中点、角平分线常用模型-题目版

一次函数的应用压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用图象法解一元一次方程】 1【考点二由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 3【考点三根据两条直线的交点求不等式的解集】 5【考点四两条直线的交点求二元一次方程组的解】 7【考点五一次函数的应用--方案问题】 9【考点六一次函数的应用--最大利润问题】 13【考点七一次函数的应用--行程问题】 16【考点八一次函数的应用--几何问题】 21【过关检测】 27【典型例题】【考点一利用图象法解一元一次方程】例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．【详解】解：把代入得，解得，∴一次函数与的图象的交点为，∴关于的方程的解是．故答案为：．【变式训练】1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为．【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：依题意得：的图象经过点，，解得：，，一次函数（为常数且与的图象相交于点，方程的解为，故答案为：．2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是．【答案】【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键．【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为，∴关于的方程的解为：，故答案为：．【考点二由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】例题：（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数与一元一次不等式之间的内在联系是解题的关键．由图像可知：，且当时，一次函数的图像在x轴的下方，，即可得到关于x的不等式的解集是．【详解】解：由图像可得：一次函数中，时，图像在x轴下方，此时，本号资料*全部来源于微#信公众号：数学则关于x的不等式的解集是．故答案为：．【变式训练】1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与轴的交点以及解不等式：先把代入，得，结合图象，得，则，那么，即为，系数化1，即可作答．【详解】解：∵一次函数与轴的交点坐标为∴把代入，得，∴结合图象，得∵∴则∵∴故答案为：2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，点在一次函数的图像上，则不等式的解集是．【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解．【详解】解：由图象可得：当时，，所以不等式的解集为，故答案为：．【考点三根据两条直线的交点求不等式的解集】例题：（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为．

【答案】【分析】本题主要考查直线与不等式，先求出两直线的交点为，代入，求出，及直线与的交点坐标，结合函数图象可得结论．【详解】解：∵直线与直线的交点的横坐标为，∴，∴直线与直线的交点坐标为，∴解得，，∴当时，，∴与轴的交点坐标为∴的解集为，故答案为：【变式训练】1．（22-23八年级上·广西钦州·期末）如图，直线经过点和点，直线经过点A，则不等式的解集为．

【答案】/【分析】本题考查一次函数与不等式，利用图象法求出不等式的解集即可．【详解】解：根据题意得，

∴不等式的解集为；故答案为：．2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有（填序号）．【答案】①④【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断．【详解】解：直线经过第一、三象限，，直线与轴的交点在轴下方，，，故①正确；一次函数与的图象的交点的横坐标为3，关于的方程的解是，故②错误；当时，，故③错误；当时，函数，一次函数与的图象的交点的横坐标为3，关于的方程的解是，，，故④正确；故答案为：①④．【考点四两条直线的交点求二元一次方程组的解】例题：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是．【答案】【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案．【详解】解：∵已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点，∴方程组的解是故答案为：【变式训练】1．（23-24八年级上·山东济南·期末）若方程组的解是，则直线与交点的坐标为．【答案】/【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标．【详解】解：∵方程组的解是，∴直线与的交点坐标是．故答案为：．2．（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数的图象和的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解为．【答案】【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的运用，掌握一次函数的交点与二元一次方程组的解的运用是解题的关键．根据一次函数的交点，把点代入一次函数，可解出的值，由此即可求解．【详解】解：∵一次函数的图象和的图象相交于点，∴，解得，∴，∴二元一次方程组的解为，故答案为：．【考点五一次函数的应用--方案问题】本号资料全部#来源于微信*公众号：数学例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满．（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；本号资料全部来源于：#数学（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．【答案】（1）三人间客房8间，双人间客房13间；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元【分析】（1）根据在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，一天一共花去住宿费6300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出y与x的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得x为何值时，费用最低，并写出最低费用时的住宿方案．