1.4.2第1课时　用空间向量研究距离问题 练习册答案

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题1.C[解析]由题意知BA=(2,2,0),BC=(2,0,-1),则BA在BC上的投影向量的长度为|BA·BC||BC|=45,则点A到直线BC的距离为2.C[解析]连接AP,因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),所以AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),AP=(0,-1,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则AB·n=0,AC·n=0,即-x+y=0,-x+2z=0,令x=1,得y=1,z=13.C[解析]由题意得AP=(1,-2,2),故点P到平面α的距离d=|n·AP||n|=4.B[解析]设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·AC=0,所以2y-3z=0,-23x-3z=0,令z=2,则x=-3,y=3,所以n=(5.A[解析]因为三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两垂直,且AB=2,BC=3,AC=7,所以以SA,SB,SC为棱构造长方体AEFG-SBDC,则S可得SA=1,SB=3,SC=6,如图,以A为原点,AE所在直线为x轴,AG所在直线为y轴,AS所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,1),C(0,6,1),S(0,0,1),F(3,6,0),连接SF,可知球心O是SF的中点,连接AO,则O32,62,12,可得AB=(3,0,1),AC=(0,6,1),AO=32,62,12.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=3x+z=0,n6.A[解析]以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,0,1),D12,12,0,A(0,1,0),B1(0,0,1),所以BC1=(1,0,1),BD=12,12,0,AB1=(0,-1,1).设平面BC1D的法向量为n=(x,y,z),则BC1·n=0,BD·n=0,即x+z=0,12x+12y=0,令x=1,则n=(1,-1,-1).因为AB1·n=0×1+(-1)×(-1)+1×(-1)=0,所以AB1⊥n,又AB1⊄平面BC7.C[解析]如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=MN,AM=BF,∴EF∥MN,AM∥BF.∵EF⊄平面AMN,MN⊂平面AMN,BF⊄平面AMN,AM⊂平面AMN,∴EF∥平面AMN,BF∥平面AMN,又EF∩BF=F,∴平面AMN∥平面EFBD.设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),则n·MN=2x+2y=0,n·AM=-2x+4z=0,取x=2,则n=(2,-2,1)8.BC[解析]如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),故A1C1=(-2,2,0),A1D=(-2,0,2),设P(2,λ,2)(0≤λ≤2),平面A1C1D的法向量为n=(x,y,z),则n·A1C1=-2x+2y=0,n·A1D=-2x+2z=0,取x=1,则n=(1,1,1),又A9.ACD[解析]以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,所以|AP|=916+14+49=18112,故选项A正确;因为C1O=12C1A1=-12,-12,0,平面ABC1D1的一个法向量为DA1=(0,-1,1),所以点O到平面ABC1D1的距离d1=|DA1·C1O||DA1|=122=24,故选项B错误;A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A1D=0,即x-z=0,y-z=0,令z=1,则y=1,x=1,故n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d2=|10.305[解析]由题意知AP=(1,1,1),则cos<n,AP>=n·AP|n||AP|=1+0+25×3=155,所以sin<n,AP>=1-1552=105,故点P(1,2,2)11.32[解析]取A1B1的中点G,连接EG,则EG∥AA1,则EG⊥平面ABC.连接EC,由已知可得CE⊥AB,AE=1,CE=3.以点E为坐标原点,分别以EC,EA,EG所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A1(0,1,2),F(3,0,1),B(0,-1,0),所以EA1=(0,1,2),EF=(3,0,1),EB=(0,-1,0).设n=(x,y,z)是平面A1EF的法向量,则EA1·n=y+2z=0,EF·n=3x+z=0,取x=1,可得z=-3,y=23,所以12.455[解析]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,连接CP,则C(0,4,0),D1(0,0,4),E(2,4,0),C1(0,4,4),所以CE=(2,0,0),CC1=(0,0,4),ED1=(-2,-4,4).因为P在线段D1E上,所以EP=λED1=(-2λ,-4λ,4λ),λ∈[0,1],CP=CE+EP=(2-2λ,-4λ,4λ),则向量CP在向量CC1上的投影向量的长度d=|CP·CC1||CC1|=4λ,又|CP|=(2-2λ)2+(-4λ)13.解:(1)∵PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,∴以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设BC=2a,则P(0,0,1),B(2a,1,0),M(a,1,0),A(2a,0,0),则PB=(2a,1,-1),AM=(-a,1,0),∵PB⊥AM,∴PB·AM=-2a2+1=0,可得a=22故BC=2a=2.(2)设平面PAM的法向量为m=(x1,y1,z1),∵AM=-22,1,0,∴m·AM=-22x1+y1=0,m·AP=-2x1+z1=0,取x14.解:(1)由题意得AB⊥AD,PA⊥AD,PA⊥AB.以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),B(3,0,0),∴AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2),AP=(0,0,2).设异面直线AC,PB的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则n⊥AC,n⊥PB,即n·AC=3x+y=0,n·PB=3x-2(2)设N(a,0,c),0≤a≤3,0≤c≤2,且2a+3c≤23.由(1)知E0,12,1,∴NE=-∴N36,0,1,∴点N到直线AB的距离为1,点N15.B[解析]连接OS,由题意知OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.因为该正四棱锥的所有棱长都为6,所以OA=32,SO=62-(32)2=32,所以O(0,0,0),A(32,0,0),D(0,-32,0),S(0,0,32),C(-32,0,0),因为G为△SAD的重心,所以G(2,-2,2).设E(x,y,z),则CE=(x+32,y,z),CS=(32,0,32),因为解得x=-22,y=0,z=2,即E(-22,0,2).因为OE=(-22,0,2),OG=(2,-2,2),所以G到直线OE16.解:(1)证明:连接D1B,如图,∵λ=12,∴N为DB的中点,又M是DD1的中点,∴MN为△BDD1的中位线,则MN∥D1∵MN⊄平面ABC1D1,D1B⊂平面ABC1D1,∴MN与平面ABC1D1平行.(2)由题意,BC1与底面ABCD所成的角为∠C1BC,即tan∠C1BC=C1CBC=2,则C1C=4.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,