高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题4.4等差数列(B)专项练习(原卷版+解析)

专题4.4等差数列(B)第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（

）A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺2．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列与的前n项和分别为，且，则（

）A． B． C． D．24．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（

）A．11 B．1 C．约等于1 D．25．（重庆市2023届高三上学期11月调研数学试题）设等差数列的前项和为，，，，则（

）A． B． C． D．6．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知是等差数列的前项和，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．67．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列{}的前项和为，若，，则（

）A．52 B．450 C．4700 D．57008．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（

）A．若，，则， B．若，，则，C．若，，则， D．若，，则，二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（

）A． B． C． D．11．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（

）A．数列是单调递减数列B．C．数列的公差的取值范围是D．当时，12．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（

）A．B．存在等差数列，使得其前n项和C．存在等差数列，使得其前n项和D．对任意的第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.14．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，则取最大值时，n的值为______.15．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．16．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，.(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值.18．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知：(1)求；(2)若，数列的前项和为，求证：.19．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题）数列中，为的前项和，，.(1)求证:数列是等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列的前项和.20．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知数列满足，(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列；(2)求数列的前10项和．21．（2022·贵州遵义·高三期中（文））在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．(1)求；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．22．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列中，(1)求数列的前n项和的最大值(2)求数列的前n项和为.专题4.4等差数列(B)第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（

）A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺【答案】A【分析】利用等差数列的定义即可求解.【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则夏至到处暑增加4d，立夏到夏至减少3d，夏至的晷长为x，则，解得，故选:A．2．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质计算得到公差，，再利用等差数列求和公式进行求解.【详解】因为为等差数列，所以，所以，又，所以公差，由得：，故故选：B3．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列与的前n项和分别为，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据等差中项结合前n项和运算求解.【详解】∵数列与均为等差数列，则，∴，即.故选：B.4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（

）A．11 B．1 C．约等于1 D．2【答案】B【分析】首先求数列的通项公式，再根据的意义，求的值.【详解】，解得：，所以，，所以.故选：B5．（重庆市2023届高三上学期11月调研数学试题）设等差数列的前项和为，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列为等差数列，利用求和公式求得首项与公差，进而可得.【详解】由数列为等差数列，则，解得，则，解得或，又，所以，故选：B.6．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知是等差数列的前项和，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，则.故选：B.7．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列{}的前项和为，若，，则（

）A．52 B．450 C．4700 D．5700【答案】C【分析】设等差数列{}的公差为，根据已知条件求得，即可求得答案【详解】设等差数列{}的公差为，所以，解得，所以，，所以，故选；C8．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（

）A．若，，则， B．若，，则，C．若，，则， D．若，，则，【答案】B【分析】根据等差数列前项和、通项公式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】设等差数列的公差为，A选项，若，，，，则，，则，，无法判断符号，A选项错误.B选项，，则，所以，所以.，则，所以，，B选项正确.C选项，若，，，，则，，则，则，，C选项错误.D选项，若，，则，当时，所以，但，所以D选项错误.故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．故选：ABC．10．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】先利用等差数列的通项公式求出，再由题意逐一判断即可【详解】因为，，所以，数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，，所以故A错误，BC正确；设数列中的第项是数列中的第项，则，所以当时，，故，所以D正确，故选：BCD11．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（

）A．数列是单调递减数列B．C．数列的公差的取值范围是D．当时，【答案】ACD【分析】由，可知，得A正确；由可知B错误；利用，，结合等差数列通项公式可构造不等式组求得的范围，知C正确；由可确定D正确.【详解】对于A，，，，，公差，数列为递减数列，A正确；对于B，，，B错误；对于C，，，C正确；对于D，，，又，为递减数列，当时，，D正确.故选：ACD.12．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（

）A．B．存在等差数列，使得其前n项和C．存在等差数列，使得其前n项和D．对任意的【答案】CD【分析】首先根据题意得到的通项公式，再利用累加法得到的通项公式，然后逐项计算判断即可.【详解】由，的首项为，公差为1，所以，即，所以，解得.故A不对.等差数列的前项和，因此B不正确；，为等差数列的前项和，因此，故C正确.因为，所以，所以即.故D正确.故选：CD第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.【答案】8【分析】用基本量表示题干条件，求得通项公式，由与的等差中项为代入计算即可.【详解】由题意，不妨设数列的首项为，公差为，又，，故，解得，故，故与的等差中项为.故答案为：814．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，则取最大值时，n的值为______.【答案】【分析】根据已知条件求得等差数列的公差，由求得正确答案.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，由，解得，由于，所以取的最大值时，的值为.故答案为：15．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153【分析】根据已知数，求出其规律即可求解结论．【详解】解：因为：1，，，，；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：；第9个六边形数为：．故答案为：153．16．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.【答案】100【分析】先判定正项数列为等差数列，利用等差数列的性质得到，再利用均值定理即可求得的最大值【详解】正项数列为“调和数列”，则可令（为常数），则正项数列为等差数列，公差为则则，则则（当且仅当时等号成立）则的最大值是100故答案为：100四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，.(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差数列的前项和以及通项公式列方程即可求解；（2）由，结合二次函数的性质即可求得最值.（1）根据等差数列的性质，，故，设等差数列的公差为，则由,可得，整理得，解得或（舍），∴.（2）∵，，∴.，∴在或处取得最小值，且最小值为.18．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知：(1)求；(2)若，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题设条件结合等差数列定义和前项和即可得出；（2）利用裂项相消法即可求得，根据的表达式可较易证明.【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，即，解得，所以.（2）证明：由（1）知：，，，越大，越大，故是递增数列，∴，而，故.19．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题）数列中，为的前项和，，.(1)求证:数列是等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得到，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）解：数列中，为的前项和，，①，当时，，解得；当时，②，①②得③，所以④，由③④得，所以数列为等差数列，所以公差，所以．（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以.20．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知数列满足，(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列；(2)求数列的前10项和．【答案】(1)答案见解析；(2)．【分析】（1）由已知递推关系求