高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题4.2数列的概念(B)专项练习(原卷版+解析)

专题4.2数列的概念(B)第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）数列满足，，则（

）A． B． C．2 D．32．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知，则（

）A．506 B．1011 C．2022 D．40443．（2022·陕西省洛南中学高二阶段练习（理））记数列前项和为，且数列满足，，则（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（

）A． B．C． D．5．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A．103 B．107 C．109 D．1056．（2022·全国·高二课时练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（

）A．89 B．55 C．34 D．1447．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知数列的首项，且，，是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（

）A．不存在a和n使得 B．不存在a和n使得C．不存在a和n使得 D．不存在a和n使得二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值11．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（

）A． B．C． D．12．（2022·重庆南开中学高二期末）已知数列满足：，，若为的前项和，则（

）A． B．C．是递增数列 D．第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.14．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．15．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项．16．（2022·上海·曹杨二中高二阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表：数列满足：，且对于任意的正整数，点都在函数图象上，则______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足．(1)写出数列的前3项；(2)求数列的通项公式．18．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．19．（2022·四川·泸州市龙马高中高二开学考试（文））已知数列前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.20．（2017·山西太原·高二期中（文））已知数列的前项和为，且满足，.(1)求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；(2)设，，求的最大值21．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知在数列中，其前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)，数列的前项和为，求的取值范围.22．（2022·全国·高二课时练习）将正整数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表：(1)写出数表中第4行、第5行的各数；(2)写出数表中第10行的第5个数；(3)数表中每一行的第1个数依次构成数列，数表中每行的最后1个数依次构成数列，试分别写出数列、的递推公式．专题4.2数列的概念(B)第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）数列满足，，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由递推公式可得数列是的周期数列，从而得解.【详解】，且，，，，，所以数列是的周期数列，所以.故选：A2．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知，则（

）A．506 B．1011 C．2022 D．4044【答案】D【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.【详解】解：，，，，，，显然，当时，满足，∴，.故选：D.3．（2022·陕西省洛南中学高二阶段练习（理））记数列前项和为，且数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据递推式得到为下标周期为4的数列，并求得，进而求.【详解】由题设，，，，，…所以是下标周期为4的数列，且，则.故选：D4．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用累乘法计算可得.【详解】解：因为，所以，，，，，，所以，即，又，所以；故选：A5．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【分析】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即可得出，求得答案.【详解】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即，则，∴，故选：B6．（2022·全国·高二课时练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（

）A．89 B．55 C．34 D．144【答案】C【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案.【详解】设第行实心圆点的个数为，由题图可得，，，，，，，……，则，故，，，．故选：C．7．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.【详解】当时，有，即；当时，有，又，即，综上，有，故选：C．8．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知数列的首项，且，，是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（

）A．不存在a和n使得 B．不存在a和n使得C．不存在a和n使得 D．不存在a和n使得【答案】A【分析】利用特殊值的思路，分别令、来去判断即可.【详解】令，则所有的奇数项都为1，偶数项都为5，此时，故C选项错误；令，则所有的奇数项都为2，偶数项都为4，此时，，故BD选项错误，综上所述，A选项正确.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，【答案】B【分析】根据题意，得到，，，，…，由此得到答案.【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含，由此可得数列满足.故选：B．10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值【答案】CD【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误.的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；，故B错误；当时，，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.故选：CD.11．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首项根据数列特征得到，，判断出AB选项，再根据数列的递推公式利用累加法求出，从而求出，得到C正确；D选项可举出反例.【详解】根据题意，可知，且，故A错误，B正确，因为，所以，所以，C正确；因为，故D错误.故选：BC12．（2022·重庆南开中学高二期末）已知数列满足：，，若为的前项和，则（

）A． B．C．是递增数列 D．【答案】ACD【分析】利用递推式求出可判断A；利用递推式求出可判断B；利用得与同号，且可判断C；由得，然后利用累项求和可判断D.【详解】，，时，，时，故A正确；时，所以，故B错误；由得与同号，又，所以，所以，所以是递增数列，故C正确；由得，所以，，，，以上各式累加得，即，所以，当时，，所以，故D正确.故选：ACD.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.【答案】【分析】由先求得，再根据求得的表达式，验证首项，即可得答案.【详解】,故当时，；当时，，不适合上式，，故答案为：.14．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第个图中有__________个点．【答案】【分析】本题首先可以观察题目所给的五个图像，找出每个图形之间有什么联系，然后通过每个图形之间的联系猜想出通项公式，得出结果【详解】图(1)只有1个点，无分支，故个数为1；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点，故个数为；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点，故个数为；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点，故个数为；图(5)除中间1个点外，有五个分支，每个分支有4个点，故个数为；…；猜测第个图中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，故第个图中点的个数为故答案为：15．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项．【答案】4【分析】由，与1比较大小，分析数列的单调性，即得解【详解】由题意，，故，令，解得；令，解得；故时，；时，，故数列的最大项为第4项.故答案为：416．（2022·上海·曹杨二中高二阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表：数列满足：，且对于任意的正整数，点都在函数图象上，则______.【答案】【分析】推导出对任意的，，再利用数列的周期性可求得结果.【详解】由题意可得，，，，，以此类推可知，对任意的，，且，因此，.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足．(1)写出数列的前3项；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据数列递推式可求得其前3项；（2）由由可得,两式相减即可求得答案.（1）由数列满足，可得：时，；当时，；当时，；（2）由可得，两式相减可得，也适合该式，故数列的通项公式.18．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【答案】(1)3；6(2)an＝.【分析】（1）分别令，，求出，即可；（2）利用，得到＝，再利用累乘法求即可.（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.（2）∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.19．（2022·四川·泸州市龙马高中高二开学考试（文））已知数列前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知前n项和，可用计算通项公式.（2）通过裂项相消法计算数列的前n项和.（1）由题可知，当时，综上：（2）20．（2017·山西太原·高二期中（文））已知数列的前项和为，且满足，.(1)求，，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；(2)设，，求的最大值【答案】(1)，，，，猜想：.(2).【分析】（1）利用，和的递推关系，可求得的值，由此猜想.（2）由，可求得的通项公式，代入并化简，利用对勾函数的单调性即可求得的