2021年辽宁省沈阳市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2021年辽宁省沈阳市中考数学真题

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1.9的相反数是（）

A.-B.--C.9D.-9

99

2.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

与Ljj0

A.-111B.一।「C.1~!।D.E0

3.据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次,将数据3270000用科学记数法

表示为（）

A.32.7xlO5B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6

4.下列计算结果正确的是（）

A.a4-a2=（^B.6a-2a=4aC.«6-z-a2=a}D.(-a%)=—aAb~

5二.如图，直线a,〃被直线c所截，若a//b,Zl=70°,则N2的度数是()

A.70°B.100°C.110°D.120°

6.信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min）,数据整理如下：15,17,23,15,17,17,

19,21,21,18,对于这组数据，下列说法正确的是（）

A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18

7.如图，.4?。与△A4G位似，位似中心是点。，若。4：。4=1:2,则..ABC与"4G周长比是（）

C.1:4D.1:72

8.一次函数y=-3x+l图象不经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.下列说法正确的是（）

A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3,s乙2=0.02,则甲组数据更稳定

10.如图，.ABC是。。的内接三角形，AB=26ZACB=60°,连接Q4,OB,则川？的长是（）

4万

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）

11.分解因式：ax2+2ax+a=.

研x-5<1

12.不等式组\匚八的解集是

[3x-5>0—

13.化简：H一一—4）=________.

V%-4x-16J

k

14.如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点4是反比例函数y=—（A工0）图象上的一点，过点4分别作A"J_x

X

轴于点M.ANYy轴于点N.若四边形AMON的面积为12,则k的值是.

15.某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活

用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利

润最大.

16.如图，.A8C中，AC=3,BC=4,AB=5.四边形43EF是正方形，点D是直线8C上一点，且CD=1/

2

是线段上一点，且尸。=1。后.过点P作直线/于8C平行，分别交45,AO于点GH,则G”的长是

三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）

f1、一

17.计算：(乃—2021)°—3tan30°+|l—W+|j

33

18.如图，在菱形ABCD中，点MN分别是边BC,。。上的点，BM=-BC,DN=-DC.连接AM,AN,

44

延长AN交线段BC延长线于点E.

(1)求证：^ABM^ZXAND；

(2)若4)=4,则ME的长是.

19.某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号(分别用人B,C依次表示这三种型号).小

辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.

(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.

(2)请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.

四、解答题(每小题8分，共16分)

20.学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试,

成绩评定共分为A,B,C,。四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅

不完整的统计图.

学生成绩等级扇型统计图

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中一共抽取了名学生；

(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，。等级对应的圆心角度数是度；

(4)根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.

21.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少

行或多少列？

五、解答题(本题10分)

22.如图，AB是1。的直径，AD与O交于点4点E是半径Q4上一点(点E不与点O,A重合).连接

交。于点C连接C4,CB.若CA=CD,ZABC=AD.

(1)求证：AO是。。的切线.

(2)若AB=13,CA=CD=5,则的长是.

六、解答题(本题10分)

23.如图，平面直角坐标系中，。坐标原点，直线丫=依+15(人工0)经过点。(3,6),与x轴交于点A,与)，轴交

3

于点B.线段CO平行于x轴，交直线y=于点。连接。C,AD.

4

(2)求证：四边形。4OC是平行四边形；

(3)动点P从点0出发，沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直到点D为止；动点。同时从点

D出发，沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点。为止.设两个点的运动时间均为，秒.

①当f=l时，-CPQ的面积是.

②当点P,。运动至四边形C7%Q为矩形时，请直接写出此时■的值.

七、解答题(本题12分)

24.在一ABC中，AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.

点B,C,E不共线，点尸为直线OE上一点，且PB=PD

(1)如图1,点。在线段3C延长线上，则NECD=ZABP=(用含a的代数式表示)；

(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BPJ.0E时，直线PC

交于点G,点M是PO中点，请直接写出GM的长.

A

D

八、解答题（本题12分）

25.如图，平面直角坐标系中，0是坐标原点，抛物线了=-/+云+。与x轴交于A、2两点（点A在点8左侧），

点8坐标是（3,0）.抛物线与），轴交于点C（0,3）,点P是抛物线的顶点，连接PC.

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.

（2）直线8c与抛物线对称轴交于点。点Q直线8C上一动点.

①当QA8的面积等于PCD面积的2倍时，求点。的坐标；

②在①的条件下，当点。在x轴上方时，过点。作直线/垂直于AQ,直线y=交直线/于点尸，点G在直

17

线y=上，且AG=AQ时，请直接写出Gb的长.

备用图

2021年辽宁省沈阳市中考数学真题

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1.9的相反数是（）

A.-B.--C.9D.-9

99

【答案】D

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案.

【详解】解：9的相反数是-9,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数）的概念.

2.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A.日二BB.C.小D.出

【答案】B

【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图.

【详解】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键.画简单组合体的三视图要循序

渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图.

3.据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数据3270000用科学记数法

表示为（）

A.32.7X105B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6

【答案】D

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中L,匕1<10,“为整数，且〃比原来的整数位

数少1,据此判断即可.

【详解】解：3270000=3.27xlO6.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为axlO",其中L,确定。与〃的值是

解题的关键.

4.下列计算结果正确的是（）

A.a4-a2=a8B.6a-2a=4aC.a6-i-a2=a3D.（一=-a4/—

【答案】B

【分析】依据同底数基的乘法法则、合并同类项法则、同底数幕的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结

论.

