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文档简介
2021年辽宁省沈阳市中考数学真题
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题2分,共20分)
1.9的相反数是()
A.-B.--C.9D.-9
99
2.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是()
与Ljj0
A.-111B.一।「C.1~!।D.E0
3.据报道,截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次,将数据3270000用科学记数法
表示为()
A.32.7xlO5B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6
4.下列计算结果正确的是()
A.a4-a2=(^B.6a-2a=4aC.«6-z-a2=a}D.(-a%)=—aAb~
5二.如图,直线a,〃被直线c所截,若a//b,Zl=70°,则N2的度数是()
A.70°B.100°C.110°D.120°
6.信息技术课上,在老师的指导下,小好同学训练打字速度(字/min),数据整理如下:15,17,23,15,17,17,
19,21,21,18,对于这组数据,下列说法正确的是()
A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18
7.如图,.4?。与△A4G位似,位似中心是点。,若。4:。4=1:2,则..ABC与"4G周长比是()
C.1:4D.1:72
8.一次函数y=-3x+l图象不经过
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
9.下列说法正确的是()
A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件
C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,s甲2=0.3,s乙2=0.02,则甲组数据更稳定
10.如图,.ABC是。。的内接三角形,AB=26ZACB=60°,连接Q4,OB,则川?的长是()
4万
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,合计18分)
11.分解因式:ax2+2ax+a=.
研x-5<1
12.不等式组\匚八的解集是
[3x-5>0—
13.化简:H一一—4)=________.
V%-4x-16J
k
14.如图,平面直角坐标系中,。是坐标原点,点4是反比例函数y=—(A工0)图象上的一点,过点4分别作A"J_x
X
轴于点M.ANYy轴于点N.若四边形AMON的面积为12,则k的值是.
15.某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活
用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为元时,才能使每天所获销售利
润最大.
16.如图,.A8C中,AC=3,BC=4,AB=5.四边形43EF是正方形,点D是直线8C上一点,且CD=1/
2
是线段上一点,且尸。=1。后.过点P作直线/于8C平行,分别交45,AO于点GH,则G”的长是
三、解答题(第17小题6分,第18、19题各8分,共22分)
f1、一
17.计算:(乃—2021)°—3tan30°+|l—W+|j
33
18.如图,在菱形ABCD中,点MN分别是边BC,。。上的点,BM=-BC,DN=-DC.连接AM,AN,
44
延长AN交线段BC延长线于点E.
(1)求证:^ABM^ZXAND;
(2)若4)=4,则ME的长是.
19.某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型,泡沫型三种型号(分别用人B,C依次表示这三种型号).小
辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.
(2)请你用列表法或画树状图法,求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.
四、解答题(每小题8分,共16分)
20.学史明理,学史增信,学史崇德,学史力行,在建党100周年之际,某校对全校学生进行了一次党史知识测试,
成绩评定共分为A,B,C,。四个等级,随机抽取了部分学生的成绩进行调查,将获得的数据整理绘制成如下两幅
不完整的统计图.
学生成绩等级扇型统计图
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽取了名学生;
(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图;
(3)扇形统计图中,。等级对应的圆心角度数是度;
(4)根据抽样调查的结果,请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.
21.某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少
行或多少列?
五、解答题(本题10分)
22.如图,AB是1。的直径,AD与O交于点4点E是半径Q4上一点(点E不与点O,A重合).连接
交。于点C连接C4,CB.若CA=CD,ZABC=AD.
(1)求证:AO是。。的切线.
(2)若AB=13,CA=CD=5,则的长是.
六、解答题(本题10分)
23.如图,平面直角坐标系中,。坐标原点,直线丫=依+15(人工0)经过点。(3,6),与x轴交于点A,与),轴交
3
于点B.线段CO平行于x轴,交直线y=于点。连接。C,AD.
4
(2)求证:四边形。4OC是平行四边形;
(3)动点P从点0出发,沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动,直到点D为止;动点。同时从点
D出发,沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点O运动,直到点。为止.设两个点的运动时间均为,秒.
①当f=l时,-CPQ的面积是.
