二次函数y=ax²bxc的图象与性质

22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质学习目标：1.会用配方法或公式法将二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0).2.会熟练求出抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴.重点：能够熟练地求出二次函数一般式y=ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.难点：会用配方法或公式法将一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0).知识点一二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质用配方法化二次函数解析式为的形式====∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式.抛物线顶点坐标的两种求法：(1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标(2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标.即学即练（2023·广东揭阳·统考二模）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．【详解】解：对于二次函数，令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴，∵，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．二次函数图象的两种画法（1）描点法①利用配方法把二次函数化成的形式②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图平移法①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点②作出函数的图象③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点二次函数的图象和性质函数（,,是常数，）函数图象（抛物线）开口方向向上向下对称轴直线顶点坐标增减性如果，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.最值抛物线有最低点,当时，有最小值,抛物线有最高点,当时，有最大值,二次函数的图象特征与a,b,c的符号之间的关系字母的符号图象的特征开口向上开口向下对称轴为轴（,同号）对称轴在轴左侧（,异号）对称轴在轴右侧图象过原点与轴正半轴相交与轴负半轴相交二次函数重要结论（1）当时,.此时若,则;若则;若，则（2）当时,（3）当时,.此时若,则;若,则;若,则.（4）当时,.即学即练（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．【详解】∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正确，∵=1，∴b=-2а，∴3a＋2b=3a-4a=-a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2-4ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．题型一把y=ax²+bx+c化成顶点式例1（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为，则，的值为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得．【详解】由，，，∵抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，∴所得图象的解析式为，即，∴，，故选：．【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．举一反三1（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）抛物线向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的顶点坐标，然后再按平移的规律求解即可．【详解】解：∵，∴顶点坐标为，∴向上平移2个单位长度后的顶点坐标是．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及平移的性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．举一反三2（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，求顶点坐标即可.【详解】解：将抛物线化为顶点式，即：，将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：，顶点坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．题型二二次函数图象与各项系数符号例2（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（

）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，，，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，∴，，，∴，∴，故①不符合题意；∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴，故②符合题意；∵当时函数值最大，∴，∴；故③不符合题意；∵点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴．故④符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．举一反三1（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向，判定；对称轴的位置，判定；抛物线与y轴的交点，判定，从而判定；根据对称轴是直线，确定；根据，得，求出点B的坐标，从而得到，确定，可以判定②③；计算函数的最小值为：，从而得到，代入化简，判定④．【详解】解：因为抛物线的开口方向，所以；因为对称轴是直线，所以，；因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，所以，所以；故①错误；因为，

所以，，所以，即，所以，所以，所以，即②正确；所以，即③正确；根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，所以，所以，所以，所以，④正确．故选B．【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．举一反三2（2023春·山东德州·九年级德州市第十中学校考阶段练习）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①，②，③，④，⑤当时，．其中正确结论的个数是（）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】利用抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，则可对①进行判断；根据二次函数图像上点的坐标特征得，则所以，于是可对②④进行判断；由于，利用可得，再根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在和之间，则时，函数值为正数，即，由此可对③进行判断；观察函数图像得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则可对⑤进行判断．【详解】解：抛物线开口向下，，对称轴位于轴的右侧，，，，故①正确；点和都在抛物线上，，，，，故②错误，④正确；，，，即，抛物线与轴的一个交点坐标为，而抛物线的对称轴位于轴的右侧，在直线的左侧，抛物线与轴的另一个交点坐标在和之间，时，，即，，故③正确；当时，抛物线由部分在轴的上方，有部分在轴的下方，或或，故⑤错误，综上所述①③④正确，故选：．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的性质与特征是解答本题的关键．题型三一次函数、二次函数图象综合判断例3（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案．【详解】解：A选项中，开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴，，而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，∴A选项不符合题意；B选项中，开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴，，而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，∴B选项不符合题意；C选项中，开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴，，而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，∴C选项不符合题意；D选项中，开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴，，而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的性质，从而完成求解．举一反三1（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是下图中的（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限，∴，∴∵二次函数对称轴为直线，∴二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y轴左侧，故选：D．【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关键．举一反三2（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】求出求出交点、的坐标，根据已知图象确定，与点的横坐标的正负，进而推断新抛物线的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．【详解】解：由，得，解得，或，抛物线和直线分别交于点和点，，的横坐标为：，抛物线的开口向上，交点在第三象限内，，，抛物线中，，对称轴，此抛物线的开口向下，对称轴在轴的左边，符合此条件的图象是C，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定和点横坐标的取值．题型四两个二次函数图象综合判断例4（2023春·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．【详解】解：设，，由图像知，，，，，，，，∴，∵函数的图像开口大于函数的图像开口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；B．图像开口向上，故此选项不符合题意；C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；D．图像开口向上，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．举一反三1如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．举一反三2抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是：①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【答案】A【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解．【详解】解∶根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，∴AM=BM，AN=CN，∴，∵BC=10，∴MN=5，∴h+3=5，∴h=2，∵点B（3，3），∴3＝（3-2）2＋k，解得：，∴，∵BC∥x轴，∴点A、C的纵坐标为3，令，则，解得：，∴点A（1，3），把点A（1，3）代入，得：，解得：，故①错误；∵，且对称轴为直线x=2，∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小，∵，∴，∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为，∴p＜n＜m，故②正确；∵，∴，∵y1≥y2，∴，整理得：，解得：或，故③错误；∵，，当x=0时，，，∴点，∴，故④正确；∴正确的有②④．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．题型五根据二次函数的图象判断式子符号例5（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图所示，点A，B，C是抛物线（为任意实数）上三点，则下列结论：①；②函数最大值大于4；③；其中正确的有（

