_LAC于点M，

设NPC£>=%。，

・・・CP平分Z4CD,

/.ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

・・BP平分NABC，

:.ZABP=ZPBC,PF=PN、

；.PF=PM,

vZBPC=80°,

/.ZABP=NPBC=(x-80)0,

NBAC=ZACD-ZABC=2x°~(x°-80°)-(x°-80°)=160°,

.­.ZC4F=20°，

在RtAPFA和RtAPMA中,

PA=PA

PM=PF

RtAPFA三RtAPMA(HL),

:.ZFAP=ZPAC=l(y,.

故答案为10。.

°CND

13.（2分）（2011春•成都校级期末）AABC中，=ZB、NC的角平分线的夹角为y，则y与x之间

的关系可以表示为—>=90。+]^.

【解答】解：•;PB、PC是ZB、NC的角平分线,

Z1=Z2=-ZABC.Z3=Z4=-ZACfi.

22

/.Nl+3=gzABC+；ZAC8=J(NABC+ZAC8),

vy=180o-(Zl+Z3),ZABC+ZACB=180°-x,

y=180°-^(180°-x)=90°+.

故答案为y=90。+?.

14.（2分）（2019春•崇川区校级期末）如图，在AABC中，ZBAC=4O°,NACB=60°,。为AABC形外

一点，ZM平分44c,且NCBD=50。，求/£心=_60。_.

D

l-------------------B

【解答】解：如图，延长AB到尸，延长AC到Q,作DHJ_AP于H,OE_LAQ于石，DF工BC于F.

•/Z.PBC=ZBAC+ZACB=400+60°=100°,ZCBD=50°,

:・ADBC=ADBH,

vDF±BC,DH工BP,

:.DF=DH、

又・.・A4平分NZ4Q,DH±PA,DELAQ,

:.DE=DH,

:.DE=DF,

..8平分NQC8,

•/4QCB=180°-60°=120°,

.-.ZZX?B=60°，

故答案为60。.

15.（2分）（2018秋•沈河区期末）已知如图，BQ平分ZABP,CQ平分NACP,ZBAC=a,NBPC=0,

则N8QC=_'（a+尸）_,（用a,万表示）

R

【解答】解：连接8C，

•.♦8。平分/4BP，CQ平分N4CP,

Z3=-ZABP,Z4=-z64CP,

22

vZl+Z2=180°-/7,2(Z3+Z4)+(Z1+Z2)=180°-a,

N3+N4=—(/3-a),

oo

•/ZB0C=18O-(Zl+Z2)-(Z3+Z4)=18O-(18O°-^)-^(y0-a).

即：NBQC=g(a+p).

故答案为：g(ar+£).

16.（2分）（2016秋•成都期末）如图，已知AABC中，ZA=60°,8E>_LAC于。，CELAB于E,BD、

CE交于点尸，NFBC、NFC5的平分线交于点O,则N3OC的度数为_150。

【解答】解：•.•NA=60。，BDYACTD,CEJLAB于£,

zS4CE=ZAfiD=30°,ZABC+ZACB=\2O°,

.-.ZFBC+ZFCB=60°,

ZFBC、NFCB的平分线交于点O,

:.ZOBC+^OCB=30°,

.-.Z5OC=150°

故答案为150。.

17.（2分）（2017春•高密市期末）如图，把一个三角尺的直角顶点。放置在A4BC内，使它的两条直角边

DE,分别经过点B,C,如果乙4=30。，则乙43£>+/48=_60。_.

【解答】解：•.•ZA=30。，

ZABC+ZACB=150°,

•.•ND=90°,

/.ADBC+ADCB=90°.

/.ZDBA+ZDCA=150°-90°=60°.

故答案为：60。.

三.解答题(共12小题，满分66分)

18.(4分)(2020春•惠安县期末)已知：如图1,在AABC中，C£＞是边上的高，ZA=ZDCB.

(1)试说明NACB=90。；

(2)如图2,如果短是角平分线，AE,CD相交于点尸.那么NCFE与NC£F的大小相等吗？请说明理

由.

【解答】（1）解：•.•8是4?边上的高，

.-.zcm=90°.