②当点P,。运动至四边形C7%Q为矩形时,请直接写出此时■的值.
七、解答题(本题12分)
24.在一ABC中,AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.
点B,C,E不共线,点尸为直线OE上一点,且PB=PD
(1)如图1,点。在线段3C延长线上,则NECD=ZABP=(用含a的代数式表示);
(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转,当BPJ.0E时,直线PC
交于点G,点M是PO中点,请直接写出GM的长.
A
D
八、解答题(本题12分)
25.如图,平面直角坐标系中,0是坐标原点,抛物线了=-/+云+。与x轴交于A、2两点(点A在点8左侧),
点8坐标是(3,0).抛物线与),轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶点,连接PC.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.
(2)直线8c与抛物线对称轴交于点。点Q直线8C上一动点.
①当QA8的面积等于PCD面积的2倍时,求点。的坐标;
②在①的条件下,当点。在x轴上方时,过点。作直线/垂直于AQ,直线y=交直线/于点尸,点G在直
17
线y=上,且AG=AQ时,请直接写出Gb的长.
备用图
2021年辽宁省沈阳市中考数学真题
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题2分,共20分)
1.9的相反数是()
A.-B.--C.9D.-9
99
【答案】D
【分析】根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案.
【详解】解:9的相反数是-9,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了相反数,解题的关键是掌握相反数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数)的概念.
2.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是()
A.日二BB.C.小D.出
【答案】B
【分析】利用主视图的定义进行判断即可,即从几何体的正面观察得出视图.
【详解】解:从几何体的正面看,底层是四个小正方形,上层的左端是一个小正方形.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图,正确把握观察的角度是解题的关键.画简单组合体的三视图要循序
渐进,通过仔细观察和想象,再画它的三视图.
3.据报道,截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次,将数据3270000用科学记数法
表示为()
A.32.7X105B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6
【答案】D
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为axlO",其中L,匕1<10,“为整数,且〃比原来的整数位
数少1,据此判断即可.
【详解】解:3270000=3.27xlO6.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为axlO",其中L,确定。与〃的值是
解题的关键.
4.下列计算结果正确的是()
A.a4-a2=a8B.6a-2a=4aC.a6-i-a2=a3D.(一=-a4/—
【答案】B
【分析】依据同底数基的乘法法则、合并同类项法则、同底数幕的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结
论.
【详解】解:A.故本选项错误;
B.6a-2a=4a,故本选项正确;
C./+/=/,故本选项错误;
D.(~a2b)2=a4b2,故本选项错误;
故选:B.
【点睛】本题主要考查了同底数基的乘法法则、合并同类项法则、同底数幕的除法法则以及积的乘方法则的运用,
关键是掌握合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.
5.如图,直线a,b被直线c所截,岩aHb,Nl=70。,则N2的度数是()
A.70°B.100°C.110°D.120°
【答案】C
分析】由已知条件a/可得N1=N3=7O°,由平角的性质可得N2+N3=18()°代入计算即可得出答案.
【详解】解:如图,
al1b,
.-.Z1=Z3=7O°,
■Z2+Z3=180°,
.•.Z2=180°-Z3=180o-70o=110°.
故选:c.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键.
6信息技术课上,在老师的指导下,小好同学训练打字速度(字/min),数据整理如下:⑸17,23,15,17,17,
19,21,21,18,对于这组数据,下列说法正确的是()
A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18
【答案】A
【分析】根据中位数、众数的概念求解可得.
【详解】解:以上数据重新排列为:15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,
,众数为17、中位数为正”=17.5,
2
故选:A.
【点睛】本题考查的是众数和中位数的概念;熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键.
7.如图,,ABC与ZM4G位似,位似中心是点。,若。4:04=1:2,则「.ABC1与E4G的周长比是()
C.1:4D,1:V2
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到/VlBCsaAMG,AC//A.C,,进而得出AAOCszsAOG,根据相似三角
形的性质解答即可.
