捕食者-捕食者模型稳定性分析

被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明/——食饵(食用鱼)在时刻的数量；/——捕食者(鲨鱼)在时刻的数量；——食饵(食用鱼)的相对增长率；——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')图1.数值解，的图形>>plot(x(:,1),x(:,2)),grid,图2.相轨线图形从数值解及，的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(1250,214)。下面对其平衡点进行稳定性分析：由微分方程(3)、(4)得到如下平衡点:,,因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时()才有意义，所以，对而言要求>0。按照判断平衡点稳定性的方法计算：根据等于主对角线元素之和的相反数，而为其行列式的值，我们得到下表：平衡点稳定条件<1>1不稳定七、模型分析与检验1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：1)对而言，有=，=，故当<1时，平衡点是稳定的。意义：如果稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。2)对而言，有=，=，故当>1时，平衡点是稳定的。意义：如果稳定，则两物种恒稳发展，会互相依存生长下去。3)对而言，由于，，又有题知>0,>0,故<0,即是不稳定的。2.平衡点的检验：对于平衡点，把前面给出的初始值带入，在这使用MATLAB软件进行简单的求解，在命令窗口输入如下代码：>>x(1)=(3500.*(1+1.5))./(1+1.5.*4);>>x(2)=(500.*(4-1))./(1+1.5.*4);>>[x(1);x(2)]ans=1.0e+003*1.25000.2143把此处求解出的解和前面得出的数值解进行比较可知，平衡点是稳定的。八、模型的评价与推广1.模型的评价自然界中，任何物种即使是捕食者也有自身的阻滞作用，该模型从原始的没带自身阻滞作用模型中加入了阻滞项，使得此模型更接近于生态平衡系统。从此模型中，我们知道两物种同时灭绝是不稳定的，也就是不太可能的，但两种群有一种灭绝一种生存是完全有可能的，两种群共存的可能也是可能的。2.模型的推广本文只考虑两物种模型，我们完全可以把此模型推广到三物种的情形。自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状，如恢复原有的周期和振幅，而Volterra模型描述的周期变化状态却不是结构稳定的。要得到能反映周期变化的结构模型，要