）

A．②③ B．②③ C．①③ D．①②【答案】B【分析】由图可得：抛物线的开口方向向下，当，，即，可判断结论③正确；当与时，函数值不相等，可得抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4，即可得出答案.【详解】解：由图可得：抛物线的开口方向向下，当时，，当，，即，结论③正确；∴当与时，函数值不相等，∴抛物线的对称轴不是直线，即，函数最大值大于4；故结论①错误，②正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质、数形结合是解题的关键.举一反三1（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；其中正确结论有（

）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据对称轴为求出，即可判定①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断②；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断③；求出，结合即可判断④．【详解】解：二次函数对称轴为直线，，即，故①正确；二次函数经过，二次函数与轴的另一个交点坐标为，当时，，故②正确；抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，是抛物线上两点，，且，，故③正确；，，，即，故④正确；故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．举一反三2（2023·湖南怀化·统考三模）函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（

）①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，∴对称轴为，即，∴整理得：，故①正确；由图象可得，当时，，故②正确；∵与y轴的交点坐标为，可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，∴，故③错误；设抛物线的解析式为，代入得：，解得：，∴，∴，∴顶点坐标为，∵点向上平移1个单位后的坐标为，∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．题型六已知抛物线上对称的两点求对称轴例6（2023·陕西西安·校考二模）已知抛物线过不同的两点和，若点在这条抛物线上，则的值为（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根据对称性可得，代入解方程即可求解．【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，又抛物线过不同的两点和，∴，∴即，代入解析式，得，解得：或，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．举一反三1（2023·四川乐山·统考二模）已知抛物线过点、，则a的取值范围是．【答案】或【分析】由题意可得过，可知对称轴为，得，由抛物线过，可知存在使得，分和讨论最值即可求解．【详解】解：∵，∴当时，，即：过，∵过，，∴的对称轴为：，即：，则当时，，∵过，即存在使得，当时，有最小值，故存在使得；当时，有最大值，要使得存在使得，则，即：；∴或；故答案为：或．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握并理解二次函数的性质是解决问题的关键．举一反三2（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根据对称轴，结合即可求解．【详解】解：设对称轴与交于点．.，．对称轴，．，：：．：：：：．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．题型七根据二次函数的对称性求函数值例7（2023·江苏南通·统考一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出的取值范围．【详解】解：抛物线顶点坐标为，抛物线对称轴为，抛物线经过点和，，，，故选：．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出是解答本题的关键．举一反三1（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，．【详解】解：∵，∴，∴当时，有最大值为，∴抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为直线，设的对称点为，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．举一反三2（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数的图象过两点，∴二次函数的顶点式为：，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；∵，∴，∴，∴，故错误；∵二次函数的顶点式为：，∴抛物线的对称轴为直线，若，∴解得：，∴当时，和关于对称，∴当时，；当时，，故错误，正确；当时，随的增大而增大，∵，∴，故错误；故选．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．题型八求二次函数最值问题例8（2023·广东梅州·统考二模）已知实数，且，记代数式，记分别为代数式的最大值与最小值，则的值为．【答案】4【分析】由得到，则．根据可求a的取值范围为，由此可得代数式的最大值与最小值，从而解决问题．【详解】∵，∴，∴．∵，∴，∴∴当或时，有最大值，为，当时，有最小值，为，∴．故答案为：4【点睛】本题考查二次函数的最值，将代数式转化为关于a的二次函数，通过二次函数的性质求出最值是解题的关键．举一反三1（2023·陕西咸阳·统考二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数开口向上，对称轴为直线，∴离对称轴越近函数值越小，当时，∵当时，函数的最小值为，∴，解得（舍去）；当时，则，∵当时，函数的最小值为，∴当时，，∴，解得；综上所述，，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键.举一反三2（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点、均在直线上．(1)求直线的表达式；(2)若抛物线与直线有交点，求的取值范围；(3)当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值．【答案】(1)(2)且(3)或【分析】（1）将、代入直线得，解方程组即可得到答案；（2）联立与，则有，抛物线与直线有交点，则，求解即可得到答案；（3）分在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：将、代入直线得，，解得，∴；（2）解：联立与，则有，∵抛物线与直线有交点，∴，∴且；（3）解：根据题意可得，，∴抛物线开口向下，对称轴为：直线，∵时，有最大值，∴当时，有，∴或，①在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴时，y有最大值，∴；②在对称轴右侧，随增大而减小，∴时，有最大值；综上所述：或．【点睛】本题考查二次函数的图形及性质，一次函数的图形及性质，熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．题型九利用二次函数对称性求最短路径例9（2023·山东临沂·统考二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）将、代入，求解可得坐标，根据二次函数的性质可得点坐标，设抛物线的表达式为，将代入求值，最后代入化简成一般式即可；（2）如图1，过作于F，交于E，，，则，，根据二次函数的性质求解即可；（3）线段与对称轴的交点即为使的值最小的点P，将代入直线的解析式即可求出点P的纵坐标，从而得解．【详解】（1）解：将代入得，，∴，将代入得，解得，∴，∵对称轴为直线，∴，设抛物线的表达式为，将代入得，，解得，∴，∴抛物线的表达式为；（2）解：如图1，过作于F，交于E，

