1.2　空间向量基本定理 导学案正文

1.2空间向量基本定理【学习目标】1.在平面向量基本定理的基础上,能借助投影进行向量分解,知道空间向量基本定理.2.知道基底、单位正交基底,并能在选定基底下进行向量的表示及运算.◆知识点一空间向量基本定理1.分向量如果i,j,k是空间三个的向量,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.称分别为向量p在i,j,k上的分向量.

2.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c,那么对任意一个空间向量p,存在的有序实数组(x,y,z),使得.

我们把{a,b,c}叫作空间的一个,a,b,c都叫作.空间任意三个的向量都可以构成空间的一个基底.

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示. ()(2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量. ()(3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则a与b不一定共线. ()(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. ()◆知识点二空间向量正交分解1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量,且长度都为,那么这个基底叫作单位正交基底,常用表示.

2.空间向量的正交分解把一个空间向量分解为三个的向量,叫作把空间向量进行正交分解.

◆探究点一空间向量的基底例1(1)已知M,A,B,C为空间的四个点,且任意三点不共线,O为空间中一点,下列可能使MA,MB,MC构成空间的一个基底的关系式是 ()A.OM=13OA+1B.MA=MB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=3MB-MC(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,试判断OA,OB,OC能否构成空间的一个基底.变式(1)(多选题)设{a,b,c}是空间的一个基底,若x=a+b,y=b+c,z=c+a,则下列向量可以构成空间的一个基底的是 ()A.a,b,x B.x,y,zC.b,c,z D.x,y,a+b+c(2)已知空间四点O,A,B,C,若{OA,OB,OC}是空间的一个基底,则下列说法不正确的是 ()A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B,C四点不共面D.O,A,B,C四点中任意三点不共线[素养小结]基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面.◆探究点二用基底表示空间向量例2如图所示,在四面体O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P,Q是MN的两个三等分点(点P靠近点N,点Q靠近点M).(1)用基底{OA,OB,OC}表示向量OP;(2)若OQ=xOA+yOB+zOC,求实数x,y,z的值.变式(1)如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,CM=12BM,N是PD的中点,若向量MN=-AB+xAD+yAP,则 (A.x=13,y=-B.x=-16,y=C.x=-13,y=D.x=16,y=-(2)[2024·广东东莞高二期中]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°.设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示AC1,[素养小结]用基底表示向量的步骤:(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.◆探究点三空间向量基本定理的应用角度一垂直平行关系的证明例3如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2MA1,B1N=2NC1.用空间向量解决如下问题:(1)若∠BAA1=∠CAA1,AB=AC,证明:BC⊥AA1;(2)证明:MN∥平面ACC1A1.变式在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,若E,F分别为PC,BD的中点,用向量方法证明(1)EF∥平面PAD;(2)EF⊥平面PCD.角度二求两直线的夹角例4如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱的长度都为1,且两两夹角为60°,求BD1与AC所成角的余弦值.变式已知正四面体A-BCD的棱长为1,E,F分别是BC,AD的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.[素养小结]用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量,那么可以确定一个