【详解】解:ZVIBC与位似,
.•.A48cs△A£C|,AC//AG,
・•.AAOCsaAOCi,
,ACOAI
"A;C'~OA'~2,
...A48c与△A4G的周长比为1:2,
故选:A.
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质,掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是
解题的关键.
8.一次函数y=-3x+l的图象下经过
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可.
【详解】;3<0,1>0,
...图像经过一、二、四象限,不经过第三象限.
故选C.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系:对于产自+3(/为常数,M)),当4>0,〃>0,严船+6的图象在
一、二、三象限;当人>0,b<0,尸"+6的图象在一、三、四象限;当k<0,b>0,)=履+〃的图象在一、二、四
象限;当%<0,b<0,广爪+8的图象在二、三、四象限.
9.下列说法正确是()
A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件
C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,s甲2=0.3,s/=o.02,则甲组数据更稳定
【答案】C
【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断,即可得出结论.
【详解】解:A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数不一定是奇数,故原说法错误,不合题意;
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是随机事件,故原说法错误,不合题意;
C.了解一批冰箱的使用寿命,适合采用抽样调查的方式,说法正确,符合题意;
D.若平均数相同的甲、乙两组数据,.%=0.3,.《=().02,则乙组数据更稳定,故原说法错误,不合题意;
故选:C.
【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念,方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越
大,则各数据与平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
10.如图,A3C是的内接三角形,AB=2g,ZACB=60°,连接Q4,OB,则川?的长是()
71「2万4乃
A.—B.—C.71D.
33T
【答案】D
【分析】过点。作OD,AB于。,根据垂径定理求出AD,根据圆周角定理求出NAQB,根据正弦的定义求出OA,
根据弧长公式计算求解.
【详解】解:过点。作于O,
则A£>=£)B=,A5=G
2
由圆周角定理得:ZAOB=2ZACB=120°,
"A。。=60。,
八,AD6c
OA=----------=-尸=2
sinZAOD6,
T
I_120乃x2_4TT
..i.=--------=—,
AB1803
故选:D.
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,合计18分)
11.分解因式:ax"+2ax+a=.
【答案】a(x+1)2
【详解】ax2+2ax+a
=a(X2+2X+1)
=a(x+1)".
x-5<1
12.不等式组'u八的解集是
3x-5>0
【答案】—„x<6
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定
不等式组的解集.
【详解】解:解不等式得:x<6,
解不等式3x—5..0,得:%...-,
3
则不等式组的解集为g,,尤<6,
故答案为:|„x<6.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大
小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
日化简:[占一占卜>4)=--------
【答案】1
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算,然后再算括号外面的.
8
【详解】解:)«+4)
X2-16
x+4-8.
-----------(x4-4)
(x+4)(x-4)
x—4
————(x+4)
(x+4)(x-4)
=1,
故答案为:1.
【点睛】本题考查了分式的混合运算,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键,注意运算顺序.
14.如图,平面直角坐标系中,。是坐标原点,点A是反比例函数y=K(AxO)图象上的一点,过点4分别作AM
轴于点M,ANry轴于点N,若四边形AMON的面积为12,则k的值是
【分析】根据反比例函数的比例系数攵的几何意义得到网=12,然后根据反比例函数的性质确定上的值.
【详解】解:四边形AMQV的面积为12,
:.\k\^l2,
反比例函数图象在二四象限,
:.k<0,
:.k=-n,
故答案为:-12.
k
【点睛】本题考查了反比例函数函数Z的几何意义:在反比例函数y=一图象中任取一点,过这一个点向X轴和y
x
轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值1幻.
15.某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活
用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为元时,才能使每天所获销售利
润最大.
【答案】11
【分析】根据题意列出二次函数关系式,根据二次函数的性质即可得到结论.
【详解】解:设销售单价定为X元(X.9),每天所获利润为y元,
则y=[20-4(x-9)]-(x-8)
=-4X2+88X-448
=-4(X-11)2+36,
所以将销售定价定为11元时,才能使每天所获销售利润最大,
故答案为11.
【点睛】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的函数关系式,利用二次函数的性质解
答.