【详解】解：（1）设租住了三人间客房a间，双人间客房b间，根据题意得：，解得：，答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间；（2）由题意可得，y600×0.5600×0.5＝﹣50x+7500，即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+7500；（3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50，∴y随x的增大而减小，∴当x满足、为整数，且最大时，住宿费用最低，∴当x＝48时，y取得最小值，此时y＝﹣50×48+7500＝5100，=16，=1，∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿费不是最低，答：一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案为：租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．本号资料全部来源于*：数学【变式训练】1．（2021下·广东广州·八年级统考期末）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？【答案】（1）购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；（2）；（3）该校至少需要投入资金元．【分析】（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；（2）根据（1）的结论可得购买型篮球的费用和购买型篮球的费用，再求和，然后根据两种型号的篮球个数均大于0求出的取值范围即可；（3）先根据“购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍”建立不等式求出的取值范围，再利用一次函数的性质即可得．【详解】解：（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，由题意得：，解得，符合题意，答：购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；（2）由题意得：购买型篮球的个数为个，则，即，，，则关于的函数关系式为；（3）购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，，解得，又，，对于一次函数，在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为，因此，在内，，答：该校至少需要投入资金元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．2．（2020下·甘肃庆阳·八年级校考期末）某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式；（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；（2）；（3）购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元．【分析】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，再建立二元一次方程组，解方程组即可得；（2）分和两种情况，结合（1）的结论，根据促销活动列出等式即可得；（3）先求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得．【详解】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，由题意得：，解得，答：每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；（2）设购买足球个，则购买羽毛球拍个，由题意，分以下两种情况：①当时，，②当时，，综上，关于的函数关系式为；（3）由题意得：，解得，为正整数，的最小值为17，，，由一次函数的性质可知，在内，随x的增大而增大，#本号资料全部来源于#：数学则当时，取得最小值，最小值为（元），此时，答：购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用、二元一次方程组的应用，依据题意，正确建立一次函数和方程组是解题关键．【考点六一次函数的应用--最大利润问题】本号资料全部来源于微信#公众号：数学例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表：类别A款自拍杆B款自拍杆进货价（元/个）3025销售价（元/个）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？【答案】(1)网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆(2)A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．（1）设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，根据题意得：，解得：．答：网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆；（2）解：设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，根据题意得：解得：，设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，则，即．∵，∴w随m的增大而增大，∴当时，w取得最大值，，．答：A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元．【变式训练】1．（2022·广东深圳·统考一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：水果单价甲乙进价（元/千克）售价（元/千克）2025已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．【详解】（1）解：由题意可知：本号资料全部来源于微信#公众号：数#学第六感，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，，甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y元，由题意可知：甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，，解得：，即，在中，，则y随m的增大而减小，当时，y最大，且为（元），购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．2．