高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题5.10高二上期末(第一册-第二册数列)模拟试卷(B)专项练习(原卷版+解析)

专题5.10高二上期末(第一册--第二册数列）模拟试卷(B)第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022春·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）如果，，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知向量，，且，则实数的值为（

）．A．4 B． C．2 D．3．（2021春·山东威海·高二威海市第二中学校考期末）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（

）A． B． C． D．14．（2022春·江苏徐州·高三期末）等差数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．25．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线，F为C的下焦点．O为坐标原点，是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为的直线l交于点A，交x轴的正半轴于点B，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．6．（2022·陕西汉中·统考一模）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．138．（2022春·江西上饶·高三校联考阶段练习）已如椭圆的左，右两焦点分别是，其中，直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（

）A．若，则B．若的中点为M，则C．的最小值为D．，则椭圆的离心率的取值范围是二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022春·广东茂名·高二统考期末）已知曲线，下列说法正确的是（

）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是双曲线，其渐近线方程为10．（2022春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（

）A． B．数列的通项公式为：C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列11．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（

）A． B．C． D．12．（2022春·吉林长春·高二校考期中）已知在正方体中，点为线段的中点，点F在正方体棱上移动，则下列结论成立是（

）A．当是线段中点时，与所成角为60°B．直线与可能垂直C．直线与可能平行D．异面直线与所成最小角的余弦值是第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知平面，则与平面所成角为__________．14．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知直线：与直线关于直线对称，点在圆：上运动，则动点到直线的距离的最大值为____________.15．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.16．（2022春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．(1)求反射光线所在的直线的方程．(2)求与距离为的直线方程．18．（2022·全国·高二假期作业）双曲线的右焦点，点在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)直线与双曲线的右支交于M，N两点，求k的取值范围．19．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线：上一点到焦点的距离为，(1)求抛物线的方程；(2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知数列的前项和为，且成等比数列．(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和，求证:.21．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）如图，四棱锥中，侧面底面，底面为梯形，，且，．作交于点，连接交于点．(1)设是线段上的点，试探究：当在什么位置时，有平面;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．22．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）椭圆C：（）的左右焦点分别为，，上顶点为A，且，．(1)求C的方程；(2)若椭圆E：（且），则称E为C的倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：与两椭圆C，E交于4点（依次为M，N，P，Q，如图）．且，证明：点T（k，m）在定曲线上．专题5.10高二上期末(第一册--第二册数列）模拟试卷(B)第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022春·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）如果，，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限.【详解】由可得，，因为，，故，.故直线不经过第四象限.故选：D2．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知向量，，且，则实数的值为（

）．A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为，，且，所以，解得.故选：A3．（2021春·山东威海·高二威海市第二中学校考期末）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可．【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，由于，所以，解得，所以线段AD的长度为.故选：A4．（2022春·江苏徐州·高三期末）等差数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出公差，得到，进而利用裂项相消法求和.【详解】设等差数列的公差为，则，解得：，故，故，故.故选：B5．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线，F为C的下焦点．O为坐标原点，是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为的直线l交于点A，交x轴的正半轴于点B，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分别表示出A、B坐标，利用求得，即可求出离心率.【详解】因为F为双曲线的下焦点，不妨设，所以过F作斜率为的直线，所以.因为是C的斜率大于0的渐近线，所以可设.由联立解得：.因为，所以，解得：.所以离心率.故选：C6．（2022·陕西汉中·统考一模）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及两点的距离公式，利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆上的点到直线的最值问题及三角形的面积公式即可求解.【详解】因为直线分别与轴，轴交于两点，所以令，得，所以，令，得，所以，所以，因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离为,设点到直线的距离为，所以，即，于是有，所以，故面积的取值范围为.故选:A.7．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值【详解】解：由题意在圆中∴圆心，半径为3，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示：由几何知识得，当时，为最短弦长；为最长弦长，为6.此时，直线的解析式为：直线的解析式为：圆心到弦BC所在直线的距离：连接,由勾股定理得，∴，∴最短弦长，∵，，…，是公差为的等差数列∴设∵最长弦长为6∴解得：故选：D.8．（2022春·江西上饶·高三校联考阶段练习）已如椭圆的左，右两焦点分别是，其中，直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（

）A．若，则B．若的中点为M，则C．的最小值为D．，则椭圆的离心率的取值范围是【答案】D【分析】依题意，l过椭圆的左焦点，作图，逐项分析即可.【详解】依题意，l过，作上图，对于A，由椭圆的定义知：，错误；对于B，联立方程，得，由韦达定理得：，所以AB的中点弦的斜率为，正确；对于C，显然，当轴时，最短，此时，但由于k是存在的，不会垂直于x轴，不存在最小值，错误；对于D，设，则有，，即A点在以原点为圆心，2c为半径的圆上，因此，原题等价于有解，解得，则必有，即，即，错误；故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022春·广东茂名·高二统考期末）已知曲线，下列说法正确的是（

）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是双曲线，其渐近线方程为【答案】AD【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解.【详解】因为曲线，若，，则：和，即表示两条直线，所以A选项正确；若，则，即是以为圆心，半径为的圆，所以B选项错误；若，即，则，即是焦点在轴上的椭圆，所以C选项错误；若，则，即是渐近线方程为的双曲线，所以D选项正确.故选：AD.10．（2022春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（

