2019-2020学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2019-2020学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题，母小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合要求的，请将正确答量的序号填在题前的答题栏中）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．﹣5 B． C．0 D．π2．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A． B． C． D．3．（3分）计算：（﹣2）3﹣的结果是（）A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．104．（3分）估计的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间5．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．1，4，8 B．3，5，7 C．3，4，5 D．5，7，86．（3分）下列各式中正确的是（）A．＝±2 B．＝﹣3 C．＝2 D．﹣＝7．（3分）如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C'，已知AB＝1cm，则爬行路线最短为（）A．3cm B． C． D．8．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜09．（3分）若直角三角形中，有两边长是5和4，则第三边长为（）A．41 B．3 C．9或41 D．3或10．（3分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（）cmA．35 B．40 C．50 D．45二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）的算术平方根是．12．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是．13．（3分）若实数a、b满足|a+1|+＝0，则a+b＝．14．（3分）已知△ABC的三边长分别为1，3，，则△ABC的面积为．三、解答题（共10小题，计78分，解答应写出过程）15．（8分）把下列各实数填在相应的大括号内．，﹣3，1，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）（1）有理数：{}；（2）无理数：{}；（3）正实数：{}；（4）负实数：{}．16．（6分）求下列各式中的x值．（1）（2）（x﹣1）3＝817．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝21，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为点D，求AC的长．19．（7分）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．20．（7分）为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得∠BAC＝50°，∠B＝40°，AB＝15km，BC＝12km，若每天可凿隧道0.3km，需要几天才能把隧道AC凿通？21．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．22．（9分）我市鸭绿江边的景观区内有一块四边形空地，如图所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经技术人员测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；（2）请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积．23．（10分）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345……a22﹣132﹣142﹣152﹣1……b46810……c22+132+142+152+1……（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n的代数式表示：a＝，b＝，c＝．（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？（3）观察下列勾股数：32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．24．（10分）阅读下面的文字，解答问题大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如因为＜＜，即2＜＜3，所以行的整数部分为2，小数部分为﹣2．请解答（1）的整数部分为；小数部分为；（2）有人说，如果的整数部分为x，的小数部分记为y，则x+y＝，你认为对吗？为什么？（3）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求a﹣2b+2的值．

2019-2020学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，母小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合要求的，请将正确答量的序号填在题前的答题栏中）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．﹣5 B． C．0 D．π【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、﹣5是整数，是有理数，选项错误；B、是分数，是有理数，选项错误；C、0是整数，是有理数，选项错误；D、π是无理数，选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A． B． C． D．【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．3．（3分）计算：（﹣2）3﹣的结果是（）A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．10【分析】首先计算乘方和开立方，然后再计算有理数的减法即可．【解答】解：（﹣2）3﹣＝﹣8﹣2＝﹣10，故选：A．【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握计算顺序，注意结果符号的判断．4．（3分）估计的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【分析】由于25＜33＜36，于是＜＜，从而有5＜＜6．【解答】解：∵25＜33＜36，∴＜＜，∴5＜＜6．故选：D．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．5．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．1，4，8 B．3，5，7 C．3，4，5 D．5，7，8【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、因为12+42≠82，所以不能组成直角三角形；B、因为32+52≠72，所以不能组成直角三角形；C、因为32+42＝52，所以能组成直角三角形；D、因为52+72≠82，所以不能组成直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6．（3分）下列各式中正确的是（）A．＝±2 B．＝﹣3 C．＝2 D．﹣＝【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断．【解答】解：A.，故选项A不合题意；B.，故选项B不合题意；C.，故选项C不合题意；D.，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解答本题的关键．7．（3分）如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C'，已知AB＝1cm，则爬行路线最短为（）A．3cm B． C． D．【分析】把正方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程．【解答】解：如图所示：蚂蚁爬行的路径＝＝，故选：C．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出正方体的平面展开图是解答此题的关键．8．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，故A错误；|a|＞|b|，故B错误；a+b＜0，故C错误；＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．9．（3分）若直角三角形中，有两边长是5和4，则第三边长为（）A．41 B．3 C．9或41 D．3或【分析】分5是直角边、5是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．【解答】解：当5是直角边时，斜边＝＝，当5是斜边时，另一条直角边＝＝3，则第三边长为3或，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．10．（3分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（）cmA．35 B．40 C．50 D．