∴，，则，∵，∴当时，四边形面积最大，值为；将代入得，，∴，∴四边形面积S的最大值为，此时D点的坐标为．（3）∵点A与点B关于对称轴直线，∴当点P是线段与对称轴的交点时，的值最小，标记点P如下，连接，

将代入直线的解析式可得：，∴【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与面积综合，线段和最小问题(将军饮马问题)．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．举一反三（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求抛物线解析式；(2)若是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值；(3)点为第二象限抛物线上的动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；【答案】(1)(2)(3)四边形面积最大值为，此时【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得抛物线对称轴为直线，依题意，，则当三点共线时，的周长最小连接交直线于点，连接，，根据，，利用勾股定理即可求解；（3）先求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，连接，设，则，根据得出关于的二次函数，进而根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，∴解得：∴；（2）解：∵∴抛物线对称轴为直线，依题意，，则当三点共线时，的周长最小如图所示，设交直线于点，连接，，由，令，得，∴∵，，∴的周长为（3）设过点，的直线解析式为，则解得：∴直线的解析式为，如图所示，过点作轴，交于点，连接，设，则，∴∴∴当时，四边形面积最大值为，此时．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．题型十利用待定系数法求二次函数的解析式例10（2023春·广东梅州·九年级统考期中）如图，抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上．

(1)直接写出点的坐标；(2)如图（1），若点的横坐标是，点在第二象限，平行四边形的面积是13，①求直线的解析式；②求点的坐标；(3)如图（2），若点在抛物线上，连接，求证：直线过一定点．【答案】(1)(2)①；②(3)见解析【分析】（1）令，求出点，两点坐标，根据是的中点，即可求解；（2）①先求出点，即可求得直线的解析式，②过点作轴交直线于点，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于的方程，求出点的坐标，即可求解；（3）设直线的解析式为，联立，可得，从而得到，再由平行四边形的性质，可得，，再由点在抛物线上，可得，从而得到直线的解析式为，即可求解．【详解】（1）解：当时，则，解得：，，，，是的中点，；（2）解：①点在抛物线上，，点，设直线的解析式为，把，代入得：，解得，直线的解析式为，②如图（1），过点作轴交直线于点，连接，

