人教A版高中数学必修第二册第七章复数教案

7.1.1数系的扩充和复数的概念

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第七章《复数》，本节课主

要学习数系的扩充和复数的概念。

本节课数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时是数学产生、发展的客观需求,狂数的引入是

中学阶段数系的又一次扩充。

《课标》将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,

以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化，这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过

程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观;有助于发

展学生的全新意识和创新能力。

复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体

会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作

用以数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何

意义:能进行复数代数形式的四则运算了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A、了解数系的扩展过程以及i的引入；1.数学抽象：，的规定以及复数的有关概念；

B、理解复数的概念、表示法及相关概念；2.逻辑推理：复数相等；

C、掌握好数的分类及复数相等的条件。3.数学运算：好数相等求字母的值；

4.直观想象：熟悉的扩充。

教学重难点

1.教学重点：对i的规定以及复数的有关概念。

2.教学难点：复数概念的理解。

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教

师引导学生进行简明扼要的概括和总结)

①10:3=?

②3-5=?通过复习数系的扩

③正方形的面积是2,求该正方形的边长充过程，引入本节

新课。建立知识问

④求方程一+1=°的解。

的联系，提高学生

概括、类比推理的

能力。

思考：我们知道，对于实系数一元二次方程，+1=°,没有实数

根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得

到圆满解决呢？通过思考，引

入虚数单位，提高

【分析】引入新数,，并规定:学生分析问题、概

括能力。

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的

加、乘运算律仍然成立.

»叫做虚数单位。

(-)复数的概念

形如"砥〃、Z^R)的数叫做兔数，

全体复数所成的集合叫做复数集，一般月字母C表示。

(二)复数的代数形式

复数通常用字母z表示，即z=a+万(八bsR)

其中。叫复数z的,b叫复数z的o

【答案】实部虚部

练一练：

把下列式子化为。+从(纵beR)的形式，并分别指出它们的实部和

虚部

(1)2-/=:(2)-2/=：

(3)5=；(4)0=o通过练习题巩固复

【答案】⑴2-i=2+(-i),实部2,虚部-1；数的形式，提高学

(2)-2/=0+(-2)i,实部0,虚部2生解决问题的能

(3)5=5+0/,实部5,虚部0；力。

（4）0=0+0/,实部0,虚部0。

思考：根据上述几个例子，复数z=a+bi可以是实数吗？满足什么

条件？

【答案】b=0时，复数为实数。

（三）、复数的分类

r实数（

复数纯虚数（）

Zp=aHn

虚数（广

.非纯虚数（）

试一试：

1、下列数中,6182..2

实就9万小⑸5甲8。，

虚数有'f；

其中纯虚数是。

【答案】实数：2+77,0.618,0,/2；虚数：

通过练习题，进一

步巩固复数的分

-Z,3-9V2ZJ（1-V3）^4-8；纯虚数：-Z,Z（1-V3）

77类，提高学生概括

2、判断下列命题是否正确：问题的能力。

（1）若心匕为实数，则Z=a+例为虚数。

（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数。

（3）若。为实数，则Z=a一定不是虚数。

【答案】（1）错（2）错⑶对

例1、实数m分别取什么值时，复数z=/n+14-（w-l）z是

⑴实数；⑵虚数；（3）纯虚数。

【解析】

解:（1）当即析=】时，女数意足实数•

（2）当m-1X0.即时，复数之是虚敷•

（3）为，”+|-0.][”j—]¥o,即用1时，”数n是纯电数.

通过例题、练习

练习：当m为何实数时，复数题进一步巩固复数

的分类，提高学生

z-w2+m-2+（m2-l）ifim€R,

的概括问题的能

是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零。力、解决问题的能

力。

【解析】（1）当加2-1=0即加=±1时，复数Z为实数；

（2）当相2—1。0即加0±1时，复数z为虚数；

0

（3）当《m~+，1/1—2=即m=-1时，史数Z为纯虚数;

/一I/O

2

(4)当F:〃L2=0即团=]时，复数z为零。

(四)、复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数通过例题的讲解，

相等.让学生进一步理解

复数相等的概念，

若4、b、c、dGR,a+bi=c+dia=c且b=

提高学生解决与分

注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数析问题的能力。

可以比较大小。

例2已知(2彳.1)+2=y_(3_y)i,其中K、y€R,求X与y的

值。

【解析】由已知得I'一]二＞,解得工=2S,y=4。

三、达标检测

1.判断正误

(1)若小6为实数，则Z=〃+历为虚数.()

(2)复数i的实部不存在，虚部为0.()通过练习巩固本节

(3)”是纯虚数.()所学知识，通过学

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复生解决问题的能

数相等.()力，感悟其中蕴含

【答案】(l)x(2)x(3)x(4)^的数学思想，增强

2.已知复数z=〃一(2—b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数小学生的应用意识。

b的值分别是()

A.,1B.,5C.±,5D.±,1

▲.■一a2=2.