45【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h+30，BC＝60，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+30）2＝h2+602，解得：h＝45．故选：D．【点评】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）的算术平方根是2．【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵＝4，∴的算术平方根是＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算＝4．12．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是x≤1．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，列不等式求解．【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣x≥0，即x≤1时，二次根式有意义．故答案为：x≤1【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．（3分）若实数a、b满足|a+1|+＝0，则a+b＝1．【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再求出a+b的值即可．【解答】解：∵|a+1|+＝0，∴，解得a＝﹣1，b＝2，∴a+b＝﹣1+2＝1．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键．14．（3分）已知△ABC的三边长分别为1，3，，则△ABC的面积为．【分析】由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，由三角形面积公式即可得出结果．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，3，，12+32＝（）2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×1×3＝；故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式；证明△ABC是直角三角形是解题的关键．三、解答题（共10小题，计78分，解答应写出过程）15．（8分）把下列各实数填在相应的大括号内．，﹣3，1，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）（1）有理数：{﹣|﹣3|，，0，，﹣3，1，…}；（2）无理数：{，，1﹣，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0），…}；（3）正实数：{，，1，，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0），…}；（4）负实数：{﹣|﹣3|，，﹣3，1﹣，…}．【分析】根据实数的分类进行填空即可．【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，＝﹣，（1）有理数：{﹣|﹣3|，，0，，﹣3，1，…}；（2）无理数：{，，1﹣，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0），…}；（3）正实数：{，，1，，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0），…}；（4）负实数：{﹣|﹣3|，，﹣3，1﹣，…}．故答案为：﹣|﹣3|，，0，，﹣3，1，…；，，1﹣，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0），…；，，1，，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0），…；﹣|﹣3|，，﹣3，1﹣，…．【点评】本题考查了实数，掌握实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0是解题的关键．16．（6分）求下列各式中的x值．（1）（2）（x﹣1）3＝8【分析】（1）首先求出x2的值是多少，然后根据平方根的含义和求法，求出x的值是多少即可．（2）根据立方根的含义和求法，可得：x﹣1＝2，据此求出x的值是多少即可．【解答】解：（1）∵，∴x2＝6+＝，∴x＝±＝±．（2）∵（x﹣1）3＝8，∴x﹣1＝＝2，∴x﹣1＝2，解得：x＝3．【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．17．（6分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；（2）直接化简二次根式进而得出答案．【解答】解：（1）＝×4××＝3＝3×6＝18；（2）＝﹣+2﹣2＝﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝21，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为点D，求AC的长．【分析】依据勾股定理，即可得到BD和CD的长，进而得出AC．【解答】解：∵AB＝13，AD＝12，AD⊥BC，∴BD＝＝＝5，∵BC＝21，∴CD＝BC﹣BD＝16，∴AC＝＝＝＝20．【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2＝c2及其变形．19．（7分）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，可得：（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，据此求出a的值是多少；然后根据：b的立方根是﹣2，可得：b＝（﹣2）3＝﹣8，据此求出2a﹣b的平方根是多少即可．【解答】解：∵一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，∴（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，∴a+2＝0，解得a＝﹣2；∵b的立方根是﹣2，∴b＝（﹣2）3＝﹣8，∴2a﹣b＝2×（﹣2）﹣（﹣8）＝﹣4+8＝42a﹣b的平方根是：±＝±2．【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．20．（7分）为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得∠BAC＝50°，∠B＝40°，AB＝15km，BC＝12km，若每天可凿隧道0.3km，需要几天才能把隧道AC凿通？【分析】由题意知：∠A＝50°，∠B＝40°则∠C为90°，在直角△ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC，则需要天数为．【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝40°，∴∠C＝90°．∵AB＝15km，BC＝12km，∴AC＝＝＝9（km）．∴＝30（天）即：需要30天才能将隧道凿通．答：需要30天才能将隧道凿通．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．21．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可直接证明△BCD是直角三角形；（2）设AD＝x，则AC＝x+3，在直角△ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴BD⊥AC；（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．∵AB＝AC，∴AB＝x+3．∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2，即（x+3）2＝x2+42，解得：x＝，∴AB＝+3＝．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．同时考查了勾股定理，等腰三角形的性质．22．（9分）我市鸭绿江边的景观区内有一块四边形空地，如图所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经技术人员测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；（2）请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积．【分析】（1）利用勾股定理求出AC即可．（2）利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°即可解决问题【解答】解：（1）连接AC．在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，∴AC＝＝＝25（米）．∴这个四边形对角线AC的长度为25米．（2）在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝×15×20+×7×24＝234（平方米），∴四边形ABCD的面积为234平方米．【点评】本题考查勾股定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345……a22﹣132﹣142﹣152﹣1……b46810……c22+132+142+152+1……（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n的代数式表示：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？（3）观察下列勾股数：32+42＝52