设点，则点，，平行四边形的面积是13，，，，解得：或（舍去），点，点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点，点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点；（3）解：设直线的解析式为，联立得：，整理得：，，四边形为平行四边形，，，，，点在抛物线上，，解得：，直线的解析式为，直线过定点．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．举一反三1如图，抛物线与y轴交于点，顶点为B．

(1)求该抛物线的解析式；(2)平行于x轴的直线与抛物线交于两点（点Q在点P的右边），若，求P，Q两点的坐标；(3)在（2）的条件下，若点C是线段上的动点，经过点C的直线与y轴交于点D，连接，求的面积的最大值和最小值．【答案】(1)(2)的坐标是(3)当时，最小值为，当时，最大值为【分析】（1）利用待定系数法把代入即可求解；（2）设，根据二次函数的对称性和PQ的距离得到二元一次方程组，求解即可；（3）当直线经过点时，得，当直线经过点时，得，求出临界情况的面积即可．【详解】（1）如图.

把代入，得．抛物线的解析式为．（2）由（1）知，抛物线的对称轴为，设，依题意，知，解得．把代入抛物线，得，所以的坐标是．（3）由（1）知，当直线经过点时，得，当直线经过点时，得，所以的取值范围是：．设直线的解析式为：，将的坐标代入得，解得，所以直线的解析式为：．设直线交轴于点，则，．当时，最小值为，当时，最大值为．【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．举一反三2（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）综合与探究如图，抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；(3)H是直线CB上一点，若，求点H的坐标；(4)P是轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或(4)或或【分析】（1）先求得A、B、C三点的坐标，然后代入求得a、b、c的值即可解答；（2）根据对称轴直线求出对称轴，即可得出最小值，再分别求出和时的函数值，即可确定n取值范围；（3）先求出点E、F的坐标，然后再运用勾股定理逆定理说明，设，再分H在上方和下方两种情况，分别根据三角形面积和中点的性质进行解答即可；（4）先求出的长，然后当为菱形一边和对角线两种情况分别画图，再结合菱形的性质、勾股定理即可解答．【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴交于点B、点C,∴,，∵直线与x轴交于点A，∴，∵抛物线与轴交于点A、点B，与y轴交于点C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为，∵点在抛物线上，，∴当时，抛物线有最小值，即n有最小值；∵当时，；当时，，即n有最大值14．∴的取值范围为．（3）解：∵直线与y轴交于点E，∴，∵，即得：，∴，∴，∴∴．设．①当H在上方，∵，∴，∴，即F是的中点，∴，解得：，∴；②当H在下方，∵，∴，∴，设点为的中点，如图，即C是的中点，∴，解得：，∴．∵，∴设点，由为的中点,∴，解得：,∴；综上，点H的坐标为或．（4）解：存在一点Q使存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：∵,,∴，①当为菱形一边时，则，∴,即，②当为菱形对角线时，则，设，，∵，∴，解得：，∴，∴．综上，点Q的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．题型十一抛物线的平移变换例11（2023春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．【详解】解：∵，∴该抛物线顶点坐标是，将其向下平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标是，∵，∴，则，，∴平移后抛物线的顶点坐标是一定在第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．举一反三1（2023春·广东云浮·九年级校考期中）若抛物线可由抛物线平移得到，则下列平移方式正确的是（）A．先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度B．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度C．先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度D．先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】C【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移4个单位可得到抛物线，抛物线，再向上平移3个单位即可得到抛物线．故平移过程为：先向左平移4个单位，再向上平移3个单位．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．举一反三2（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考期中）将抛物线沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为：，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解题的关键．题型十二利用二次函数的图象和性质比较函数值的大小例12（2023·广东肇庆·统考一模）已知抛物线，点，是抛物线上两点，若，则，的大小关系是（

）A． B． C． D．无法比较【答案】B【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，得出，得出抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，最后求出结果即可．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，又∵，∴点到对称轴的距离近．∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求出抛物线的对称轴，熟练掌握抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大．举一反三1（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，．【详解】解：∵，∴，∴当时，有最大值为，∴抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为直线，设的对称点为，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．举一反三2（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，．【详解】解：∵，∴，∴当时，有最大值为，∴抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为直线，设的对称点为，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．题型十三动点问题的函数图象例13（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，正方形是边长为6，点从点A出发以的速度沿运动，动点从点A出发以的速度沿向点运动，两点均到达点停止运动．设点的运动时间是，的面积是，则能正确反应关于的函数图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】首先根据正方形的边长与动点M、N的速度可知动点始终在边上，而动点M可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论；；，分别得出关于的函数解析式，即可解答．【详解】由题意可得，，①时，M在边上，，则的面积是，即，②时，M在边上，则的面积是，即，③时，M在边上，，则的面积是，即，综上所述，关于的函数解析式是，由此可得到关于的函数图象是

