模型07 三角形-飞镖模型-解析版

三角形模型（七）——飞镖模型◎结论：如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C【证明】如图，延长BD交AC于点E.∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.其他添加轴助线的方法1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．3．（2020·浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24° B．25° C．30° D．36°【答案】B【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=160°，∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选：B1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若，则____________．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则______.【答案】【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.【详解】解：∵平分，平分，∴，∴.【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.3．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，已知四边形，求证．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】方法1如图所示，连接BC.在中，，即.在中，，；方法2如图所示，连接AD并延长.是的外角，.同理，..即.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.是的外角，.是的外角，..【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理.1．（2022·山西晋中·二模）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．，，，，，，，故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．2．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=__________°；②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，进而可得答案．【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣x+x＝77，∴x＝70，∴∠A为70°．故答案是：70．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．3．（2022·河北·景县第二中学八年级阶段练习）如图，在中，，一块直角三角尺XYZ放置在上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C．(1)________，________，________．(2)若改变直角三角尺XYZ的位置，但三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，则的大小是否变化？请说明理由．【答案】(1)150°；90°；60°(2)∠ABX＋∠ACX的大小不变．理由见解析．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；根据∠ABC+∠ACB=140°，∠XBC+∠XCB=90°，即可求出答案；（2）不发生变化，由于在△ABC中，∠A=30°，从而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于150°，同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一个定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不变，等于150°-90°=60°．（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABC+∠ACB=140°；∵在△BCX中，∠BXC=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=140°-90°=50°；故答案为：140°，90°，50°；（2）∠ABX＋∠ACX的大小不变．理由：在△ABC中，∠A＋∠