专题11.2综合检测2（人教A版2019）

专题11.2必修第二册综合检测2考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高二下·广东阳江·阶段练习）若复数是纯虚数，则实数（

）A．或1 B． C． D．或1【答案】B【分析】依题意实部为零，虚部不为零，即可得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：因为复数是纯虚数所以，解得或，解得且，综上可得.故选：B2．（2024高一下·甘肃金昌·阶段练习）一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（）A．6.6 B．6 C．66 D．60【答案】C【分析】利用新老数据平均数的关系可求原来数据的平均数.【详解】设原来的一组数据是，则每一个数据都减去得到新数据且求得新数据的平均数是，所以，即，所以，故样本的平均数是.故选：C3．（2024高二上·北京东城·期中）如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，，则平面ABC与平面β的交线是（）A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC【答案】C【分析】根据点与线的位置关系，以及两平面相交的性质，确定交线.【详解】由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β．又D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD．故选：C．4．（2024高三上·江西吉安·期末）记的内角对边分别为已知．若，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰锐角三角形C．等腰钝角三角形 D．不等腰钝角三角形【答案】C【分析】由条件运用正弦定理角化边，由余弦定理求出，根据条件可求得，从而可判断.【详解】由已知，根据正弦定理得，，则，∴，又，∴，，又，∴，∴，即，此时，，∴为等腰钝角三角形．故选：C．5．（2024高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【答案】B【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】如图所示：

，，，设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有所以有，故选：B.6．（2024高二上·吉林松原·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．则异面直线，所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，取的中点，连接，故（或其补角）就是异面直线所成的角，再根据几何关系，结合余弦定理求解.【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，因为是中点，则，所以（或其补角）就是异面直线所成的角，由已知，，，所以，所以异面直线，所成角的余弦值为故选：C．7．（2024高一下·江苏常州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答.【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则，而，于是得，又点M，O，N共线，因此，，即，又，解得，所以.故选：B8．（2024·广东广州·三模）四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥(如图所示)，其中．设长方体的三条棱长分别为，则有．（1）由②③得，又，∴，解得．（2）由②③得，又，∴，解得．综上可得．故的取值范围是．选C．点睛：由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2024高一下·辽宁锦州·期末）已知复数，，，则以下说法正确的是（

）A．B．若，则C．D．若，则【答案】AC【分析】利用复数的运算逐个分析验证即可【详解】解：设，对于A，因为，所以，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以不一定有，所以B错误，对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以或，所以D错误，故选：AC10．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（

）A．三点共线 B．C． D．点在的内部【答案】AC【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．【详解】，因为点为的重心，所以，所以，所以三点共线，故A正确，B错误；，因为，所以，即，故C正确；因为，所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；故选：AC．11．（2024·全国·模拟预测）如图1，在矩形与菱形中，，，，分别是，的中点.现沿将菱形折起，连接，，构成三棱柱，如图2所示，若，记平面平面，则（

