高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.5指数与指数函数【原卷版+解析】

专题3.5指数与指数函数【核心素养】1.以指数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．3.与对数函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．知识点一知识点一根式和分数指数幂1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±eq\r(n,a)a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.知识点二知识点二指数函数的图象和性质1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.2.指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常考题型剖析常考题型剖析题型一：根式、指数幂的化简与求值【典例分析】例1-1.（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（）A． B． C． D．例1-2.（2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.②＝________.【规律方法】1.化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【变式训练】变式1-1.计算：×0＋×－＝________.变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）计算化简：（1）＝________；（2）＝________.题型二：根式、指数幂的条件求值例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．例2-2.已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【规律方法】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x【变式训练】变式2-1.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．变式2-2.设，求的值．题型三：指数函数的解析式、求值【典例分析】例3-1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数，且当时，，则________.例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，且，，则的解析式为____________．【方法技巧】1.确定函数的解析式，常常利用“待定系数法”.2.求指数函数相关函数值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函数的其它性质，如函数的奇偶性，如例3-2.【变式训练】变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.题型四：指数函数相关定义域、值域问题【典例分析】例4-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（）A．， B．的定义域为[0，1]C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20]例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．【总结提升】指数函数相关定义域、值域问题，一般要结合函数的图象和性质，特别是函数的单调性；另外，含的复合函数问题，一般利用“换元法”转化求解.【变式训练】变式4-1.（2020秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）若定义运算，则函数的值域是（

）A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1]变式4-2.（山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则.题型五：指数函数的图象及其应用【典例分析】例5-1.（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．例5-2.（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（）．A． B．C． D．例5-3．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．例5-4.（2020·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为A． B． C． D．【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；=2\*GB3②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=3\*GB3③从周期性，判断图象的循环往复；=4\*GB3④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)与的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式训练】变式5-1.（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（）A． B．C． D．变式5-2.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是()A． B．C． D．变式5-3.（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（）A． B． C． D．变式5-4.（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（）A． B．C． D．题型六：指数函数的性质及其应用【典例分析】例6-1.（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例6-2.（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．例6-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．例6-4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式训练】变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，则（）A． B．C． D．变式6-2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式6-3.（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意都成立，则实数的取值范围____________．变式6-4.（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.一、单选题1．（2023·天津滨海新·统考三模）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则下列选项中可能为的解析式的是（

）

A． B．C． D．3．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．4.（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．5．（2018年新课标I卷文）设函数fx=2−x ，A.−∞ ，  −1B.06．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（

）A． B．C． D．7.（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．28．（2023·全国·高三专题练习）若，则函数的值域是（）A． B．C． D．二、多选题9.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知（k为常数），那么函数的图象不可能是（）A． B．C． D．三、填空题10．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数且在上的最大值为，则________.11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________.

专题3.5指数与指数函数【核心素养】1.以指数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．3.与对数函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．知识点一知识点一根式和分数指数幂1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±eq\r(n,a)a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.知识点二知识点二指数函数的图象和性质1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.2.指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常考题型剖析常考题型剖析题型一：根式、指数幂的化简与求值【典例分析】例1-1.（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同底数幂的运算法则进行计算.【详解】故选：C.例1-2.（2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.②＝________.【答案】1102【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.【详解】①原式＝.②原式=.故答案为：1；102【规律方法】1.化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【变式训练】变式1-1.计算：×0＋×－＝________.【答案】【解析】原式＝×1＋×－.变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）计算化简：（1）＝________；（2）＝________.【答案】0.09【分析】由分数指数幂定义计算即可得答案.【详解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.（2）＝＝＝故答案为：0.09；题型二：根式、指数幂的条件求值例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据指数幂运算法则计算即可得到A正确；根据基本不等式得到，根据等号取等条件判断等号不可取从而得到B正确；通过指数幂运算直接计算得到C正确；通过对平方后进行比大小即可得到D错误.【详解】因为，所以，故A正确；易知，，由基本不等式得，所以，当且仅当时取等号，又因为，即，所以等号不成立，所以，故B正确；，故C正确；由，得，故D错误．故选：ABC例2-2.已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以.（2）将两边平方得，所以.（3）由（1）（2）可得【规律方法】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x【变式训练】变式2-1.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．变式2-2.设，求的值．【答案】7【解析】,.题型三：指数函数的解析式、求值【典例分析】例3-1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数，且当时，，则________.【答案】/【分析】利用偶函数的定义即可求解.【详解】当时，，所以，又因为为偶函数，所以．故答案为：.例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，且，，则的解析式为____________．【答案】【分析】根据，求出，可得函数解析式.【详解】因为函数解析式为，则，则，由可得，，解得，所以.【方法技巧】1.确定函数的解析式，常常利用“待定系数法”.2.求指数函数相关函数值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函数的其它性质，如函数的奇偶性，如例3-2.【变式训练】变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答.【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确；又函数是奇函数，则，因此，即有，于是，即函数的周期为4，有，C正确；因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；当时，，所以，D错误．故选：ABC变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.【答案】【分析】由奇函数的性质可得出的值，利用奇函数的定义可求得函数在时的解析式，综合可得出函数在上的解析式.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，当时，，当时，，则，所以当时，，所以.题型四：指数函数相关定义域、值域问题【典例分析】例4-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（）A．， B．的定义域为[0，1]C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20]【答案】ABC【分析】根据指数函数图像恒过定点求出m，n的值，根据的定义域求的定义域，再根据指数函数和二次函数的单调性，求出的值域.【详解】令，得，此时，所以函数的图象过定点，即，，故选项A正确；因为，，所以，，所以，由得，所以的定义域为[0，1]，故B正确；易知在[0，1]上单调递增，所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值6，所以的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误．故选:ABC．例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．【答案】．【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.【详解】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．故答案为：.【总结提升】指数函数相关定义域、值域问题，一般要结合函数的图象和性质，特别是函数的单调性；另外，含的复合函数问题，一般利用“换元法”转化求解.【变式训练】变式4-1.（2020秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）若定义运算，则函数的值域是（

