模型14 全等三角形-平行线中点模型-解析版

全等三角形模型（14）——平行线中点模型◎结论：如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点， P为AB上一点，则△POE≌△QOF【证明】延长PO交CD于Q,∵AB∥CD∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ在△POE和△QOF中，∠POE＝∠QOFOE＝OF∠OEP＝∠OFQ∴△POE≌△QOFeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)有中点，有平行，轻轻延长就能行1．（2021·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，在△NAE和△CFE中，，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点，可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；【详解】四边形是平行四边形由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；故选项错误；同时延长和交于点在和中：由于条件不足，并不能证明，故选项错误；为的中点故选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于_____．【答案】【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，，∴△ACP≌△CBQ（AAS），∴AP＝CQ，PC＝BQ，∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，∵AP∥BQ，∴∠OAP＝∠OBH，∵点O是斜边AB的中点，∴AO＝BO，在△APO和△BHO中，，∴△APO≌△BHO（AAS），∴AP＝BH，OP＝OH，∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝，∵∠PQH＝90°，∴PH＝PQ＝12，∵OP＝OH，∠PQH＝90°，∴OQ＝PH＝6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．2．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，，由，，可得；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．①求证：；②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．【答案】感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴，∴，故答案为：；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴，即，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合题意，∴AP≠AD；当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴，即，解得：，∴，综上所述，当为等腰三角形时，BP的长为2或．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020·全国·九年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．1．（2022·浙江湖州·一模）我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形．（1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边上找出不同的点E，使得四边形是一个直分四边形．（2）如图3，在直分四边形中，和互补，且，请求出的长度．（3）如图4，在边长为2的正方形中，点E为的中点，F为上一点，使得，点G在的延长线上，连结交于点H，且．①请证明四边形为直分四边形．②求证：．【答案】（1）图见解析；（2）2或或；（3）①证明见解析；②证明见解析．【分析】（1）根据直分四边形定义可知，使得四边形是一个直分四边形则可能BE平分或AC平分,由此构造图形即可解答；（2）由直分四边形定义可知符合条件的直分四边形中，，再分AC平分、DB平分、DB平分三种情况求解即可；（3）①根据相似三角形性质求出，进而证明，，从而可得BH平分，即可解得；②在BC上取一点M使BM=BF，利用角平分线构造再证明，由全等三角形性质即可得出结论．【详解】解：（1）当BE平分时，，如图1，此时点E为所求，四边形是一个直分四边形，当AC平分时,，故AE=CE，点E在AC垂直平分线上，如图2，此时点E为所求，四边形是一个直分四边形；（2）∵，，∴，又∵在直分四边形中有一个内角是直角，∴，I．当AC平分时，如解图2-1，∵，，，∴（AAS），∴，∵，∴为等边三角形，∴；II．当BD平分时，如解图2-2，过B点作，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴III．当BD平分时，如解图2-3，过D点作，∴，∴，∵，∴，∴，综上所述：BD长为2或或；（3）①在正方形中，，，∵点E为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴四边形为直分四边形．②由①得：，，在BC上取一点M使BM=BF，由①得，又∵BH=BH，∴（SAS），∴FH=MH，∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∴．【点睛】本题主要考查了四边形综合，涉及网格作图、正方形性质、勾股定理与解三角形、三角形全等的性质及判定等知识点；解题关键是掌握阅读材料中直分四边形定义，利用角平分线构造全等进行解题．2．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延长BE交C