）A． B．数列的通项公式为：C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.【详解】因为，所以当时，，两式相减得，所以，又因为当时，满足上式，所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，，所以，故C正确；因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，故D正确.故选:ACD.11．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由函数的奇偶性可得，，且，通过赋值法可得的值，即可判断选项A，B，C；再将上述两式合并整理可得，结合数列中的分组求和思想与等比数列求和公式，即可得的表达式，能判断选项D.【详解】解：是偶函数关于对称，关于对称，即，又函数为奇函数，所以，即，，，则，，，故选项A正确，B错误；则，，又，所以，故选项C正确；由，可得，即，所以，故选项D正确.故选：ACD.12．（2022春·吉林长春·高二校考期中）已知在正方体中，点为线段的中点，点F在正方体棱上移动，则下列结论成立是（

）A．当是线段中点时，与所成角为60°B．直线与可能垂直C．直线与可能平行D．异面直线与所成最小角的余弦值是【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法进行逐项检验即可判断.【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在正方体中，设其棱长为2，则,，对于，若是线段中点，则，，所以直线与所成角为60°，故选项正确；对于，设，要使直线与垂直，则有，解得：，当与点重合时，直线与垂直，故选项正确；对于，设，要使直线与平行，则有，这样的不存在，所以直线与不可能平行，故选项错误；对于，设，设异面直线与EF所成的夹角为，则，（），当时，，当异面直线与所成角最小时，则最大，即时，，故选项正确．故选：.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知平面，则与平面所成角为__________．【答案】##【分析】先由题意可知平面的一个法向量为，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得与平面所成角.【详解】因为平面，所以平面的一个法向量为，又因为，设与平面所成角为，则，所以，因为，所以.故答案为：.14．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知直线：与直线关于直线对称，点在圆：上运动，则动点到直线的距离的最大值为____________.【答案】6【分析】求出直线所过定点，从而得到直线恒过点，求出圆心，从而得到，数形结合得到动点到直线的距离的最大值.【详解】变形为，令，解得：，故直线恒过定点，关于对称的点，故直线恒过点，变形为，圆心为，半径为1，故圆心与的距离为，则动点到直线的距离的最大值为BC的长加上半径，即.故答案为：615．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.【答案】##【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解．【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，由题可知：．设，，则，由①②得，，，代入③整理得，，两边同时除以得，，即，即，解得，即．故答案为：【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.16．（2022春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________.【答案】【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可.【详解】如图所示：设，，因为点在第一象限，所以.又因为均在以线段为直径的圆上，所以四边形为矩形，即.因为，所以，即.因为，，所以，即.因为，设，，即，.因为，所以在区间单调递增.所以，即.当时，解得，即，解得；当时，解得，即，即.综上.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．(1)求反射光线所在的直线的方程．(2)求与距离为的直线方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由题可得，进而可得，然后结合条件及直线的点斜式即得；（2）根据平行线间距离公式即得.【详解】（1）由，可得，即，又，所以，所以反射光线所在的直线的斜率为，故反射光线所在的直线的方程，即；（2）由题可设所求直线方程为，则，解得或，所以与距离为的直线方程为或.18．（2022·全国·高二假期作业）双曲线的右焦点，点在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)直线与双曲线的右支交于M，N两点，求k的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意求出即可；（2）联立方程得，根据直线与双曲线的右支交于M，N两点，可得，解之即可.【详解】（1）解：由题意可得，解得，所以双曲线方程为；（2）解：联立，消得，因为直线与双曲线的右支交于M，N两点，所以，解得，所以k的取值范围为.19．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线：上一点到焦点的距离为，(1)求抛物线的方程；(2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据抛物线的定义和已知条件可求出的值，即可求得抛物线的方程；（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得，，再由整理，由此得到，直线的方程为，从而求得定点．【详解】（1）由抛物线方程可得，准线方程为，因为抛物线：上一点到焦点的距离为，所以，解得，所以抛物线的方程为：；（2）抛物线的方程为，在抛物线上，所以，因为在第一象限，故，所以，依题意，直线的斜率存在若不存在，则与抛物线只有一个交点，设直线的方程为，，，联立，消去，得，则，，，因为直线，的斜率之积为1，即，故，整理得，所以，得，故直线的方程为，所以直线过定点．20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知数列的前项和为，且成等比数列．(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和，求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由利用得数列是等差数列，从而可得其通项公式；（2）由错位相减法求得和后结合单调性可证不等式成立．【详解】（1）因为，所以，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，其公差.由成等比数列，得，则，所以，所以;（2）由题可知，所以，所以，两式相减得，所以.所以，又，所以是递增数列，，故.21．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）如图，四棱锥中，侧面底面，底面为梯形，，且，．作交于点，连接交于点．(1)设是线段上的点，试探究：当在什么位置时，有平面;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)当点​是线段​上靠近点​的三等分点时，有​平面​．(2)​．【分析】（1）根据，得到，，即可推出平面∥平面，然后根据面面