.­.ZA+ZACD=90°.

ZA=NDCB,

ZACB=ZACD+ZBCD=ZACD+ZA=90°：

(2)解：NCFE=NCEF,

理由是：「AE平分NC4B,

...ZC4E=Za4E.

•.•ZCDA=ZBCA=90P,ZDE4=180°-(ZCQ4+ZBAE).ACEA=180°-(ZBCA+ZCAE),

;.NCEF=NDFA,

•;NDFA=NCFE,

:.NCFE=NCEF.

19.(4分)(2020春•海州区期末)已知如图，ZCO£>=90°,直线AB与OC交于点8,与OD交于点A,

射线OE与射线AF交于点G.

(1)若OE平分NBQ4,w平分NH4Z),ZOBA=36°,则NOG4=18°.

(2)若NGOA='N8O4,ZGAD=-ZHAD,AOBA=36°,则NOG4=°.

33------

(3)将(2)中的“NO54=36。”改为“NOBA=a”,其它条件不变，求NOG4的度数.(用含a的代数式

表示)

(4)若OE将NBQ4分成1:4两部分，^GAD=-ABAD,ZABO=a(18°<a<90°),求NOGA的度数.(用

3

含a的代数式表示)

ED

SJD

C/B0cK0C

(备用图1)(备用图2)

【解答】解：(1)•.•N8O4=90。，ZOBA=36°,

ABAD=ZBOA+ZABO=126°,

•.•AF平分Nfi4£)，OE平分NBQ4,ZBOA=90°.

ZGAD=-ZBAD=63°,ZEOA=-/BOA=45°,

22

ZOGA=Z.GAD-AEOA=63°-45°=18°；

故答案为：188

(2)vZBQ4=90°,NO胡=36。，

/.ABAD=ZBOA+ZABO=126。，

•・・ZmA=90。，ZGOA=-^BOA,ZGAD=-ZBAD,

33

/.ZGW=42°,ZEOA=30°,

Z.OGA=ZGAD-ZEOA=42°-30°=12°；

故答案为12。；

(3)・・・Zm4=90°,NOBA=a,

:.ZBAD=ZBOA+ZABO=900+a,

・・・404=90。，ZGOA=-ZBOA,ZGAD=-ZBAD,

33

・・・NG4O=300+L,ZEOA=30°,

3

ZOGA=ZGAD-ZEOA=-a；

3

(4)当NE8:NCOE=1:4时，ZEOD=18°,

•・・ABAD=ZABO+ZBOA=a+90。，

・.・ZGAD=-ZBAD,

3

22

ZFAD=一/BAD=一(a+90°),

33

・・・ZFAD=ZEOD+ZOGA,

18°+ZOGA=|(a+90°),

2

解得NOGA=-(z+42。；

3

当ZEOD:ZCOE=4:1时，ZEOD=72°,

7

同理可得NOG4=—a—12。；

3

综上所述，ZOGA的度数为士cr+42。或』c-12。.

33

20.（4分）（2020春•淅川县期末）现有一张AAfiC纸片，点。、E分别是A4BC边上两点，若沿直线DE

折叠.

研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则N1与的数量关系是=2ZA

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想N1+N2与Z4的数量关系是；

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想Nl、N2和44的数量关系，并说明理由.

图①图②图③

【解答】解：（1）如图1,Z1=2Z4,理由是：

由折叠得：ZA=ZDA!A,

•.•Z1=Z4+ZZMA，

.-.Z1=2Z4；

故答案为：ZX=1ZA.；

(2)如图2,猜想：4+N2=2NA,理由是：

由折叠得：ZADE=ZA'DE，ZAED=ZA'ED,

•/ZADB+ZAEC=360°,

Zl+Z2=360°-ZADE-ZADE-ZAED-ZAED=360°-2ZADE-2ZAED，

Zl+Z2=2(180°-ZADE-ZAED)=2ZA:

故答案为：Zl+N2=2/4；

(3)如图3,Z2-Z1=2Z«4E.理由是：

-,-Z2=ZAFE+ZDAE,ZAFE=ZA+ZX,

:.Z2=ZA+ZDAE+Z1,

-.-ZDAE=ZA,

.♦.N2=2ZZM£+N1,

.-.Z2-Z1=2ZZME.

