一次函数的应用压轴题八种模型全攻略（学生版）

一次函数的应用压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用图象法解一元一次方程】 1【考点二由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 3【考点三根据两条直线的交点求不等式的解集】 5【考点四两条直线的交点求二元一次方程组的解】 7【考点五一次函数的应用--方案问题】 9【考点六一次函数的应用--最大利润问题】 13【考点七一次函数的应用--行程问题】 16【考点八一次函数的应用--几何问题】 21【过关检测】 27【典型例题】【考点一利用图象法解一元一次方程】例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是．【变式训练】1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为．2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是．【考点二由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】例题：（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是．【变式训练】1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是．2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，点在一次函数的图像上，则不等式的解集是．【考点三根据两条直线的交点求不等式的解集】例题：（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，则不等式的解集为．

【变式训练】1．（22-23八年级上·广西钦州·期末）如图，直线经过点和点，直线经过点A，则不等式的解集为．

2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的有（填序号）．【考点四两条直线的交点求二元一次方程组的解】例题：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东济南·期末）若方程组的解是，则直线与交点的坐标为．2．（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数的图象和的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解为．【考点五一次函数的应用--方案问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十•一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满．（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．【变式训练】1．（2021下·广东广州·八年级统考期末）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？2．（2020下·甘肃庆阳·八年级校考期末）某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式；（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【考点六一次函数的应用--最大利润问题】例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表：类别A款自拍杆B款自拍杆进货价（元/个）3025销售价（元/个）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？【变式训练】1．（2022·广东深圳·统考一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：水果单价甲乙进价（元/千克）售价（元/千克）2025已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？2．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？【考点七一次函数的应用--行程问题】例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像；折线表示乙班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像，图中轴，与相交于点．请根据图像解答下列问题：(1)学校到科技馆的路程为______米；线段对应的函数表达式为______（）；(2)求线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；(3)图像中线段与线段的交点的坐标为______，点坐标表示的实际意义是_________．【变式训练】1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；(2)试计算：何时两车相距300千米？2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)求出图中函数，的图象交点的坐标；(2)求关于的函数解析式；(3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”）②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？【考点八一次函数的应用--几何问题】例题：（2022上·河北邯郸·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动.若，两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.(1)直接写出，，三个点的坐标；(2)当，两点出发时，求的面积；(3)设两点运动的时间为，用含的式子表示运动过程中的面积；(4)在点，运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是______【变式训练】1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2．(1)求点的坐标；(2)直线过点，求该直线的表达式；(3)在轴上找一点，使得三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标；(4)在（2）的条件下，直线与轴交于点，在该直线上找一点，使得三角形的面积为．【过关检测】一、单选题1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知一次函数的图象为直线l，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（

）A．随的增大而减小B．C．当时，D．关于，的方程组的解为3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系，李明同学结合图像得出如下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④慢车先到达目的地．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，四边形中，，直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2．则下列结论：①的长为5；②的长为；③当时，的面积不变；其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题5．（2024九年级下·广东·专题练习）若直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是．6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是．

7．（2024·河南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过分钟时，当两仓库快递件数相同．8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”．例如的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为．若直线的“不动点”为，则，．三、解答题9．（2023·山东菏泽·二模）当前我国约有十分之一的教师因为种种原因患上嗓音疾病．针对于此，某校工会计划为超课时任务的教师配备音频放大器．已知购买2个型音频放大器和3个型音频放大器共需352元；购买3个型音频放大器和4个型音频放大器共需496元．(1)求两种类型音频放大器的单价；(2)该校准备采购两种类型的音频放大器共30个，且型音频放大器的数量不少于型音频放大器数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并说明理由．10．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）如图，直线：与直线l2：交于点，且直线经过点．(1)求直线的函数表达式；(2)写出方程组的解为；(3)当时，写出自变量的取值范围．11．（2023·山东泰安·二模）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？12．（23-24九年级下·黑龙江鸡西·开学考试）为锻炼身体，增强体质，某户外俱乐部组织队员去效游，需要购买雨伞和保温杯．已知购买10把雨伞和15个保温杯需要450元；购买12把雨伞和10个保温杯需要380元．(1)求购买1把雨伞和1个保温杯各需多少元；(2)若购买雨伞和保温杯的总数为30，总费用不少于479元且不多于502元，则有几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？13．（23