初中数学++菱形的性质与判定+课件++北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形第1课时菱形的性质数学初中数学北师大版九年级上册1菱形的性质与判定复习导入回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。复习导入性质：边：平行四边形的对边平行且相等.角：平行四边形的对角相等，邻角互补.对角线：平行四边形的对角线互相平分.对称性：平行四边形是中心对称图形.回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？观察平行四边形图形的变化，你有什么发现？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

——探究新知——

下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形.探索并掌握菱形的定义测量折叠重合平行四边形一组邻边相等菱形（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？想一想菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。（2）菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。想一想1.菱形的四条边都相等.2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形是轴对称图形做一做用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？菱形是轴对称图形；有两条对称轴；两条对称轴互相垂直。做一做用菱形纸片折一折，回答下列问题：（2）菱形中有哪些相等的线段？菱形的四条边相等。类比平行四边形的性质，从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将结论进行归纳.边角对角线对称性四条边都相等对边平行对角相等对角线互相垂直对角线互相平分每一条对角线平分一组对角既是中心对称图形又是轴对称图形已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:（1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:（1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.又∵四边形ABCD是菱形,（2）∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中，∵OB=OD,∴AO⊥BD，即AC⊥BD.定理菱形的四条边都相等.菱形的对角线互相垂直.例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC

与BD相交于点O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB

和对角线AC的长。解：∵四边形ABCD

是菱形，∴AB=AD（菱形的四条边相等），AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD=BD==3（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形

ABD

中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA=.∴AC=2OA=（菱形的对角线互相平分）1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.【选自教材P4页随堂练习】

——达标检测——

解：∵四边形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴BO=∵四边形ABCD是菱形，∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）.∴BD

的长为6cm.1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.【选自教材P4页随堂练习】

——达标检测——

2.已知：如图，在菱形ABCD

中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.【选自教材P4页习题1.1第1题】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，又∵∠BAD=2∠B,∴∠B=60°，∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.3.如图，在菱形ABCD

中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.【选自教材P4页习题1.1第2题】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）AO=OC，BO=DO（菱形的对角线互相平分）.在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.∴菱形ABCD

的周长为20.4.已知：如图，在菱形ABCD

中，对角线AC

与BD

相交于点O.求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD

平分∠ABC和∠ADC.【选自教材P4页习题1.1第3题】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD

，BO=DO，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，同理：

AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.5.如图，在菱形ABCD

中，对角线AC

与BD

相交于点O.图中有多少个等腰三角形和直角三角形？【选自教材P5页习题1.1第4题】有4个等腰三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD.有4个直角三角形，分别是△AOB、△AOD、△BOC、△COD.

——课堂小结——

有一组邻边相等具有平行四边形的所有性质特殊性质对角线边轴对称图形第一章特殊平行四边形第1课时菱形的性质数学初中数学北师大版九年级上册1菱形的性质与判定菱形的定义和性质？说一说复习导入定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.边：四条边相等，对边平行.角：对角相等.对角线：对角线互相垂直平分.复习导入菱形平行四边形满足？条件探究新知根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.菱形平行四边形满足？条件对角线边角探究菱形的判定条件平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明吗？已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证:

□ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是线段AC的垂直平分线∴BA=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？议一议如图，分别以A，C

为圆心，以大于AC

为半径作弧，两弧交于B、D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD

看上去是菱形.菱形平行四边形满足？条件对角线边角探究菱形的判定条件平行四边形的边满足什么条件时，它就是菱形了？猜想：四边相等的四边形是菱形.已知：如图，在四边形ABCD

中AB=BC=CD=DA,求证：四边形ABCD

是菱形。证明：∵AB=CD，BC=DA,∴四边形ABCD

是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD

是菱形（菱形的定义）定理四边相等的四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！例2已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O，AB=，OA=2，OB=1.求证：□ABCD是菱形.证明：在△AOB

中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.1.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm.[教材P7随堂练习]达标检测（1）作AC=6cm，取AC的中点O,（2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm，（3）依次连接点A，B，C，D.2.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC

的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F.求证：四边形AFCE

是菱形.[教材P7习题1.2第1题]证明：在□ABCD中，AD∥BC，即AE∥FC.又∵EF为AC的垂直平分线，∴AC⊥EF，AO=OC，即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.∴四边形AFCE