．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图像的判断，正方形的性质，三角形的面积，涉及到有关动点的问题时，需要分类讨论．举一反三1（2023·广东云浮·统考一模）如图，四边形是正方形，点E是线段上的动点，以为边作正方形，连接，M为的中点，且，则线段的最小值是(

)

A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】取的中点N，连接交于P，正方形的边长为，利用中位线定理求出，利用四边形是矩形求出EP，继而求出，利用二次函数的顶点式求的最小值，从而得到的最小值．【详解】解：取的中点N，连接交于P，设正方形的边长为，即，

∵N是的中点，M为的中点，，∴，，∴又∵四边形是正方形，∴四边形是矩形，，，∴∵，∴∴当时，，即故选：B．【点睛】本题考查中位线定理，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值等知识，正确画出图形是解题的关键．举一反三2（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是（

）

A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整【答案】B【分析】当点在线段上时，当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分类求解确定的位置，进而求解．【详解】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，将点的坐标代入直线表达式得：，解得，抛物线的解析式为，直线的解析式为，当点在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点，，的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即，当点在点的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点，综上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整，故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，分类求解确定位置是解题的关键．题型十四二次函数面积问题例14（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：①：②抛物线的对称轴为；③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大．其中，所有正确的说法是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③【答案】B【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得A、B的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点P为直线与抛物线对称轴的交点时，点P，B，C构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得n的值，即可判断③；作轴，交与点Q，表示出Q点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：∵抛物线经过点，∴，解得，故①说法正确；令，则，解得或1，∴抛物线抛物线与x轴的交点为，，∴抛物线的对称轴为，故②说法正确；连接，交对称轴为P，此时，，∵是定值，∴此时点P，B，C构成的三角形的周长最小，∵，，∴直线为，当时，，∴，∴n=2，故③说法错误；作轴，交与点Q，∵点在抛物线上，∴，把代入直线的解析式得，∴，∴，∴时，的面积最大，故④说法正确．综上，正确的有①②④．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得A、B的坐标和对称轴是解题的关键．举一反三1（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题．【详解】设，则高为，设面积为S，的面积最大，，即，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，，，，的周长最小值为：．故选B．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键．举一反三2如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x，∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF=x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=，∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)，∴y=AB×DH-CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．题型十五二次函数几何存在性问题例15（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，抛物线恰好经过，，与轴交于另一点，为抛物线的顶点，点是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的表达式；(2)当时，求点的坐标；(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或或或【分析】（1）用待定系数法解答即可；（2）先求出直线的解析式和的长，再分当边在下方时和当边在上方时，可得点的坐标；（3）分三种情况讨论即可求出点P的坐标．【详解】（1）解：将，代入得：

解得：，该抛物线的解析式为；（2）由（1）知，，，如下图，设交x轴于点，所在直线解析为，

将，代入得：，解得：，所在直线解析为，当时，有，解得：，，，如图，当边在下方时，，连接并延长交y轴于点，，，，，，由题知：，，，，同理可求所在直线解析式为，时，解得：，（舍去），把代入得，，此时；当边在上方时，，则，设此时所在直线解析式为，过点，代入可得此时所在直线解析式为，当时，，（舍去）把代入得，此时，综上所述，点的坐标为或；（3）由（2）可得二次函数的对称轴为：，所在直线解析为，，，如下图，

①当为等腰三角形的腰，为顶角时，，，；②当为等腰三角形的腰，和为顶角时，或，或；③为等腰三角形的底边时，中点的坐标为，过点F作直线的垂直平分线，交直线与点，设的垂直平分线的解析式为，，，将代入得，解得：，即，当时，，，综上所述，点M的坐标或或或．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质．举一反三1（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点．

(1)求点C的坐标；(2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标；(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点N的坐标为：，，，见解析【详解】（1）解：在中，令，得，解得：，，，直线经过点，，解得：，直线的解析式为，联立方程组，得，解得：，；（2）如图1，设点，则点，

，，当时，取得最大值，此时，；（3），抛物线顶点为，如图2，点为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：