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元(2)，，且x为整数(3)商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元本号资料全部来源于：#数学【分析】（1）设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元，根据“用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同”列分式方程求解即可；（2）直接根据题意列出函数关系式，再根据“从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍”求取值范围；（3）根据一次函数的性质作答即可．【详解】（1）解：设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元，由题意得：，解得，经检验是原分式方程的解，∴，答：甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元．（2）解：根据题意，y与x之间的函数关系式为：，∵乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍，∴，解得，又∵，∴自变量x的取值范围是，且x为整数．（3）解：在中，∵，∴y随x的增大而减小，又∵，且x为整数∴时，y取得最大值，最大值为，此时，答：商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元．【点睛】本题考查了列分式方程求解，列一次函数关系式，求自变量取值范围，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【考点七一次函数的应用--行程问题】例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像；折线表示乙班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像，图中轴，与相交于点．请根据图像解答下列问题：(1)学校到科技馆的路程为______米；线段对应的函数表达式为______（）；(2)求线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；(3)图像中线段与线段的交点的坐标为______，点坐标表示的实际意义是_________．【答案】(1)3600；(2)(3)；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米【分析】本题考查函数综合，涉及从函数图像中得到信息、待定系数法确定函数关系式、函数图像交点求法及其实际意义，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．（1）由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像即可得到答案；利用待定系数法将代入确定函数关系式即可得到答案；（2）根据题意，数形结合，得到、，利用待定系数法将、代入确定函数关系式即可得到答案；（3）由（1），（2）所得函数表达式，联立方程组求解即可得到点的坐标，从而根据函数图像交点的实际意义即可得到答案．【详解】（1）解：由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像可知，学校到科技馆的路程为3600米；设线段的函数关系式为，将代入得，解得，线段对应的函数表达式为故答案为：3600；；（2）解：甲班比乙班先出发5分钟，，设线段对应的函数表达式为，将、代入得，解得，线段对应的函数表达式为；（3）解：联立，解得，图像中线段与线段的交点的坐标为，点坐标表示的实际意义是当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米，本号资料全部来源于：数*学第六感故答案为：；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米．【变式训练】1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；(2)试计算：何时两车相距300千米？【答案】(1)，(2)或【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关键．（1）直接运用待定系数法就可以求出、关于的函数图像关系式即可；（2）分为两种情况：在相遇前，；当两车相遇后，，然后求解即可．【详解】（1）解：设，将点代入，可得，解得，∴；设，将点，代入，可得，解得，∴；（2）①两车相遇前，可有，即解得；②两车相遇后，可有，即，解得．答：两车行驶或时两车相距300千米．2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)求出图中函数，的图象交点的坐标；(2)求关于的函数解析式；(3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”）②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？【答案】(1)点的坐标为(2)关于的函数解析式为(3)①；②当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键．（1）根据两条函数图象的交点的纵坐标为，代入函数解析式中计算即可；（2）运用待定系数法求解析式即可；（3）①根据行程问题算出骑行的时间，分别算出两种品牌的费用即可求解；②分两种情况讨论，第一种情况，；第二种情况，；由此即可求解．【详解】（1）解：∵函数，的图象交点，且点的纵坐标为，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，∴，解得，，∴点的坐标为．（2）解：函数经过点，，∴设，∴，解得，，∴，∴关于的函数解析式为．（3）解：①，平均行驶速度均为，本号资料*全部来源于：数学第*六感∴行驶时间为，即，∴骑行品牌的费用（元）；骑行品牌共享电动车，且，∴费用（元）；∵，∴小明选择骑行品牌共享电动车，故答案为：；②第一种情况，，∴，解得，；第二种情况，，∴，解得，；∴当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元．【考点八一次函数的应用--几何问题】例题：（2022上·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动.若，两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.