为平行四边形.又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE

是菱形.3.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与

BD相交于点O

，点E，F，G，H

分别是OA，OB，OC，OD

的中点.求证：四边形EFGH

是菱形.[教材P7习题1.2第2题]证明：∵四边形ABCD

是菱形，∴AD

CB，AC⊥BD.又点E，F，G，H

分别为OA，OB，OC，OD

的中点，∴HE∥AD且

HE=AD，FG∥BC且FG=BC，∴HE

GF，即四边形EFGH为平行四边形.又∵AC⊥BD，∴四边形EFGH

是菱形.∥=∥=4.如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.[教材P7习题1.2第3题]四边形CDC′E

是菱形.证明：连接CC′，交DE

于点O.由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，∴△COE≌△C′OD，即EC=C′D.又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，∴四边形CDC′E

是菱形.课堂小结菱形的判定定理菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四边相等的四边形是菱形.第一章特殊平行四边形第1课时菱形的性质数学初中数学北师大版九年级上册1菱形的性质与判定情景导入如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：_________________

.添加方式2：_________________

.一组邻边相等AC⊥BD☆回忆：菱形有哪些判定？对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四边相等的四边形是菱形.新课导入例3如图，四边形ABCD

是边长为13cm的菱形，其中对角线BD

长为10cm.求：(1)对角线AC

的长度；(2)菱形ABCD

的面积.解：(1)∵四边形ABCD

是菱形，AC

与BD

相交于点E，∴∠AED=90°（菱形对角线互相垂直），DE=BD=×10=5（cm）（菱形对角线互相平分）.∴AE===12（cm）.∴AC=2AE=2×12=24（cm）（菱形的对角线互相平分）.(2)菱形ABCD

的面积=△ABD

的面积+△CBD

的面积=2×△ABD

的面积=2××BD×AE=2××10×12=120（cm2）.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？做一做证明：∵等宽纸条对边平行，∴AD∥BC，

AB∥CD，∴□ABCD

是平行四边形，从A点作AM⊥DC交于点M,作AN⊥BC交于点N,∵是两张等宽的纸，∴AM=AN.∵□ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM，∵AM⊥DC

，AN⊥BC，∴∠ANB=∠AMD=90°，∴△ABN≌△ADM，∴AB=AD,∴四边形ABCD

是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）如图你能用一张锐角三角形纸片ABC

折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？先沿着红色线对折，使AB与AC重合；再沿着蓝色线对折；最后沿着绿色线对折。【选自教材P9随堂练习第1题】达标检测1.菱形ABCD

的周长为40cm，它的一条对角线BD

长10cm.（1）求这个菱形的每一个内角的度数；（2）求这个菱形另一条对角线的长.解：（1）∵菱形ABCD

的周长为40cm，∴AB=BC=CD=DA=10（cm）,又∵BD=10（cm），∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BCD=60°，∠ABC=∠CDA=120°.【选自教材P9随堂练习第1题】1.菱形ABCD

的周长为40cm，它的一条对角线BD

长10cm.（1）求这个菱形的每一个内角的度数；（2）求这个菱形另一条对角线的长.（2）∵△AEB是直角三角形，AB=10（cm），BE=5（cm），AE===（cm）.AC=2AE=（cm）【选自教材P9随堂练习第2题】2.已知，如图，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC

的垂直平分线分别交BC和AB

于点D、E，点F

在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF

是菱形.证明：由题意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.又∵

DE为

BC垂直平分线，∴DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，∴CA=CE=AE.又∵AF=CE，∴AF=AE.∵∠FEA=∠EAC=60°=∠F，∴EF=AF=AE，∴AF=EF=CE=CA，∴四边形ACEF

是菱形.【选自教材P9习题1.3第1题】3.已知：如图，在菱形

ABCD中，E、F分别是AB和BC

上的点，且BE=BF，求证：(1)△ADE≌CDF；(2)∠DEF=∠DFE.证明:(1)在菱形ABCD中,∠C=∠A,AD=DC=BC=AB.∵BE=BF,∴AE=CF,

∴△ADE≌△CDF.(2)由(1)可知,DE=DF.∴∠DEF=∠DFE.【选自教材P9习题1.3第2题】4.证明：菱形的