第16讲、极值与最值（学生版）

[在此处键入][在此处键入]第16讲极值与最值知识梳理知识点一：极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．必考题型全归纳题型一：求函数的极值与极值点【例1】（2024·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（

）个单调区间.A．3 B．4 C．5 D．6【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【对点训练2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【对点训练3】（2024·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．【对点训练4】（2024·河北·统考模拟预测）已知函数．(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；(2)当时，讨论极值点的个数．【对点训练5】（2024·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；【解题方法总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数【例2】（2024·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（

）A．8 B． C．2 D．【对点训练6】（2024·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【对点训练7】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【对点训练9】（2024·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【对点训练10】（2024·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解题方法总结】根据函数的极值（点）求参数的两个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．题型三：求函数的最值（不含参）【例3】（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；【对点训练11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.【对点训练12】（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．【对点训练13】（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.【对点训练14】（2024·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.【对点训练15】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.【解题方法总结】求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．题型四：求函数的最值（含参）【例4】（2024·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；(2)若时，求函数的最小值；(3)若的最小值为，证明：当时，.【对点训练16】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；【对点训练17】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．(1)若a=2，求的单调区间；(2)已知，求的最小值．（参考数据：）【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，求在内的最大值；【对点训练19】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．(1)若存在最大值M，证明：；(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．【解题方法总结】若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．题型五：根据最值求参数【例5】（2024·四川宜宾·统考三模）已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.【对点训练20】（2024·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．【对点训练21】（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.【对点训练22】（2024·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．【对点训练23】（2024·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用【例6】（2024·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间；(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知．(1)求函数在内的极值点；(2)求函数在上的最值．【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；(2)讨论函数的零点个数；(3)求在内的最值．题型七：不等式恒成立与存在性问题【例7】（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.【对点训练29】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是______.【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______【对点训练31】（2024·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实