【答案】C【解析】令-2+b=3,得〃=±，力=5.

3.已知丁一则实数x,y的值分别为________.

x=1[x=­1

【答案】i或,

ly=i3=-1

【解析】•・・f—)a+2xyi=2i,

A2—y25，[x=1,A-=-1,

•••4c解得i或

.2孙=2,b=i,J=.l.

4.实数/力分别取什么数值时，亚数Z=（用2+5/n+6)+(/»-2〃?一15)i

(1)5目取;（2）虚数；（3）纯虚数；（4）是0?

【解^5]由加2+56+6=0得，m=—2或，n=-3,由a2-2/〃一15

=0得m=:5或6=-3.

⑴三自加2—2，〃-15=0时，复数z为实类3，机=5或一3.

⑵三自加2—2加一15r0时，复数z为虚数m/5且小羊―3.

m2—2w—15^0,

⑶三r区+5机+6=。时'好数z；是纯虚数，.,.机=-2.

m2-2m-15=0,

⑷得早苏+5加+6=。时‘复数z是0,m=-3.

四、小结通过总结，让学生

一、数系的扩充；进一步巩固本节所

二、复数有关的概念：学内容，提高概括能

1、复数的代数形式；力，提高学生的数学

2、复数的实部、虚部：运算能力和逻辑推

3、虚数、纯虚数；理能力。

4、复数的相等。

五、作业

习题7.12,3题

教学反思

1、教师要精心设计合作的学习内容

教师课前要花充足的时间，钻研教材，把握教学重点、难点,充分认识每个学生的特长与不足。要有针对性

课前预设，精心选择有价值的问题或练习，提高小组合作学习质量。并不是所有的教学内容都适合小组合作学

习，对于那些开放性的练习，在学生经过独立思考之后，再进行小组交流，这个过程让学生感受到与人合作的快

乐。

2、在合作过程中给学生足够的思维时间和空间

合作学习之前学生先独学，有了初步想法后再探究、交流，共同解决问题。这样做给不爱动脑思考或学习

有一定困难的学生提供进步的机会，让他们能有话可说，提高讨论效率。对提高学生的学习能力是有很大帮助

的。

【新教材】7.1.2复数的几何意义

教学设计（人教A版）

教材分析

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步

的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的

过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

教学目标与核心素养

课程目标：

1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；

2.掌握实轴、虚轴、模等概念；

3,掌握用向量的模来表示复数的模的方法.

数学学科素养

1.数学抽象：狂平面及复数的几何意义的理解；

2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式；

3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模；

4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.

教学重难点

重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.

难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、情景导入

提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢?

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本70・72页，思考并完成以下问题

1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？

2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.复平面

2.复数的几何意义

jixF而

⑴复数z=a+〃i(a,b£R)<------------------►复平面内的点b).

（2）复数z=a+历（a,（£R）«一一对应，平面向量0Z.

［规律总结］实轴、虚轴上的点与复数的对应关系

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（。,0）,它所

确定的复数是z=O+Oi=O,表示的是实数.

3.复数的模

>

⑴定义：向量0Z的模厂叫做复数z=a+bi（〃，b£R）的模.

⑵记法：复数z=a+bi的模记为|z|或|a+bi|.

（3）公式：团=|。+加=/=后工P（9，r£R）.

四、典例分析、举一反三

题型一复数与复平面内的对应关系

例1求实数。分别取何值时，复数2=下5一+伍2一2-15)i(“£R)对应的点Z满足下列条件:

(1)在复平面的第二象限内.

(2)在复平面内的x轴上方.

【答案】(1)〃V—3.(2)〃>5或aV—3.

/一，一6

【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内，贝小〃+3<'解得。<一3.

02—2。-15>0,

[a2-2a—15>0,

(2)点Z在x轴上方，则，,即(〃+3)3—5)>0,解得a>5或“V—3.

3+3和，

解题技巧(利用复数与点的对应的解题步骤)

(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：爱数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标.

(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复

数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.