）A．平面平面 B．C．直线与平面所成的角为60° D．四面体的外接球的表面积为【答案】AB【分析】根据题意，对四个选项一一进行分析，对于选项A，根据线面垂直的判定定理可证出平面，再根据线面垂直的判定定理证出平面平面；对于选项B，由菱形的性质和三角形中位线的性质，得出，再根据面面平行的性质，即可证出；对于选项C，由菱形的性质和线面垂直的判定定理可证出平面，从而得出为直线与平面所成的角，利用菱形的性质即可求出；对于选项D，结合已知条件，在中求出，再利用正弦定理求得的外接圆半径，最后利用外接球半径、截面圆半径以及球心到截面的距离三者之间的关系，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可求出结果.【详解】解：对于A，由于矩形，则，又因为，而，所以平面，又平面，所以平面平面，所以A选项正确；对于B，因为，分别是，的中点，四边形是菱形，则也是的中点，由三角形中位线的性质，可知，由于三棱柱，则平面平面，所以平面，而平面平面，则，所以，故B选项正确；对于C，由于四边形是菱形，则，又因为，而，所以平面，所以为直线与平面所成的角，又因为，则，所以，故直线与平面所成的角为，故C选项不正确；对于D，由题可知，，则在中，，由正弦定理可得的外接圆半径，由A选项可知，平面，所以四面体的外接球半径，故四面体的外接球的表面积，故D选项不正确，故选：AB.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2024高二上·江苏南京·期末）假设要考查某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954.【答案】331、572、455【解析】根据随机数表法依次列举出来即可.【详解】解：根据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为：331、572、455故答案为：331、572、45513．（2024高一下·广西玉林·期末）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为.【答案】【分析】设AB的中点为O，连接OD，OC，可得与均为直角三角形，进而可得O为外接球球心，再由球的表面积公式即可求解.【详解】解：设AB的中点为O，连接OD，OC，如图，∵在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即与均为直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O为外接球球心，OA＝R＝；∴四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝2π．故答案为：2π．14．（2024高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知为锐角三角形，，，，是角，，分别所对的边，若；且，则面积的取值范围是.【答案】【分析】根据给定条件，求出的值及的范围，然后通过正弦定理和面积公式，并结合两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】在锐角中，由，得，即，由正弦定理得，而，则，又，则有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，则，因此，由，得，即，于是，所以面积的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及求三角形面积范围问题，可以利用正弦定理及三角形面积公式，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（2024高三上·陕西铜川·期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．(1)用和表示；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果；（2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论.【详解】（1），，又为上靠近的三等分点，，；（2）交于，，由（1）知．．三点共线，，解得，．即16．（2024·浙江·高考模拟）在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（Ⅱ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得．【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，.（Ⅱ）由，得，，故，，.17．（2024高一下·山西太原·期末）如图，正三棱柱的所有棱长均相等.（1）在图中作出过与侧面垂直的三棱柱的截面，并说明理由；（2）求直线与侧面所成角的余弦值.【答案】（1）作图答案见解析，理由见解析；（2）.【分析】（1）如图，取的中点，连接，，则可得截面，再证明平面平面；（2）直线与侧面所成角为，再解三角形得解.【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，，则可得截面.理由如下：∵三棱柱为正三棱柱，∴为等边三角形，又为中点，∴，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，又平面，故平面平面.（2）由（1）可知直线与侧面所成角为，设正三棱柱为所有棱长均为2，则在直角三角形中，，，∴，因此直线与侧面所成角的余弦值为.18．（2024高二下·四川成都·期中）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：月收入(单位：百元)频数赞成人数（1）用样本估计总体的思想比较该市月收入低于(百元)和不低于(百元)的类人群在该项措施的态度上有何不同.（2）现从上表中月收入在和的市民中各随机抽取一个进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率.【答案】（1）月收入不低于(百元)的人群对该措施持肯定态度的比月收入低于(百元)的人群中持肯定态度的比例要高；（2）.【解析】（1）样本中月收入低于20（百元）的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，月收入不低于30（百元）的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，由此能求出结果．（2）将月收入在，中，不赞成的3人记为，，，赞成的2人记为，，月收入在，中不赞成的1人记为，赞成的3人记为，，，由此利用列举法能求出从月收入在，和，的人中各随机抽取1人，抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．【详解】解：（1）由表知，样本中月收入低于(百元)的共有人，其中持赞成态度的共有人，赞成人数的频率，月收入不低于(百元)的共有人，其中持赞成态度的共有人，赞成人数的频率根据样本估计总体思想可知月收入不低于(百元)的人群对该措施持肯定态度的比月收入低于(百元)的人群中持肯定态度的比例要高.（2）将月收入在中，不赞成的人记为，赞成的人记为，月收入在中不赞成的人记为，赞成的人记为，从月收入在和的人中各随机抽取人，基本事件总数：，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”共包含：，，共个，抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率19．（2024高一下·江西南昌·期末）某工厂调试壹号､贰号､叁号三条生产线各自独立地生产同一种零件，已知壹号生产线生产的零件是合格品且贰号生产线生产的零件是非合格品的概率为，贰号生产线生产的零件是合格品且叁号生产线生产的零件也是合格品的概率为，壹号生产线生产的零件是合格品且叁生产线生产的零件也是合格品的概率为，记事件A，B，C分别为壹号､贰号､叁号三条生产线各自生产的零件是合格品.（1）分别求出事件A，B，C的概率，，；（2）从壹､贰､叁三条生产线上生产的同一种零件中随机各取1个进行检验