(1)直接写出，，三个点的坐标；本#号资料全部来源于#：数学(2)当，两点出发时，求的面积；(3)设两点运动的时间为，用含的式子表示运动过程中的面积；(4)在点，运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是______【答案】(1)，，(2)的面积为(3)(4)【分析】（1）根据坐标与图形性质求出三个点的坐标；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）分，两种情况，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案；（4）计算边界点：当在上时，计算，通过画图发现，在时，点被包含在区域包含边界，从而可计算其时长．【详解】（1）解：轴，轴，，，，，，．故答案为：，，；（2）当两点出发时，如图1，，，点在线段上，的面积cm2；（3）分两种情况：①当时，在线段上，在上，如图，由题意得：，则；②当时，在线段上，在上，如图，过点作轴交的延长线于，由题意得：，，，，，则；综上所述，；（4）①如图，点在上，过点作于，过作于，交于，，，，，，≌（SAS），，，；如图，当与重合时，点仍在的内部；，在点运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是．故答案为：．【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，几何动点问题，三角形的面积，线段三角形全等的判定与性质，从动态问题中得出一次函数的表达式等知识，是综合题，有一定的难度，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2．(1)求点的坐标；(2)直线过点，求该直线的表达式；(3)在轴上找一点，使得三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标；(4)在（2）的条件下，直线与轴交于点，在该直线上找一点，使得三角形的面积为．【答案】(1)(2)(3)或或或(4)或【分析】（1）由题意得，，则，故，即可求解；（2）将点的坐标代入函数表达式，可得，即可求解；（3）当时，则，即可求解；当或时，同理可解；（4）首先确定点坐标，由三角形的面积，即可求解．【详解】（1）解：由题意得，为等边三角形，且边长为2，∴，，∴，过点作轴于点，则，，∴，则点，即点的坐标分别为：，；（2）将点的坐标代入函数表达式，可得，则，则该一次函数的表达式为；（3）设点，由点的坐标得，，，当时，则有，解得，则点；当时，可有，解得（舍去）或；当时，可有，解得．综上所述，点的坐标为：或或或；（4）对于直线，令，即有，解得，∴，∴，则三角形的面积，则，将当时，将其代入，可得，解得，将当时，将其代入，可得，解得，即点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法则求一次函数解析式、一次函数的图像与性质、等边三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知一次函数的图象为直线l，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．根据图象可知当时，函数值小于1，即．【详解】解：当时，，即不等式的解集为．故选：B．2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（

）A．随的增大而减小B．C．当时，D．关于，的方程组的解为【答案】B【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．根据一次函数的图像和性质，结合一次函数的增减性逐一判断即可得答案．【详解】解：A．由图象得随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；B．由图象得：，故该选项错误，符合题意；C．由图象得：当时，，故C是不符合题意；D．由图象得：的解为，故不符合题意；故选：B．3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系，李明同学结合图像得出如下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④慢车先到达目的地．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，熟练掌握路程、速度、时间之间的关系，函数图象的意义，读懂函数图象，从图象中获取有用信息，是解题的关键．根据函数图象可知两车出发2小时后相遇，据此可得他们的速度和为，相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，据此可得慢车的速度为，进而得出快车的速度为，根据“路程和=速度和×时间”即可求出a的值，从而判断出谁先到达目的地．【详解】由函数图象的倾斜程度可得：相遇后慢车停留了，快车停留了，故①不符合题意；根据函数图象可知，两车的速度和为：，慢车的速度为：，则快车的速度为：，∴快车速度比慢车速度多；故②符合题意；∵，∴图中，故③结论符合题意；快车到达终点的时间为（小时），慢车到达终点的时间为（小时），∵，∴慢车先到达目的地，故④结论符合题意．∴正确的是②③④，共3个．故选：C．4．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，四边形中，，直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2．则下列结论：①的长为5；②的长为；③当时，的面积不变；其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查的是图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置．通过图1与图2可直接求得的长，通过勾股定理求得的长，当时，通过三角形底与高是否变化来判断的面积是否变化．本*号资料全部来源于：数学第六*感【详解】解：从图2知：∵当时，y的值不变，∴相应的对应图1是：直线从过点A开始到经过C点结束，的值不变，即当，经过点A，当时，经过点C，∴，∴①正确；从图1知，，∴，∴②不正确；如图2，当时，，∵不变，变化，∴的面积变化，∴③不正确，∴正确的有1个，故选：B二、填空题5．（2024九年级下·广东·专题练习）若直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是．【答案】【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式；首先求得直线过原点，直线过，以及点Q的坐标，然后画出函数图象，再对不等式变形后根据图象即可直接求得解集．【详解】解：当时，，，∴直线过原点，直线过，把代入得，则Q的坐标是，画出函数图象如图：对不等式变形得：，根据图象，得：不等式的解集是，即不等式的解集是，故答案为：．6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是．