）A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1]【答案】D【分析】作出函数的图像，结合图像即可得出结论.【详解】由题意分析得：取函数与中的较小的值，则，如图所示（实线部分）：由图可知：函数的值域为：.故选：D.变式4-2.（山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则.【答案】【解析】若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；若，则在上为减函数,所以，解得，所以.题型五：指数函数的图象及其应用【典例分析】例5-1.（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B例5-2.（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.例5-3．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.故选：ABD.例5-4.（2020·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【分析】画出函数和的图像，转化为两个函数的图象有两个交点，结合图象观察可得结果.【详解】当时，，当时，，当时，，画出函数的图象，如图：因为方程有两个不同实根，所以函数和函数的图象有两个不同的交点.由直线过，得；由直线过，得；由直线过，得；而函数不过，因此有当时，函数和函数的图象有两个不同的交点.，即方程有两个不同实根.故选：A【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；=2\*GB3②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=3\*GB3③从周期性，判断图象的循环往复；=4\*GB3④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)与的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式训练】变式5-1.（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】就、分类讨论可得正确的选项.【详解】当时，为增函数，当时，且，故A,B不符合.当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.故选：D.变式5-2.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由于过点，故D选项错误.当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C变式5-3.（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.【详解】在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象，观察的区域，由图象可知，在区间和上，由此的解集.故选：A变式5-4.（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围.【详解】当时，，得，，不能满足都有解；当时，，得或，如图，当或时，只需满足或，满足条件.所以，时，满足条件.故选：A题型六：指数函数的性质及其应用【典例分析】例6-1.（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D例6-2.（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D例6-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.例6-4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．【答案】【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理.【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，故，于是.故答案为：【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式训练】变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性可得，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.【详解】因为函数在R上单调递减，，所以，因为函数在R为增函数，所以，又在上单调递增，所以，综上，.故选：A.变式6-2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】确定函数的图象关于中心对称，在上单调递减，且，不等式转化为或或，解得答案.【详解】依题意，，，故，故函数的图象关于中心对称，当时，，，单调递减，故在上单调递减，且，函数的图象关于中心对称，在上单调递减，，而，故或或，解得或，故所求不等式的解集为，故选：B.变式6-3.（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意都成立，则实数的取值范围____________．【答案】．【分析】分离参数，换元法求最值，可得实数的取值范围.【详解】原不等式可化为对恒成立，令，则，所以，当时，，所以.故答案为:.变式6-4.（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.【答案】【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数，均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，且满足，所以函数为奇函数，因为，即，可得恒成立，即在上恒成立，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.一、单选题1．（2023·天津滨海新·统考三模）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】取特值排除即可.【详解】因为，故A、C错误；又因为，故B错误；故选：D.2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则下列选项中可能为的解析式的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，结合选项中的函数，逐项判定，即可求解.【详解】由函数，可得对于A中，函数，当时，，当时，，其函数为单调递减函数，符合题意；对于B中，对于，当时，，不符合题意；对于C中，对于，当时，，不符合题意；对于D中，对于，当时，，不符合题意.故选：A.3．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】注意到，，后利用指数函数，幂函数单调性可比较大小.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，，.又函数在上单调递增，则，又，则.综上，.故选：A4.（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.5．（