跟踪训练一

1、实数x取什么值时，匆:平面内表示复数z=f+x—6+Q2—2x—15)i的点Z：

(1)位于第三象限；(2)位于直线x—y—3=0上

【答案】(1)-3a<2.(2)x=-2.

【解析】因为x是实数，所以/+工一6./一射一15也是实数.

f+x-6<0,

(1)当实数x满足Lc,,八即一3a<2时，点Z位于第三象限.

Jr—2x—15<0,

(2)当实数x满足(f+x—6)—-21—15)—3=0,即3%+6=0,X=—2时，点Z位于直线工一)，-3=0上.

题型二复数与平面向量的对应关系

---►---►---►

例2已知平面直角坐标系中。是原点，向量04,05对应的复:数分别为2—3i,—3+2i,那么向量8A对

应的复数是()

A.-5+5iB.5-5iC.5+5iD.-5一5i

【答案】B.

【解析】向量OA,0B对应的复数分别为2—3i,—3+2i,根据复数的几何意义，可得向量0A=(2,

---►

-3),0B=(-3,2).

>),

由向量减法的坐标运算可得向量BA=OA-OB=(2+3,—3—2)=(5,—5),根据复数与复平面内的

--->

点一一对应，可得向量84对应的复数是5-5L

解题技巧：(复数与平面向量对应关系的解题技巧)

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，句量的终点对应的复数即为向

量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.

(2)解决复数与平面向里一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、

复平面内的点、向量之间的转化.

跟踪训练二

1、在复平面内，A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,—1+2i.

-----►----->----►

U)求向量AB,AC,8c对应的复数；

：2)若A8CO为平行四边形，求。对应的复数.

>------►>

【答案】(1)AB,AC,5c对应的兔数分别为1+i,-2+2i,-3+i.

(2)。对应的复数为-2+i.

【解析】(1)设。为坐标原点，由复数的几何意义知：

--->---►--->--->--->

0A=(1,0),OB=(2,1),0。=(一1,2),所以•=OB—QA=(1,1),

-----►----->-----►----►----->

~AC=OC~OA=(-2,2),BC=OC~OB=(-3,1),

I>>----->

所以AB,AC,对应的复数分别为1+i,—2+2i,—3+i.

(2)因为48co为平行四边形，所以AO=8。=(-3,1),

。力=04+AD=(L0)+(-3J)=(-2J).所以O对应的复数为-2+i

题型三复数模的计算与应用

例3设复数4=4+3，/2=4-3九

(1)在复平面内画出复数4*2对应的点和向量；(2)求复数4*2的模，并比较它们的模的大小.

【答案】⑴图见解析，4，Z2对应的点分别为对应的向量分别为°Z|,°Z2⑵㈤=5,

闫=5㈤玉|

【解析】(1)如图，复数马/2对应的点分别为Z1,Z2,对应的向量分别为西，西.

2222

(2)|Z1|=|4+3Z|=V4+3=5»|z21=|4-3/1=74+(-3)=5.所以忆|:卜|.

例4设zwC，在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1)|z|=l；(2)1<|z|<2.

【答案】(1)以原点。为圆心，以1为半径的圆.

(2)以原点。为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.

【解析】(1)由Iz|=l得，向量反的模等于1,所以满足条件|z|=1的点Z的集合是以原点。为圆心,

以1为半径的圆.

z<2,

（2）不等式l<|z|<2可化为不等式

z>1.

不等式|z|<2的解集是圆|z|=2的内部所有的点组成的集合,

不等式Iz|>1的解集是圆Iz|=1外部所有的点组成的集合,

这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件l<|z|<2的点Z的集合.容易看出，所求

的集合是以原点。为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）.

解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）

（1）复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小.

⑵根据复数模的计算公式|。+历|=，齐*可把复数模的问题转化为实数问题解决.

⑶根据复数模的定义|z|=|0Z\t可把复数模的问题转化为向量模（即两点的距离）的问题解决.

跟踪训练三

1、已知复数z=a+bi（〃£R）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则爱数z等于

（）

A.-1+V3iB.]+小j

C.-1+小1或1+小1D.-2+小i

【答案】A.

+3=4,_

【解析】由题意得解得。=-1.故z=-l+小i.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

7.1.2复数的几何意义

L复平面例1例2例3例4

2.复数的几何意义

七、作业

课本73页练习，73页习题7.1的剩余题.

教学反思

本节重在研究复数的几何意义，顾名思义就是从平面和向量两方面研究复数，得出其几何意义，内容比

较抽象，学生理解起来有一定难度。所以本节课定要提前安排好预习工作，应采用诱思探究式教学，逐层拨

开其真实面目，让学生达到融会贯通的目的.

