《工程流体力学》第3章 流体静力学

工程流体力学

第三章流体静力学§3-1流体平衡微分方程一、流体静压强及其特性假设用平面ABCD将流体团分为I、II两部分，再将I部分移去，并以等效的力作用在平面ABCD上以代替它对II部分的作用。从平面ABCD上任取面积△A，设△F为部分I作用在△A上的总作用力。则将△F和△A的比值称为△A上的平均压强，以表示，即当面积△A无限缩小到一点时，比值趋近于某一个极限值，此极限值称为点的流体静压强，以表示，即流体静压强以Pa表示，1Pa=1N/m2。§3-1流体平衡微分方程一、流体静压强及其特性流体静压强有如下两项特性：（1）静压强方向必然总是沿作用面的内法线方向，即垂直并指向作用面。（2）静止流体中任点处的压强大小与其作用面方位无关，即同一点上各方向的静压强大小均相等。作用于静止流体内一给定点处不同方向的压强是常数，但在不同点处这一值一般并不相等，因而静止流体内的压强是位置的函数：§3-1流体平衡微分方程二、欧拉平衡方程在直角坐标系中，设密度为ρ的流体在体积力为作用下处于平衡状态。以流体质点M为基点，取边长分别为dx，dy，dz的正六面体为流体元。压强在流体元上的合力是由于存在压强梯度而造成的，图中仅标出沿x方向的压强分布。在过M点的yoz平面上压强为p，在相对的平面上压强有增量。这样作用在流体元上沿方向的压强合力与体积力平衡式为§3-1流体平衡微分方程二、欧拉平衡方程上式消去dxdydz后可得压强偏导数与体积力分量的关系式：在y、z方向，同理可得：矢量式为：上式为流体的平衡微分方程，又称为欧拉平衡方程。一般情况下体积力分布为已知条件，压强分布是需要求的。如果流体密度为常数，可对欧拉平衡方程直接积分求压强分布；如果流体是可压缩的（如大气），还需要补充密度与压强之间的关系式才能求解。式3-6式3-7式3-8式3-9§3-1流体平衡微分方程三、等压面流体压强在一点邻域内的空间增量可用全微分表示为将式3-6~式3-8中的压强偏导数分别代入此式，得因为等压面是压强场等值面，其压强处处相等。在上式中令dp=0，可得：上式为等压面的微分方程，若质量已知，积分此式可得等压面方程。式3-10式3-11§3-1流体平衡微分方程四、流体平衡的条件若将式3-6~3-8中的三个分方程式分别对坐标交错求导，得：即：对于均质流体，ρ=常数，压强全微分式3-10变为欲使式3-13成立，必须使质量力矢量为某个标量函数的梯度。也就是说，若有势，必存在一个势函数，使式3-12式3-13§3-1流体平衡微分方程四、流体平衡的条件从而使全微分成立：即：式3-15表明，均质流体保持平衡的条件是质量力必须为有势力。重力是有势力，因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。式3-15式中称为质量力的力势函数。

U的物理意义：U的偏导数为质量力在各坐标轴的投影，而流场中空间任意点均存在质量力，此流场为有势力场。§3-2重力场中的流体平衡设图示的容器中静止的液体均质，容器上腔气压为。取图所示坐标后，可得