16.如图,ABC中,AC=3,BC=4,AJ3=5.四边形A班户是正方形,点。是直线BC上一点,且CO=1/
2
是线段上一点,且尸。=—.过点P作直线/于8c平行,分别交AB,AO于点G,H,则G”的长是
3
【分析】结合勾股定理逆定理判断AABC是直角三角形,通过证明△G3MSMC4,,然后利
用相似三角形的性质求解,然后分当点。位于。点左侧时,当点。位于C点右侧时,进行分类讨论.
【详解】解:AABC中,AC=3,BC=4,AB=5,
AC2+BC2=25.AB2=25.
AC2+BC2AB2,
...A48c为直角三角形,
①当点。位于C点左侧时,如图:
设直线/交班于点M,
I//BC,
BMD.P
•,■=777>^MGB=ZABC,
BEDtE
2
又四边形/WEF是正方形,且
:.BE=AB=5,ZEBA=90°,
解得:BM
3
•.ZMGB=ZABC,ZEBA=ZACB=90°,
,GBBC
GB4
103»
T
40
解得:GB=—,
9
AG=AB-GB=~,
9
1//BC,
:.\AGH^\ABD,,
GHAG
BD、=BC—CD1=3,
5
GH9,
~Y~~5
解得:GH=g;
②当点。位于。点右侧时,如图:
5
GH9»
亨一二
解得:GW=1,
综上,G”的长为!或3,
39
故答案为:彳或
【点睛】本题考查勾股定理逆定理,相似三角形的判定和性质,理解题意,证明出AGBA/SABCA,特别注意分
类思想的运用是解题关键.
三、解答题(第17小题6分,第18、19题各8分,共22分)
17.计算:(7-2021)°—3tan30°+卜—内卜(3).
【答案】4
【分析】首先计算零指数基、负整数指数幕、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后从左向右依次计
算,求出算式的值是多少即可.
【详解】解:-2021)°-3tan300+11-^|+(1)-2
=l-3x—+V3-1+4
3
=1-G+百T+4
=4.
【点睛】本题主要考查了实数的运算,零指数累,负整数指数暴,特殊角三角函数值,绝对值的化简,掌握特殊角
三角函数值,零指数基,负整数指数塞的运算法则是解题关键.
33
18.如图,在菱形ABC。中,点MN分别是边BC,DC上的点,BM=-BC,DN=-DC.连接40,AN,
44
延长AN交线段BC延长线于点E.
(1)求证:^ABM^/\AND;
(2)若AT)=4,则ME的长是.
7
【答案】(1)见解析;(2)y.
33
【分析】(1)根据菱形的性质可得4?=AO=8C=a),ZB=ZD,根据8M=—8C,DN=-DC,可得
44
BM=DN,利用S45即可证明;
(2)根据菱形的性质可证明AAAT^AENC,根据相似的性质可求得CE的长度,进而可求ME.
【详解】解:(1)证明:四边形ABCD为菱形,
:.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD,
33
BM=-BC,DN=-DC,
44
BM=DN,
在MBM和AADN中,
AB=AD
NB=ND,
BM=DN
\ABM=/^ADN(SAS),
(2)四边形ABC。为菱形,
:.AD//CE,
:"DAN=/CEN,
ZAND=ZCNE,
...MA©^AENC,
AD_DN
~CE"CW'
DN二=-DC,
4
ADDN
~CE~~CN~
4_3
=,
~CE1
4
CE=:一,
3
BM:=-BC,
4
:.MC=-BC=1,
4
7
:.ME=MC+CE=-.
3
【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定,相似三角形的判定和性质,通过菱形的性质得到
ZWDsAENC是关键.
19.某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型,泡沫型三种型号(分别用A.B.C依次表示这三种型号).小
辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.
(2)请你用列表法或画树状图法,求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.
【答案】(1)工;(2)工
33
【分析】(1)直接根据概率公式求解即可;
(2)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.
【详解】解:(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是:,
故答案为:—;
(2)列表如下:
ABc
A(A,A)(B,A)(C,A)
B(A,B)(B,B)(C,B)
C(A,C)(B,C)(C,C)
由表可知,共有9种等可能结果,其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果,
31
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为J.