【新教材】7.2.1复数的加、减法运算及其几

何意义教学设计（人教A版）

教材分析

复数四则运算是本章的重点，更数代数形式的加法的运算法则是一种规定，兔数的减法运算法则是通

过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.

教学目标与核心素养

课程目标：

L掌握复数代数形式的加、减运算法则；

2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

数学学科素养

1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;

2.数学运算；复数加、减运算及有其几何意义求相关问题；

3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.

教学重难点

重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.

难点：力"、减运算及其几何意义.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

教学过程

二、情景导入

提问：1、试判断下列更数1+4;-2，,6了,-2-0/；7。0,0-3/.在复平面中落在哪象限？并画出其对应的

向量。

2、同时用坐标和儿何形式表示复数4=1+4/・与Z?=7-2/・所对应的向量，并计算鬲+应;。

3、向量的加减运算满足何种法则？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本75-76页，思考并完成以下问题

1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？

2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.复数加法与减法的运算法则

⑴设4=。+历，Z2=c+$是任意两个复数，则

①zi+Z2=Q+c)+S+tZ)i；

@Z\—Z2=(4—c)+(b—Ji.

(2)对任意Z1,Z2,z3ec,有

①Z1+Z2=Z2+Z1；

②(z1+Z2)+Z3=Z]+(Z2+Z3).

2.复数加减法的几何意义

图3-2-1

如图3-2-1所示，设复数zi，Z2对应向量分别为0乙，0Z2，四边形0ZZZ2为平行四边形，向量。Z与复

—>

数Z1+Z2对应，向量Z2Z1与复数Z1—Z2对应.

思考：类比绝对值拉一即|的几何意义，|z-zo|(z,zo£C)的几何意义是什么？

提示Iz-zo|(z,为£C)的几何意义是复平面内点Z到点Zo的距离.

四、典例分析、举一反三

题型一复数的加减运算

例1计算：

(l)(-3+2i)-(4-5i)；

(2)(5-6i)+(—2—2i)—(3+2i)；

(3)(a+bi)+(2。-3加)+4i(a,Z?£R).

【答窠】⑴-7+7i.(2)-10i.(3)%+(4—2b)i.

【解析】(1)(一3+2i)—(4-5i)=(-3—4)+[2—(一5)]i=-7+7i.

(2)(5—0)+(—2—2。一(3+2i)=[5+(—2)—3]+[(—6)+(-2)-2Ji=-10i.

(3)3+岳)+(2a-3bi)+4i=3+2a)+S-36+4)i=3a+(4-2b)i.

解题技巧(复数加减运算技巧)

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果

的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.

Q)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从

左到右依次进行计算.

跟踪训练一

1.计算：(l)2i-［3+2i+3(-l+3i)］；

⑵(a+3i)-(30-4加)-5i(。,bWR).

【答案】(1)一9i.(2)—24+(6A—5)i.

【解析】⑴原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-lli=-9i.

⑵原式=—Z?+6Z?i—5i=-2a+(6b—5)i.

题型二复数加减运算的几何意义

例2根据复数及其运算的几何意义，求匆:平面内的两点21(%1，%)乂2(不，月)1,瓦的距离.

［答案］［Z】Z2l=J(x1-x2y+(y1-y2y.

【解析】因为复平面内的点Zi(%“i),Z2(%2，y2)对应的复数分别为Zi=%i-yii,z2=x2+为上

所以ZiZ之间的距离为IZ1Z2I=|存|=|Zi-Z2|

=1(*1一％2)+仇一、2)1

=--2)2+(%—、2)2

解题技巧：(运用复数加、减法运算几何意义注意事项)

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加

法"首尾相接”和减法”指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的

匆:数是Z-z(终点对应的复数减去起点对应的复数).

BA

跟踪训练二

1、已知四边形ABCZ)是复平面上的平行四边形，顶点A,B,C分别对应于复数一5—2i,-4+5i,2,求点

。对应的复数及对角线AC,8D的长.

【答案】D对应的复数是l-7i,AC与BD的长分别是病和13.

【解析】如图，因为AC与8。的交点M是各自的中点，所以有期=三/=卫尹，

所以ZD=ZA+ZC-Z8=1—7i,

----►

因为AC:z。一ZA=2一(―5—2i)=7+2i,

所以IAC|=|74-2i|=^/72+22=V53,

----->

因为8。:ZD-ZB=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i,

----->

所以IBD|=|5-12i|=^52+122=13.