代入静平衡微分方程得积分得一、流体静力学的基本方程即：能量形式式中：gz为单位质量流体的重力势能，p/ρ为单位质量流体的压强势能。§3-2重力场中的流体平衡能量形式方程可改写为式中：z为位置水头；为压强水头。表明：不可压重力流体处于平衡状态时，精水头线C或计示精水头线为平行于基准面的水平线。一、流体静力学的基本方程水头形式能量形式和水头形式，均称为流体静力学基本方程，也称为静止流体能量守恒方程。其适用条件：①均质或不可压缩流体；②体积力为重力；③同种流体的连通范围内。§3-2重力场中的流体平衡在连通的流体内部，任取1和2两点，满足：此式表明，同种流体的密封连通器内，任两点的静水头高度相等。对于确定的两点，一点的压强变化必引起另一点压强的相同变化。在密封的充满流体的连通器内，一点的压强变化可瞬间传递到整个连通器域内，这就是帕斯卡原理。一、流体静力学的基本方程实用形式对于静止流体内部的压强分布，若自由面z=z0上p=p0，则淹没水深h=z0-z处压强为。可见重力场中不可压静止流体中压力分布随深度呈线性增加。§3-2重力场中的流体平衡1.密度ρ=C时：当可压缩流体密度为常数时，由流体平衡微分方程3-10，质量力只有重力，fx=fy=0，fz=-g，得二、可压缩流体中的压强分布因为气体的密度很小，对于一般的仪器和设备，当高度不是很大时，重力对气体压强的影响很小，可以忽略。故可认为各点的压强相等，即ρ=C。例如：在储气罐内的气体，可认为各点的压强相等。式3-18积分上式得：§3-2重力场中的流体平衡2.密度为变量时：以大气层为对象，研究压强的分布规律。二、可压缩流体中的压强分布在对流层中，密度随压强和温度变化，由理想气体状态方程式得，代入式3-18，得（1）对流层式3-20式中，温度T随高度变化，，T0为海平面上的热力学温度，0.0065K/m。于是有：§3-2重力场中的流体平衡积分上式得：整理得：二、可压缩流体中的压强分布将国际标准大气条件海平面（平均纬度45°）上的温度T0=288K（158）、P0=1.013×105

N/m2、R=287J/（kg·K）、β=0.0065代入上式，得到对流层标准大气压分布式3-21kPa式中，0≤z≤11000m。§3-2重力场中的流体平衡（2）同温层同温层的温度二、可压缩流体中的压强分布同温层最低处zd=11000m的压强，由式3-21算得pa=22.6kPa,式3-22将以上条件代入式3-20并积分，便可得到同温层标准大气压分布：KkPa式中，11000≤z≤25000m。§3-2重力场中的流体平衡三、浮力与稳定性如图所示，潜下表面abcde和上表面afcde。分析各自的压力体，可以合成该潜体的压力体。上表面组成的压力体，液体与压力体位于同侧，为正压力体；下表面组成的压力体，液体与压力体位于异侧，为负压力体。总压力的垂直分力即为浮力：该式表明，沉没在均质流体中的物体所受浮力的大小等于排开流体的重量，此即阿基米德浮力定律。§3-2重力场中的流体平衡三、浮力与稳定性潜体的稳定性取决于物体重心与浮心的相对位置，如图所示，一般有三种情形：稳定平衡：平衡时重心c位于浮心b正下方。当物体倾斜时，重力G与浮力Fb构成一恢复力偶，使物体回到平衡位置。不稳定平衡：平衡时重心位于浮心正上方。当物体倾斜时，重力与浮力构成一倾倒力偶，使物体倾覆。随遇平衡：平衡时重心与浮心重合。当物体倾斜时，既不发生恢复，也不发生倾倒。只有在均质液体中的均质潜体才有可能达到随遇平衡。§3-2重力场中的流体平衡四、压强的计量与测量1、绝对压强绝对压强是以完全真空（p=0）为基准计量的压强。对于p0=pa，则静止流体中某点的绝对压强为；2、相对压强相对压强是以当地大气压强pa为基准计量的压强，即高于大气压的压强，也称之为计示压强或表压强。那么，静止流体中某点的相对压强为；3、真空度负的计示压强，称为真空或负压强，用符号pv表示。则§3-2重力场中的流体平衡四、压强的计量与测量压强的单位：国际单位制为帕斯卡Pa（1Pa=1N/m2）；工程单位制，采用大气压（at，atm）、巴（bar）、液柱高度（mH2O，mmHg）。其换算关系：1atm（标准大气压）=1.01325Pa=760mmHg=10.33mH2O1at（工程大气压）=1kgf/cm2=98100Pa=736mmHg=10mH2O压强的测量，一般利用测压计进行流体静压强的测量，测压计类型主要有金属式、电测式、液柱式。例一、如图所示，有一直径d=100mm的圆柱体，其质量m=50kg，在力F=520N的作用下，当淹深h=0.5m时处于静止状态，求测压管中水柱的高度H。解圆柱底面上各点的压力为因测压管下方H+h的点与圆柱底面在同一等压面上，故所以§3-2重力场中的流体平衡例二、用如图所示测压计测量管A中水的压力p。已知h=0.5m，h1=0.2m，h3=0.22m，酒精的密度水银的密度，真空计度数真空度。求A中水的压力。解在绝对静止条件下，对连续均质流体，有1-2、3-4、5-6等压面关系，有由重力作用下静止液体中压力分布公式，得如下诸关系式§3-2重力场中的流体平衡这里不计B中空气的质量，为水的密度。联立上述各式，整理得