【答案】【分析】本题考查了一次函数解析式交点的坐标，与解析式构成不等式解集的关系，确定交点的横坐标，结合不等式，利用数形结合思想解答即可．【详解】∵直线与直线交于点，∴关于x的不等式的解集是,故答案为：．7．（2024·河南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过分钟时，当两仓库快递件数相同．【答案】20【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，根据图象得，，解得：，∴，设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，根据图象得，，解得：，∴，联立，解得：，经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，故答案为：20．8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”．例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．若直线的“不动点”为，则，．【答案】【分析】本题考查一次函数的综合应用，根据不动点的定义，得到是直线与直线的交点，进而求出的值，再把点代入一次函数解析式求出的值即可．【详解】解：由题意，得：是直线与直线的交点，∴，∴，∴点为，∴，∴；故答案为：．三、解答题9．（2023·山东菏泽·二模）当前我国约有十分之一的教师因为种种原因患上嗓音疾病．针对于此，某校工会计划为超课时任务的教师配备音频放大器．已知购买2个型音频放大器和3个型音频放大器共需352元；购买3个型音频放大器和4个型音频放大器共需496元．(1)求两种类型音频放大器的单价；(2)该校准备采购两种类型的音频放大器共30个，且型音频放大器的数量不少于型音频放大器数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)型音频放大器的单价是80元，型音频放大器的单价是64元；(2)最省钱的购买方案为：购买20个型音频放大器，10个型音频放大器．【分析】（1）根据题意可以列出二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意列不等式，即可得到结论．本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．利用方程的思想解答．【详解】（1）解：设型音频放大器的单价是元，型音频放大器的单价是元，根据题意得：，解得：答：型音频放大器的单价是80元，型音频放大器的单价是64元；（2）解：最省钱的购买方案为：购买20个型音频放大器，10个型音频放大器，理由如下：设采购个型音频放大器，则采购个型音频放大器，根据题意得：，解得：．设采购两种类型的音频放大器共需元，则，即．，随的增大而增大，又，当时，取得最小值，此时，最省钱的购买方案为：购买20个型音频放大器，10个型音频放大器．10．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）如图，直线：与直线l2：交于点，且直线经过点．(1)求直线的函数表达式；(2)写出方程组的解为；(3)当时，写出自变量的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求方程组的解、求不等式的解集，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键．（1）由直线：求得点，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；（3）根据交点坐标，结合图象确定解集即可．【详解】（1）解：∵直线：过点，本号资料全部来源于微信公众*号：#数学∴，∴，把，代入得，，解得，∴直线的函数表达式为；（2）∵直线：与直线：交于点，∴方程组的解为．故答案为：．（3）直线：与直线：交于点，观察图象，当时，自变量的取值范围是．11．（2023·山东泰安·二模）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元(2)该水果商城购买25千克“血橙”，15千克“脐橙”，最大利润是210元【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．（1）设每千克“脐橙”为元，则每千克“血橙”为元，根据题意列方程求解即可；本号*资料全部来源于：数#学第六感（2）设可再购买千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意求出的取值范围；设总利润为元，并求出与的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设每千克“脐橙”为元，则每千克“血橙”是元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，，答：每千克“血橙”为18元，每千克“脐橙”为10元；（2）设可再购买千克“血橙”，则购买千克“脐橙”，根据题意，得，解得；每千克“血橙”的利润为：（元，每千克“脐橙”的利润为：（元，设总利润为元，根据题意，得，因为，所以最的增大而增大，所以当时，有最大值，，此时，，答：该水果商城购买25千克“血橙”，15千克“脐橙”，获得利润最大，最大利润是210元．12．（23-24九年级下·黑龙江鸡西·开学考试）为锻炼身体，增强体质，某户外俱乐部组织队员去效游，需要购买雨伞和保温杯．已知购买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购买12把雨伞和10个保温杯需要380元．(1)求购买1把雨伞和1个保温杯各需多少元；(2)若购买雨伞和保温杯的总数为30，总费用不少于479元且不多于502元，则有几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)购买1把雨伞需15元，购买1个保温杯需20元(2)有五种购买方案(3)购买24把雨伞和6个保温杯总费用最少，最少费用是480元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程和不等式．（1）设购买1把雨伞需元，购买1个保温杯需元，根据购买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购买12把雨伞和10个保温杯需要380元，列出方程组，解方程组即可；（2）设购买雨伞把，则购买保温杯把，根据总费用不少于479元且不多于502元，列出不等式组，解不等式组即可；本号资料全部来源于微信公*众号：数*学第六感（3）设总费用为元，列出w关于x的函数解析式，根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）解：设购买1把雨伞需元，购买1个保温杯需元，根据题意，得：，解得：，答：购买1把雨伞需15元，购买1个保温杯需20元．（2）解：设购买雨伞把，则购买保温杯把，根据题意，得：，解得：，为整数，可取20，21，22，23，24，有五种购买方案．（3）解：设总费用为元，根据题意，得：，，随的增大而减小，当时，，答：购买24把雨伞和6个保温杯总费用最少，最少费用是480元．13．（23-24九年级下·黑龙江鸡西·开学考试）甲、