点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步
完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
四、解答题(每小题8分,共16分)
20.学史明理,学史增信,学史崇德,学史力行,在建党100周年之际,某校对全校学生进行了一次党史知识测试,
成绩评定共分为A,B,C,。四个等级,随机抽取了部分学生的成绩进行调查,将获得的数据整理绘制成如下两幅
不完整的统计图.
学生成绩等级条形统计图学生成绩等级扇型统计图
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽取了名学生;
(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图;
(3)扇形统计图中,/)等级对应的圆心角度数是度;
(4)根据抽样调查的结果,请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.
【答案】⑴80;(2)见解析;⑶36;(4)600名
【分析】(1)根据A等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数;
(2)根据(1)中的结果和扇形统计图中的数据,可以计算出8等级的人数,然后即可将条形统计图补充完整:
(3)根据。等级的人数以及抽取的学生数计算出。等级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)求出C等级所占整体的百分比即可求出相应的人数.
【详解】解:⑴32+40%=8()(名),
故答案为:80;
(2)3等级的学生为:80x20%=16(名),
补全条形图如下,
学生成绩等级条形统计图
O
(3)D等级所对应的扇形圆心角的度数为:360。、京=36。;
80
24
(4)2000X—=600(名),
80
答:估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级.
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图,用样本估计总体,理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键.
21.某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少
行或多少列?
【答案】增加了3行3歹U.
【分析】设增加了x行,则增加的列数为x,用增加后的总人数一原队伍的总人数=51列出方程求解即可.
【详解】解:设增加了x行,则增加的列数为x,
根据题意,得:(6+x)(8+x)-6*8=51,
整理,得:/+14了-51=0,
解得玉=3,x2=-17(舍),
答:增加了3行3列.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系.
五、解答题(本题10分)
22.如图,AB是「。的直径,AD与「。交于点A,点E是半径Q4上一点(点E不与点O.A重合).连接£)E
交。于点C连接C4,CB.若CA=CD,ZABC^ZD.
⑴求证:AD是:。的切线.
(2)若AB=13,CA=CD=5,则的长是
【答案】(1)见解析;(2)詈120
【分析】(1)根据圆周角定理得到NACB=90。,在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得
ZCAD+ZBAC=90°,进而得出结论;
(2)根据等腰三角形的判定可得CE=C4=CO=5,再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可.
【详解】解:(1)QA3是。的直径,
ZACB=90°,
:.ZBAC+ZABC=90°.
又CA=CD,
..ZD^ZCAD,
又-ZABC=ND,
..ZCAD+ZBAC^90°,
即。4LAD,
.•.4)是(。的切线;
(2)由(1)可得N4BC+NJR4C=9()°=N£>+NOE4,
ZABC=ND,
:.NBAC=NDEA,
:.CE=CA=CD=5,
DE=10,
在RtAABC中,由勾股定理得,
BC=y/AB2-AC2=V132-52=12-
ZACB=/DAE=90°,ZABC=ZD,
:.\ABCs庄DA,
,ABBC
~ED~~AD
1312
即Hn一=——,
10AD
120
解得AO=——
13
【点睛】本题考查切线的判定,圆周角定理以及相似三角形,掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判
定和性质是解决问题的前提.
六、解答题(本题10分)
23.如图,平面直角坐标系中,。是坐标原点,直线丁=入+15(人工0)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与),轴交
3
于点B.线段平行于无轴,交直线y=于点D连接OC,AD
4
(2)求证:四边形OADC是平行四边形;
(3)动点P从点。出发,沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动,直到点D为止;动点Q同时从点
。出发,沿对角线。£)以每秒1个单位长度的速度向点O运动,直到点O
为止.设两个点的运动时间均为r秒.
①当『=1时,-CPQ的面积是.
②当点P,。运动至四边形CB4Q为矩形时,请直接写出此时/的值.
【答案】(1)-3,5,0;(2)见解析;⑶①12;②5-何或5+而.