这里是用计示压强来表示的。§3-2重力场中的流体平衡§3-3流体的相对平衡相对平衡研究两种情况，一种为等加速直线运动，一种为等角速旋转运动。一、直线运动容器中的液体平衡液体静压强分布规律处于等加速直线运动的静止液体中的流体质点，受有等值线性惯性力和重力的共同作用。以图示容器和所选坐标来分析时，有：根据压强差公式3-10得积分可得利用边界条件：坐标原点x=0，z=0时压强为p0，确定积分常数c=p0，故得压强分布规律为式3-23上式即为等加速直线运动容器中液体的静压强分布公式。§3-3流体的相对平衡等压面方程由等压面微分方程（3-11），得积分可得由此方程可以看出，等加速水平运动中液体的等压面是斜平面，不同的常数C代表不同的等压面，故等压面是一簇水平的斜面，其倾斜角为式3-24可见，等压面与质量力的合力相互垂直。式3-25§3-3流体的相对平衡自由液面方程自由液面是过坐标原点的等压面，当x=0，z=0时，积分常数C=0；如果令自由液面上某点的垂直坐标为zs，则自由液面方程为或将式3-27代入流体静压强分布公式3-23，得式3-26式3-27从该式看出，液体内任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、密度为ρ的液体所产生的压强。即等加速水平运动容器中液体的静压强公式与静止流体中的静压强公式完全相同。§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡如图，盛有液体容器绕垂直轴以等角速度ω旋转。液体被容器带动也随容器一起旋转，当容器与液体达到相对平衡后，液面呈如图中所示的曲面。根据达朗贝尔原理，作用在单位质量液体的质量力为§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡1、液体静压强分布规律积分，得根据压强差公式（3-10），有利用边界条件：坐标原点r=0，z=0时压强为p0，确定积分常数C=p0，故得压强分布规律为，即：式3-28上式即为等角速度旋转容器中液体的静压强分布公式。§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡2、等压面方程积分，得由等压面微分方程（3-11），得不同的常数C代表不同的等压面，由此方程可以看出，等角速度旋转容器中液体相对平衡时，等压面是一簇绕轴的旋转抛物面。即：式3-29式3-30§3-3流体的相对平衡二、旋转运动容器中的液体平衡3、自由液面方程自由液面是过坐标原点的等压面，

当r=0，z=0时，积分常数C=0；如果令自由液面上某点的垂直坐标为z，则自由液面方程为将式（3-32）代入流体静压强分布公式（3-28），得式3-31式3-32即：从该式看出，绕垂直轴任一点的静压强等于自由液面上的压强加上深度为h、密度为ρ的液体所产生的压强。即等角速度旋转容器中液体静压强公式与静止流体中的静压强公式完全相同。§3-3流体的相对平衡§3-4静止流体对平壁的总压力1、总作用力的大小取与水平面成角平面上的面积A，并翻转90°角如图示，在h深处取dA上之作用力为总作用力为，若设C为A的形心，则静力矩得得，形心压强与面积的乘积。由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向，因此只须求总作用力的大小和作用点。一、解析法注：1、由于过形心C的惯性矩为正值，故，即压力作用点低于形心；2、各种图形之可查有关图标。3、对于非对称表面的x向位置，可以此方法推求。2、总作用力作用点取D为作用点，坐标，淹深，则由力矩原理有由惯性矩代入可得由平行移轴原理得总作用力作用点为§3-4静止流体对平壁的总压力