①为对角线时，的中点与的中点重合，，，解得：，，，②为对角线时，的中点与的中点重合，，，解得：，，，③为对角线时，的中点与的中点重合，，，解得：，，，综上所述，点N的坐标为：，，．【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，要分情况讨论求解，以防遗漏．举一反三2（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．(1)求抛物线的表达式；(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点G的坐标为或【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；（3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得．∴抛物线的表达式为：．（2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．∵，∴．令中，则，解得或，∴，设直线为，∵过点，，，∴，解得，∴直线的表达式为：．设，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下图，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．（3）解：存在，点的坐标为或．如下图，连接，，∵四边形是菱形，，∴，∵，∴是等边三角形．∴，∵，，，∴，，点与点关于对称轴对称，∴，，∴是等边三角形，，∴，∴即，，∴．∴．∴直线的表达式为：．与抛物线表达式联立得．∴点坐标为．如下图，连接，，，同理可证：是等边三角形，是等边三角形，．∴，∵，，∴．∴．∴．∴直线的表达式为：．与抛物线表达式联立得．∴点坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．题型十六二次函数定义新运算例16（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知抛物线和直线，我们定义新函数M，若，则；若，则；若，则．下列结论：①无论k为何值，抛物线与直线总有交点；②若，则当时，M有最小值3；③若当时，M的值随x的值增大而增大，则；④当时，方程有三个不等实根．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【分析】①令,再根据判别式进行判断即可．②在平面直角坐标系中画出与的图像，可确定时函数M的图像，根据图像可求出时，M的最小值．②在平面直角坐标系中画出与的图像，根据图像可确定k不同取值的情况下M的图像，根据图像可判断M的增减性，以此反过来确定k的取值即可．④在平面直角坐标系中画出与的图像，可确定函数M的图像，M的图像与这条直线交点的个数即为的实数根的个数．【详解】解：①令，则有：．整理得：．∵，∴无论k为何值，抛物线与直线总有交点．故①正确．②当时，，在平面直角坐标系中画出与的图像如下：

由题中M的定义可知，当时，，当时，，当时，，当时，，根据图像可知，当时，M最小值为3．故②正确．③在平面直角坐标系中画出与的图像如下：

由图可知，当时，若，M的值随x的值增大而增大，若，M的值随x的增大先增大再减小再增大，若，M的值随x的值增大而增大，∴当时，M的值随x的值增大而增大，则．故③正确．④在平面直角坐标系中画出与的图像如下：

由图像可以发现，M的图像与这条直线只要两个交点，∴当时，方程有两个不等的实根，故④不正确．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用，在平面直角坐标系中画出图像确定新函数M的图像是解决此题的关键．举一反三1（2023·山东济南·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：①点，都是点的“倍增点”；②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．【详解】解：①∵，，∴，∴，则是点的“倍增点”；∵，，∴，∴，则是点的“倍增点”；故①正确，符合题意；②设点，∵点A是点的“倍增点”，∴，解得：，∴，故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点是点的“倍增点”，∴，整理得：，∵，∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；故③正确，符合题意；④设点，∵点是点的“倍增点”，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值为，∴的最小值是，故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．举一反三2（2023·广东广州·广州市第二中学校考二模）定义：，若函数，则该函数的最小值为（

）A． B．0 C． D．3【答案】A【分析】分两种情况讨论：当，即时，当，即或时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可．【详解】解：当，即时，，∵，∴当时，该函数的值最小，最小值为；当，即即或时，，∵，∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，∵，∴当时，该函数的值最小，最小值为；综上所述，该函数的最小值为．故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．单选题已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（

）A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5【答案】D【分析】根据抛物线的对称轴为直线可求出m的值，然后解方程即可．【详解】抛物线的对称轴为直线，，解得，关于x的方程为，，解得，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．3．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【答案】C【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．4．（2023·福建泉州·统考模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“关联函数”，点与点则为一对“关联点”．已知函数和互为“关联函数”，则n不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设在，则在上，得出，求得最大值为，即可求解．【详解】解：设在，则在上，∴∴∴当时，的最大值为,故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．填空题1．（2023秋·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考期末）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为．【答案】/【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．【详解】解：，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，若，当时，y随x的增大而减小，此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，若，当时，函数值y最小，最小值为1，∴，解得：或（舍去）；综上所述，a的值为．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．（2023·广东揭阳·校考一模）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．【答案】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即：故答案为：．【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．3．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围