三次函数图像与性质【10类题型】（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学三次函数图像与性质近5年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2024年甲卷（文），第16题,5分考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高考中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常见。考点内容：主要考查三次函数的图像特征（如中心对称性、开口方向）、单调性（通过导数分析）、极值点（一阶导数为零的点）以及图像与性质的综合应用。题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出现，涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间等具体问题。难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像与性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题技巧，难度可能略有提升。备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质，灵活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的多样性和综合应用能力的培养。（1）理解三次函数的定义域、值域和图像特点。（2）掌握三次函数的导数与单调性关系。（3）判断三次函数的极值点及其个数。（4）探究三次函数图像与x轴的交点个数。（5）熟练运用三次函数的对称中心性质。2024年新高考I卷，第10题,6分2024年新高考II卷，第11题,6分2022年新高考I卷，第10题,5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系模块二模块二核心题型·举一反三(讲与练)【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：（a≠0）（2）交点式：（a≠0）若三次函数满足，则（

）A．38 B．171 C．460 D．965【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式定义：形如

f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中

a≠=0）的函数称为三次函数。形式：注意系数

a,b,c,d

的作用，特别是

a

的正负决定了函数的开口方向（a>0

开口向上，a<0

开口向下）。2.函数的单调性导数应用：利用导数

f′(x)=3ax2+2bx+c

判断函数的单调性。解不等式

f′(x)>0

和

f′(x)<0

得到函数的单调递增和递减区间。极值点：导数等于0的点（f′(x)=0）可能是极值点，需结合单调性判断是否为极大值或极小值点。2024·广东茂名市·一模（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（）本*号资料全部来源于微信公众号：数学第六感A. B. C.3 D.4【巩固练习】三次函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型3】三次函数的图像图像三次函数的定义域和值域均为R。对于值域，可以借助极限的思想。根据函数的解析式可知，影响其值域范围的主要是“ax3”这一项，因此可得：当a＞0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于+∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于-∞。当a＜0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于-∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于+∞。又因为f(x)是连续的函数，且x∈R，所以f(x)的值域为R。由于三次函数的值域为R，则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个根。设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．（2024·全国一卷真题）（多选）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【巩固练习1】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（

）A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解【巩固练习2】（2024·全国甲卷(文)真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．【题型4】三次函数的最值、极值问题三次函数的极值与最值极值：通过导数等于0找到可能的极值点，并判断其类型（极大值或极小值）。最值：在闭区间上，最值可能出现在端点或极值点处。需比较这些点的函数值来确定全局最值。已知三次函数无极值，且满足，则.已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（

）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜4【巩固练习1】已知三次函数，其导函数为，存在，满足．记的极大值为，则的取值范围是．【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（

）A． B．C． D．【题型5】三次函数的零点问题三次方程的实根个数设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：本号资料全部来源于微信公*众号：数学第六感图像(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．若要存在3个零点，则，即，解得已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则.已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【巩固练习1】已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（2024·全国·一模）已知三次函数，，且有三个零点.若三次函数和均为上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则零点的个数为（

）本*号资料全部来源于微*信公众号：数学第六感A．个 B．个 C．个 D．个或个【巩固练习3】已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是.【巩固练习4】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（

）本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感A． B． C． D．【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题（24-25高三上·云南·阶段练习）（多选）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．点是曲线的对称中心C．有三个零点D．直线是曲线的一条切线（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（

）A．若，则是的极值点B．，使得C．若是的极小值点，则在区间上单调递减D．函数的图象是中心对称图形【巩固练习1】函数的图像如图所示，则的取值范围是．【巩固练习2】（23-24高三·广东清远·期末）（多选）已知函数，则下列选项中正确的是（

）A．的值域为B．在处取得极小值为2C．在上是增函数D．若方程有2个不同的根，则【巩固练习3】2024·金华联考模拟（多选题）已知函数，则（ ）A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上的最大值为1C．函数在点处的切线方程为D．若关于的方程在区间上有两解，则【题型7】三次函数对称中心二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即则为函数的对称中心设三次函数，则对称中心是；三次函数f(x)的对称中心为，则已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（

）A． B．C． D．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数都有对称中心，其对称中心为（其中）.已知函数.若，则（

）A． B． C． D．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（

）A．0 B．4 C． D．（2024·全国2卷·高考真题）（多选）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值为B．有且仅有2个零点C．点是的对称中心D．【巩固练习1】已知三次函数，若，则.【巩固练习2】已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则.【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【巩固练习4】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（

）A． B．有3个零点C．的对称中心是 D．【题型8】三次函数的切线问题一般地，过三次函数图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域内的点作的切线，有且仅有3条；（2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条；（3）过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条.已知函数在点处的切线方程为．若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为．（多选题）（2024·山西晋中·二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（

）A．一定有两个极值点B．函数在R上单调递增C．过点可以作曲线的2条切线D．当时，【巩固练习1】（2022·新高考一卷真题）（多选）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【巩固练习2】（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为B．若满足，则C．若过点可作出曲线的三条切线，则D．若存在极值点，且，其中，则本号资料全部来源于微*信公众号：数学第*六感【巩固练习3】（多选题）下列关于三次函数叙述正确的是（

）A．函数的图象一定是中心对称图形B．函数可能只有一个极值点C．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点D．当时，则过点的切线可能有一条或者三条【题型9】三次函数根与系数的关系三次函数根与系数关系：对于，若有3个交点，则方程可以写为， 展开后得

比对系数，则有：，，，2024届·广东省“六校”高三上学期9月联合摸底（多选）已知三次函数有