【分析】(1)代入C点坐标即可得出左值确定直线的解析式,进而求出A点坐标即可;
(2)求出AO点坐标,根据CD=Q4,CD//OA,即可证四边形O4DC是平行四边形;
(3)①作CHL0D于“,设出”点的坐标,根据勾股定理计算出C4的长度,根据运动时间求出PQ的长度即
可确定ACPQ的面积;
②根据对角线相等确定PQ的长度,再根据P、Q的位置分情况计算出f值即可.
【详解】解:(1)直线y=^+15(Z#0)经过点C(3,6),
.♦.3%+15=6,
解得Z=—3,
即直线的解析式为y=-3x+15,
当y=0时,x=5,
A(5.0),
(2)线段C。平行于x轴,
点的纵坐标与C点一样,
又QO点在直线丫=彳》上,
当y=6时,%=8,
即0(8,6),
.•.05=8—3=5,
OA=5,
0A—CD,
又OA//CD,
四边形Q4DC是平行四边形;
(3)①作于H,
:.CH2=(m-3)2+(|/n-6)2,DH2=(m-8)2+(|m-6)2,
由勾股定理,得CH?+DH?=CD?,
即(/〃-3)2+(-m-6)2+(m-8)2+(-m-6)2=52,
44
24
整理得加=彳或8(舍去),
:.CH=3,
OD7s=1(),
.•.当f=l时,PQ=OD-t-t=lO-\-l=S,
••.SAb2=;PQC”=gx8x3=12,
②。。。=10,
当喷i)5时,PQ=\0-2t,
当5领)10时,PQ=2t-\Q,
当点P,。运动至四边形CPAQ为矩形时,PQ=AC,
AC=7(5-3)2+62=2V10-
当喷1)5时,10—2/=2而,
解得£=5-河,
当5和10时,2t-10=2y/l0,
解得f=5+而,
综上,当点P,。运动至四边形CPAQ为矩形时,的值为5-丽或5+屈.
【点睛】本题主要考查一次函数的性质,熟练掌握待定系数法求解析式,平行四边形的性质和矩形的性质是解题的
关键.
七、解答题(本题12分)
24.在一ABC中,AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.
点B,C,E不共线,点尸为直线OE上一点,且PB=PD
(1)如图1,点。在线段3C延长线上,则NECD=ZABP=(用含a代数式表示);
(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转,当BPJ.0E时,直线PC
交于点G,点M是PO中点,请直接写出GM的长.
E
A
【答案】⑴180°-2a,a;(2)见解析:(3)GM的长为返电或上.
22
【分析】(1)利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.
(2)如图2中,连接3。.证明NP8C=NCDE=a,可得结论.
(3)分两种情形:如图3-1中,设交AC于J.图3—2中,设PC交于K,当BPJ_PC时,利用三角
形的中位线定理,可得GM=』PB,求出心,可得结论.
2
详解】(1)解:如图1中,
图1
•;CE=CD,
ZD=NE=a,
:.ZECD=l80°-2a,
:・/ECB=4E+/D=2a,
AB=AC,
ZABC=ZACB^2a,
PB=PD,
:.ZPBD=ZD=a,
ZABP=ZABC-ZPBD=a,
(2)证明:如图2中,连接BO.
E
图2
CB=CD,PB=PD,
:,NCBD=/CDB,ZPBD=4DB,
:.ZPBC=ZPDC=a,
ZABC=2a,
ZABP=NPBC=a,
.•.PB平分NABC.
(3)解:如图3-1中,设BP交AC于/.
图3-1
BP工PD,BP=PD,
△心。是等腰直角三角形,
•;CB=CD,PB=PD,
」.PG垂直平分线段8G,
BG=DG,
PM=MD,
:.GM=-PB,
2
ZABC=ZACB^60°,
:.ZECD=180°-60°=120°,MCB是等边三角形,
CE=CD,
NCDE=30。,
:・/PBC=NPDC=30°,
.-.ZBJC=90°,
1+1
.r/__^Rl_liri_3+V3
..C*/=-£>C=------,DJ-73CJ=-------,
222
•/ZCPD=ZCPJ=45°,
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