本章总结提升 导学案正文

本章总结提升判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)1.空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD的中点,则MG-AB+AD=3GM. ()2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若<a,n>=2π3,则直线l与平面α所成的角为π6. (3.两异面直线所成的角的范围是0,π2,直线与平面所成的角的范围是0,π2,4.若P,A,B,C为空间中不同的四个点,且PA=αPB+βPC,则“α+β=1”是“A,B,C三点共线”的充要条件. ()5.已知点D是空间四边形OABC中BC的中点,OA=a,OB=b,OC=c,则AD=12(b+c)-a.(6.已知平面α的一个法向量为n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,那么直线l的单位方向向量是0,22,-227.已知OA=(2,3,-1),OB=(1,-1,2),OQ=(1,0,-2),则QA·QB=4. ()8.直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角. ()◆题型一空间向量的概念及运算[类型总述](1)空间向量的有关概念;(2)空间向量的加减运算、数乘运算;(3)空间向量的数量积运算.例1(多选题)给出下列命题,其中为假命题的是 ()A.若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反B.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同C.两个有公共终点的向量一定是共线向量D.有向线段就是向量,向量就是有向线段例2(1)给出下列说法:①如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②如果O,A,B,C为空间中不同的四点,且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;③若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,a-b,c}也是空间的一个基底.其中正确的说法是 ()A.①② B.①③C.②③ D.①②③(2)在三棱锥P-ABC中,AP=a,AB=b,AC=c,D为PB上的点,且PB=4PD,则CD= ()A.a-12b+14c B.34aC.12a+14b-13c D.14例3(1)已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,则GE·GF的值为 ()A.12 B.1 C.2 D.(2)(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中为真命题的是 ()A.(AA1+AD+AB)2=B.A1C·(A1B1C.AD1与AD.正方体的体积为|(AB·AA1)·例4(1)已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(5,7,-5),若点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为 ()A.14 B.13C.12 D.11(2)已知a=(1,-1,2),b=(-2,1,0),c=(5,-3,k),若a,b,c共面,则实数k的值为 ()A.1 B.2C.3 D.4◆题型二用空间向量证明空间位置关系[类型总述](1)证明垂直关系;(2)证明平行关系.例5[2024·广东东莞高二期中]如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,△BCF为等边三角形,∠ABC=60°,AB=2,EF∥CD,平面BCF⊥平面ABCD.(1)证明:在棱BC上存在点O,使得平面ABCD⊥平面AOF;(2)若ED∥平面AOF,求EF的长度.(O点同(1))变式如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=3,BC=4.(1)求证:BD⊥PC.(2)设PE=λPC(0<λ<1),若DE∥平面PAB,求λ的值.◆题型三用空间向量求空间角和距离[类型总述](1)求空间角;(2)求距离.例6[2021·全国乙卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为 ()A.π2 B.C.π4 D.例7[2023·新课标Ⅱ卷]如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA;(2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.变式[2023·全国乙卷]如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=5DO,点F在AC上,BF⊥AO.(1)证明:EF∥平面ADO;(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.例8[2024·福州一中高二期中]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AA1,BC的中点,AC=BC=AA1=1,∠BCA=90°.(1)求点E到平面C1BD的距离.(2)取A1B1上靠近B1的三等分点P,问棱CC1上是否存在点Q,使得PQ⊥平面C1BD?若存在,求出点Q的位置;若不存在,说明理由.变式如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC.(1)若BA=BB1,求证:AB1⊥平面A1BC;(2)若BA=BC=BB1=2,M是棱BC上的一个动点,试确定点M的位置,使点M到平面A1B1C的距离等于22◆题型四空间中的综合问题[类型总述](1)探索性问题;(2)折叠问题.例9[2024·广东佛山高二期中]如图①,菱形ABCD的边长为23,∠ABC=π3,将△ABD沿BD向上翻折,得到如图②所示的三棱锥(1)证明:A'C⊥BD.(2)若A'C=3,在棱BD上是否存在点G,使得平面A'CG与平面BCD夹角的余弦值为217?若存在,求出BG;若不存在,请说明理由②例10如图,在四棱锥P-ABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD为等边三角形,AD∥BC,AD=CD=2BC=2,E,F分别为棱PD,PB的中点.(1)求证:AE⊥平面PCD.(2)求平面AEF与平面PAD的夹角的余弦值.(3)在棱PC上是否存在点G,使得DG∥平面AEF?若存在,求PGPC的值;若不存在,说明理由变式如图,图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②.(1)证明:图②