故答案为：(1)Z1=2ZA：

(2)Z1+N2=2ZA.

B

1

A

图③

21.(4分)(2020春•马山县期末)如图，在三角形ABC中，4)_L3C于点O,且4)平分N84C,点石是

84的延长线上任一点，过点£作所，8c于点/，与AC交于点G.

(1)求证：AD//EF.

(2)若NCGF=36。,求NB的度数.

(3)猜想NE与NAGE的大小关系，并证明你的猜想.

【解答】(1)证明：\AD.LBC,EF上BC,

ZADC=ZEFC=90°,

:.AD//EF；

(2)rAD/IEF,ZCGF=36°,

ZCGF=ZCAD=36°，

・・・AD平分NBAC,

:.ZBAD=ZCAD=36°.

ZB=180。-ABAD-ABDA=54°；

(3)ZE=ZAG£,

证明：理由是：-.-AD//EF,

；.ZE=ZBAD,ZAGE=ZCAD^

\'ZBAD=ZCAD^

:.ZE=ZAGE.

22.（5分）（2020春•赣榆区期末）［问题背景］

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明NA+N3=NC+”.

［简单应用］（可直接使用问题（1）中的结论）

（2）如图2,AP.C9分别平分Na4。、ZBCD,

①若NABC=28。，ZADC=20°,求NP的度数；

②/D和NB为任意角时，其他条件不变，试直接写出NP与ND、N8之间数量关系.

［问题探究］

（3）如图3,直线平分NAfiC的邻外角NEBC,小平分的邻补角/位）£,

①若Z4=30。，ZC=18°,则NP的度数为_24。_；

②N4和NC为任意角时，其他条件不变，试直接写出NP与44、NC之间数量关系.

［拓展延伸］

（4）在图4中，若设NC=x,ZB=y,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,试问NF与NC、Nfi之间

44

的数量关系为—；（用x、y的代数式表示NP）

（5）在图5中，直线3P平分N4BC,£>P平分N4DC的外角“花，猜想NP与44、NC的关系，直接

写出结论.

图5

【解答】解：（1）如图1中,

B

图1

•：ZA+AB+ZAOB=\WP,ZC+ZD+ZCO£>=180°.ZAOB/COD，

...ZA+ZB=NC+ZD：

(2)如图2中,

fx+ZB=y+Z.P

则有

[x+ZP=y+ZD

.•.ze-zp=zp-ZE>.

ZP=-(ZB+ND)=-(28°+20°)=24°；

22

(3)①如图3中，设NCBJ=ZJBF=x,ZADP=ZPDE=y.

NP+x=NA+y

则有

ZA+1800-2x=ZC+180°-2y

.-.2ZP=ZA+ZC»

.,.NP=；(30°+18°)=24°；

故答案为：24°；

②设NCBJ=ZJBF=x,ZADP=ZPDE=y.

则有4+―,

[ZA+180o-2x=ZC+180°-2y

.-.2ZP=ZA+ZC;

(4)如图4中，设NC4P=a,ZCDP=p,则NPA8=3a,4PDB=3f3,

则有—="+"，

[/尸+3a=/8+3/

/.4ZP=3ZC+ZB,

NP=；(3x+y),

故答案为NP=1(3x+y).

(5)如图5中，延长A3交PD于J,设NPBJ=x,ZADP=ZPDE=y.

则有ZA+2x=NC+180°—2y,

：.x+y=90°+^(ZC-ZA),

vZP+x+ZA+y=180°,

...ZP=90°--ZC--ZA.

22

故答案为NP=90O—，NC—LNA.

22

23.（5分）（2020春•西城区期末）在AABC中，比）是AABC的角平分线，点E在射线ZX?上，£F_L3C于

点尸，平分/心交直线于点

（1）如图1,点E在线段£>C上，若NA=90。，AM=a.

①NAEF=_18（）o_2c_；（用含a的式子表示）

②求证：BD//ME-,

（2）如图2,点E在£）C的延长线上，交BD的延长线于点N,用等式表示NBNE与N3AC的数量关

系，并证明.

