模型23 勾股定理-赵爽弦图模型-解析版

第六讲勾股定理模型（二十三）——赵爽弦图模型◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形【证明】在正方形中，BE=CF=GD=AH，∴AE=BF=CG=HD,又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴Rt△BEF≌Rt△CFG≌Rt△DGH≌Rt△AHE，∴EF＝FG＝GH＝HE,∠AHE＝∠BEF，∵∠AEH＋∠AHE＝90°∴∠AEH十∠BEF＝90°∴∠FEH＝90°∴四边形EHGF是正方形.◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则四边形ORQP是正方形【证明】∵EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四边形AHPE、四边形EBFQ、四边形FCGP、四边形HOGD均为长方形，∴△AEH≌△PHE≌△BFE≌△QEF≌△CGF≌△RFG≌△DHG≌△OGH,∴HP=EQ=FR=GO,EP=FQ=GR=HO,∴OP=PQ=QR=RO，且∠ROP=180°-∠HOG＝90°，∴四边形ORQP为正方形.◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则（1）S正方形=4S十S正方形;（2）S正方形=4S十S正方形;（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.（4）2S正方形=S正方形十S正方形注：常见的勾股数组合①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1．（2022·福建·厦门双十中学思明分校八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．2．（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解．【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是，所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，所以，，所以，所以．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和ab的值是关键．3．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于，若小正方形的边长为，则大正方形的边长为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】设BF=x，利用含30°角的直角三角形的三边关系可得AB=2x，AF=x，再根据EF=1，列出方程，从而解决问题．【详解】解：设，，，，，，，解得，，故选：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，勾股定理，含30°角的直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的三边关系是解题的关键．小试牛刀小试牛刀1．（2022·北京十一晋元中学八年级期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论正确的是_____．（填序号即可）①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9．【答案】①②③【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【详解】解：如图，∴，故①正确，∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：，故②正确，由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得：4××xy+4=49，即2xy=45；故③正确；由2xy=45①，又∵②，∴①+②得，，整理得，，x+y=≠9，故④错误，∴正确结论有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，完全平方公式，算术平方根的应用，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．2．（2022·河南南阳·八年级期末）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，③所示的正方形（图②中大正方形边长为5，图③中中间小正方形边长为1），则图①中菱形的面积为________．【答案】12【分析】设菱形较长对角线长为2a，较短对角线长为2b，根据两种拼图得到，计算a，b的值，后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．【详解】设菱形较长对角线长为2a，较短对角线长为2b，根据两种拼图得到，解得，所以菱形的面积为：=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了菱形的性质，方程组，熟练掌握菱形的性质，方程组是解题的关键．3．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE＝1，则正方形ABCD的面积为________．【答案】5【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图：由题意得，，，，，，正方形的面积，故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．4．（2022·河南安阳·八年级期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的值是____________．【答案】49【分析】根据题意和图形，可以得到，，然后变形即可得到ab的值，再将展开，将a2+b2和ab的值代入计算即可．【详解】解：由图可得，，，∴，∵小正方形的面积是1，∴，∴，∴，∴===25+24=49；故答案为：49．【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解答本题的关键是求出ab的值，利用数形结合的思想解答．1．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．【答案】289【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，，①，②，，③，，解得或（舍去），大正方形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键．2．（2020·湖南娄底·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定