例一、如图所示，矩形闸门AB，宽b=1m，左侧油深h1=1m，油液密度，水深h2=2m，闸门的倾角，求作用在闸门在液体总作用力及作用点的位置。解：设闸门上油水分界点为E，总压力的作用点为D，为了便于求作用点的位置，将液体总压力为P1，P2，P3三部分，如图所示。§3-4静止流体对平壁的总压力上式中为水的密度。由可求得液体总压力P为总压力的作用点可由合力矩原理求得P1，P2，P3§3-4静止流体对平壁的总压力上式中§3-4静止流体对平壁的总压力

例二、示某水坝用一长方形闸门封住放水孔，闸门高L=3m，宽B=4m，闸门两边的水位分别为H1=5m，H2=2m。闸门垂直放置，试确定：（1）开启闸门时绳索的拉力T（绳索与水平面夹角为）。图中与比较很小，计算中忽略不计。（2）关闭位置时A点处的支撑力。解：（1）作用在闸板右侧的总压力为§3-4静止流体对平壁的总压力力P1的作用点力P2的作用点作用在闸板左侧的总压力为§3-4静止流体对平壁的总压力将闸门两侧的总压力及绳索拉力对转轴O取矩得到绳索拉力§3-4静止流体对平壁的总压力（2）闸门处于关闭状态时，绳索上拉力为零，闸板下端支撑

于A点，有力PA作用。将闸板上的受力对O点取矩，即

可求得PA。§3-4静止流体对平壁的总压力§3-4静止流体对平壁的总压力1、静水压强分布图根据基本方程p=p0+ρgh，直接绘在受压面上并表示各点压强大小和方向的图形。使用图解法，应先绘制静水压强分布图，然后据此计算静水总压力。二、图解法根据压强与水深呈直线变化的规律，只要定出AB面上两端点的压强，然后用直线连接两线段的端点(pA=0,

pB=

ρgH)，即得静水压强分布图。三角形ABC即为AB壁面上的静水压强分布图形。§3-4静止流体对平壁的总压力2、静水总压力设底边平行于液面的矩形ABCD,与水平面夹角为α，平面宽度为b，上下底边的淹没深度为h1、h2，二、图解法总压力的大小等于压强分布图的面积S，乘以受压面的宽度b，即F=bSABCD式3-32总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点，就是总压力的作用点。§3-5静止流体对曲壁的总压力静止流体对二维曲面壁的作用力如图所示。ab为二维曲壁的一部分，其形心C点的淹没水深为hCx，在ab上水深h处任取一面积微元dA，其水平方向投影面积dAx，铅垂方向投影面积dAz

。作用在dA上的总压力为dF=ρghdA，分解为一、静止流体对二维曲壁的作用力式3-37§3-5静止流体对曲壁的总压力将dFx对Ax积分得总压力的水平分力为一、静止流体对二维曲壁的作用力式3-38上式表明，液体对曲壁总压力的水平分力等于曲壁在该方向投影面积上的总压力，水平分力作用线通过投影面积的压强中心，方向指向曲壁，即水平分力相当于作用在平板Ax上的总压力。将dFZ对AZ积分得总压力的铅垂分力为式3-39其中称为压力体，它是图中曲面ab及其投影所围成的区域，而ρgVp则是压力体Vp内液体的重量。§3-5静止流体对曲壁的总压力一、静止流体对二维曲壁的作用力可见，液体对曲面壁总压力的铅垂分力等于压力体内液体的重量，垂直分力的作用线通过压力体的重心，即铅垂分力相当于压力体内的液体重力。总压力大小为：曲面壁总压力的水平分力作用线与垂直分力作用线交于一