故点。对应的复数是l-7i,AC与3。的长分别是相和13.

题型三复数加、减运算几何意义的应用

例3已知zWC,且|z+3-4i|=l,求|z|的最大值与最小值.

【答案】|z|max=6,|z|min=4.

【解析】由于|z+3-4i|=|z-(—3+4i)|=l,所以在复平面上，复数z对应的点Z

与复数一3+4i对应的点。之间的距离等于1,故复数z对应的点Z的轨迹是以。(一3,4)为圆心，半径等于

1的画.

而团表示复数Z对应的点Z到原点0的距离,又|00=5,

所以点Z到原点O的最大距离为5+1=6,最小距离为5—1=4.

即|zk«=6,|z|min=4.

解题技巧(复数的加、减法运算几何意义的解题技巧)

(l)|z—z|表示复数z,z的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号区变为两复数差的形式.

00

(2)|z—z1=7•表示以z对应的点为圆心，r为半径的圆.

oo

(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,

然后通过几何方法进行求解.

跟踪训练三

1.设Z1，z2ec,已知|Z1|=|Z2|=1，|ZI+Z2|=A/5,求|ZI—Z2].

【答案]\Z]—Z2\=y[2.

【解析】设Z]=a+bi,Z2=c+「(a,b,ctd£R),

由题设知。2+及=1,/+法=1,m+c)2+(b+①2=2,

又(a+c)2+S+t/)2=a2+勿0+/+/+264+1,

可得2ac+2仇7=0.

••・|21—22|2=3-。)2+(方-6/)2=，+^+/+心一(2ac+2W)=2,

Z2|=A/2.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义

1.复数的加、减法运算例1例2例3

2.复数的加、减法运算的几何意义

七、作业

课本77页练习，80页习题7.2的1、2题.

教学反思

本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数

的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯

通.

【新教材】7.2.2复数的乘除运算

教学设计（人教A版）

教材分析

复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结

果中把i2换成一1,再把实部、虚部分别合并.复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共趣复

数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.

教学目标与核心素养

课程目标：

L掌握复数代数形式的乘法和除法运算；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；

3.理解且会求复数范围内的方程根.

数学学科素养

1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则；

2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导；

3.数学运算：复数四则运算；

4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.

教学重难点

重点：复:数代数形式的乘法和除法运算.

难点；求复数范围内的方程根.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

教学过程

三、情景导入

前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种

运算法则？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本77-79页，思考并完成以下问题

1、复数乘法、除法的运算法则是什么？

2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共物复数解决问题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.复数代数形式的乘法法则

已知zi=a+=,Z2=c+知,小b,cfd£R,则z/Z2=(a+bi)(c+㈤=(oc-M)+(ad+bc)i.

"是示］复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i?换成一1,再把实部、

虚部分别合并.

2.复数乘法的运算律

对于任意Z1，Z2，Z3eC,有

交换律ZrZ2=Z2'Zi

结合律(Z1-Z2)-Z3=ZI(Z2-Z3)

乘法对加法的分配律Z|⑵+z3)=Z"2+zrZ3

3.复数代数形式的除法法则

ac+bd,be—ad

3+bi)：(c+M)=+/+7】«,+&¥())

四、典例分析、举一反三

题型一复数的乘法运算

例1计算下列各题.

(l)(l-2i)(3+4i)(-2+i)；(2)(2—3i)(2+3i)；(3)(1+i)2.

【答案】⑴-20+155⑵13.(3)2i.

【解析】(1)原式=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.

⑵原式=(2—i)(-1+5i)(3-4i)+2i=4-9i2=4+9=13.

(3)原式=1+2i+i2=1+2i-1=2i.

解题技巧(复数乘法运算技巧)

1.两个复数代数形式乘法的--般方法

(1)首先按多项式的乘法展开.

⑵再将i?换成一1.

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.

2.常用公式

(l)3+bip=a2—庐+2abi(a,b^R).

(2)(a+bi)(a一方i)=d+庐伍，8£R).

(3)(1土i)2=±2i.

跟踪训练一

1.计算：(l—i)2—(2—3i)(2+3i)=()

A.2-13iB.13+2i

C.13-13iD.-13-2i

【答案】D.

【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.

2.若复数(l—i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是()

A.(—co,1)B.(—00,—1)

C.(1,+co)D.(-1>+oo)

【答案】B.

【解析】因为Z=(l—i)3+i)=a+l+(l-a)i,

所以它在复平面内对应的点为3+

。+