【解答】解：（1）①•.•NA=90。，ZM=a.

.•.ZA£M=180o-90o-a=90°-a.

•.•EM平分N4ER,

ZAEF=2ZAEM=180°-2a,

故答案为：180°-2a：

②证明：_L8C，

:.ZEFC=9Q°,

-.-ZA=90°.

:.ZC+ZABC=90°,

:.NCEF=ZABC，

•.•ZAEF=18O°-2«（

Z.CEF="»

：.ZABC=2a,

・・•BD是AABC的角平分线，

:.ZABD=-ZABC=a

2f

:.ZABD=ZM,

:.BD!IME\

(2)2ZBNE=900+/BAC,

证明：・・・B£＞平分NABC,EM平分NAEF,

设NABO=x,ZAEM=y,

：.ZABC=2x,ZAEF=2y,

・・・NA5D+44D=180。—NA£)8,

ZNED+ZEND=180°-ZNDE,

\ZADB=ZNDE,

ZABD+ZBAD=ZNED+ZEND,

x+/BAD=y+/END,

.・.x—y=/END—/BAD,

同理，ZABC+ZBAC=ZFEC+ZEFC,

2x+ZBAC=2y+/EFC,

2x-2y=AEFC-ZBAC,

vEF±BC,

/.ZEFC=90°,

.・.2(x-y)=90°-ZBAC,

/.2(/END-/BAD)=90°-ZBAC,

即2(/BNE-ZBAC)=90°-ABAC,

.•.2ZBNE=90°+ZBAC.

24.（5分）（2020春•润州区期末）已知AABC中，ZABC=90°.是AC边上的高，AE平分N34C,分

别交BC、BD于点、E、F.求证：NBFE=NBEF.

【解答】证明：平分加C，

:.ZBAE=ZCAE.

■：BDYAC,ZASC=90°,

ZBAE+ZBEF=ZCAE+ZAFD=90°，

:.ZBEF=ZAFD,

-.ZBFE=ZAFD（对顶角相等），

.-.ZBEF=ZBFE

25.（6分）（2019秋♦市中区期末）已知将一块直角三角板。所放置在A4BC上，使得该三角板的两条直角

边DE,£户恰好分别经过点5、C.

（1）ZDBC+ZDCB=90g;

（2）过点A作直线MN//DE,若NA8=20。，试求NC4M的大小.

【解答】解：(1)在AD8C中，•ZDBC+ZDCB+ZD=180°,

而ZD=90°.

:.ZDBC+ZDCB=9Q°；

故答案为90；

(2)在AA3c中，

•.•ZABC+ZACB+ZA=18O°,

即ZABD+ZDBC+ZDCB+ZACD+ABAC=180°,

而ZJDBC+NDCB=90°,

：.ZABD+ZACD=90°-ZBAC,

:.ZABD+ZBAC=900-ZACD=10°.

又YMN//DE，

:.ZABD=ABAN.

而NfiW+ZS4C+NC4M=180°,

ZABD+ABAC+ACAM=180°.

ZCAM=\80°-（ZABD+ABAC）=110°.

26.（7分）（2019秋•揭阳期末）探究与发现：如图①，在AABC中，NB=NC=45°,点。在BC边上，

点E在AC边上，且连接。E.

（1）当NJ%£>=60°时，求NCDE的度数；

（2）当点。在（点8、。除外）边上运动时，试猜想NBA。与NCDE的数量关系，并说明理由.

（3）深入探究：如图②，若NB=NC,但NCH45。，其他条件不变，试探究NBA。与NCQE的数量关

系.

【解答】解：(1)•••NAQC是人43。的外角,

NADC=NB4D+=105。，

ZDAE=ABAC-/BAD=30°,

：.ZADE=ZAED=75°,

ZCD£=105°-75°=30°；

(2)4BAD=2/CDE,

理由如下：设NR4D=x,

ZADC=ABAD+N3=45°+x,

ZDAE=ABAC-/BAD=90°-x,

900+r

ZADE=ZAED=—~,