【详解】解：A.故本选项错误；

B.6a-2a=4a，故本选项正确；

C./+/=/,故本选项错误；

D.（~a2b）2=a4b2,故本选项错误;

故选：B.

【点睛】本题主要考查了同底数基的乘法法则、合并同类项法则、同底数幕的除法法则以及积的乘方法则的运用，

关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.

5.如图，直线a,b被直线c所截，岩aHb,Nl=70。，则N2的度数是（）

A.70°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

分析】由已知条件a/可得N1=N3=7O°,由平角的性质可得N2+N3=18（）°代入计算即可得出答案.

【详解】解：如图，

al1b,

.-.Z1=Z3=7O°,

■Z2+Z3=180°,

.•.Z2=180°-Z3=180o-70o=110°.

故选：c.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键.

6信息技术课上,在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min）,数据整理如下：⑸17,23,15,17,17,

19,21,21,18,对于这组数据，下列说法正确的是（）

A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18

【答案】A

【分析】根据中位数、众数的概念求解可得.

【详解】解：以上数据重新排列为：15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,

，众数为17、中位数为正”=17.5,

2

故选：A.

【点睛】本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键.

7.如图，，ABC与ZM4G位似，位似中心是点。，若。4:04=1:2,则「.ABC1与E4G的周长比是（）

C.1:4D,1：V2

【答案】A

【分析】根据位似图形的概念得到/VlBCsaAMG，AC//A.C,,进而得出AAOCszsAOG，根据相似三角

形的性质解答即可.

【详解】解：ZVIBC与位似，

.•.A48cs△A£C|,AC//AG,

・•.AAOCsaAOCi,

,ACOAI

"A;C'~OA'~2,

...A48c与△A4G的周长比为1:2,

故选：A.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是

解题的关键.

8.一次函数y=-3x+l的图象下经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可.

【详解】；3<0,1>0,

...图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于产自+3（/为常数，M））,当4>0,〃>0,严船+6的图象在

一、二、三象限；当人>0,b<0,尸"+6的图象在一、三、四象限；当k<0,b>0,）=履+〃的图象在一、二、四

象限；当％<0,b<0,广爪+8的图象在二、三、四象限.

9.下列说法正确是（）

A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3,s/=o.02,则甲组数据更稳定

【答案】C

【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论.

【详解】解：A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；

C.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，.%=0.3,.《=（）.02,则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越

大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

10.如图，A3C是的内接三角形，AB=2g,ZACB=60°,连接Q4,OB,则川？的长是（）

71「2万4乃

A.—B.—C.71D.

33T

【答案】D

【分析】过点。作OD，AB于。，根据垂径定理求出AD,根据圆周角定理求出NAQB，根据正弦的定义求出OA,

根据弧长公式计算求解.

【详解】解：过点。作于O,

则A£>=£)B=,A5=G

2

由圆周角定理得：ZAOB=2ZACB=120°,

"A。。=60。，

八，AD6c

OA=----------=-尸=2

sinZAOD6，

T

I_120乃x2_4TT

..i.=--------=—,

AB1803

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，合计18分)

11.分解因式：ax"+2ax+a=.

【答案】a(x+1)2

【详解】ax2+2ax+a

=a(X2+2X+1)

=a(x+1)".

x-5<1

12.不等式组'u八的解集是

3x-5>0

【答案】—„x<6

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定

不等式组的解集.

【详解】解：解不等式得：x<6,

解不等式3x—5..0,得：%...-,

3

则不等式组的解集为g,,尤<6,

故答案为：|„x<6.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

日化简：［占一占卜>4）=--------

【答案】1

【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的.

8

【详解】解:)«+4)

X2-16

x+4-8.

-----------(x4-4)

(x+4)(x-4)

x—4

————(x+4)

(x+4)(x-4)

=1，

故答案为：1.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序.

14.如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函数y=K（AxO）图象上的一点，过点4分别作AM

轴于点M,ANry轴于点N,若四边形AMON的面积为12,则k的值是

【分析】根据反比例函数的比例系数攵的几何意义得到网=12,然后根据反比例函数的性质确定上的值.

【详解】解：四边形AMQV的面积为12,

：.\k\^l2,

反比例函数图象在二四象限，

：.k<0,

：.k=-n,

故答案为：-12.

k

【点睛】本题考查了反比例函数函数Z的几何意义：在反比例函数y=一图象中任取一点，过这一个点向X轴和y

x

轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值1幻.

15.某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活

用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利

润最大.

【答案】11

【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论.

【详解】解：设销售单价定为X元(X.9),每天所获利润为y元，

则y=[20-4(x-9)]-(x-8)

=-4X2+88X-448

=-4(X-11)2+36,

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，

故答案为11.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解

答.

16.如图，ABC中，AC=3,BC=4,AJ3=5.四边形A班户是正方形，点。是直线BC上一点，且CO=1/

2

是线段上一点，且尸。=—.过点P作直线/于8c平行，分别交AB,AO于点G,H,则G”的长是

3

【分析】结合勾股定理逆定理判断AABC是直角三角形，通过证明△G3MSMC4,,然后利

用相似三角形的性质求解，然后分当点。位于。点左侧时，当点。位于C点右侧时，进行分类讨论.

【详解】解：AABC中，AC=3,BC=4,AB=5,

AC2+BC2=25.AB2=25.

AC2+BC2AB2,

...A48c为直角三角形,

①当点。位于C点左侧时，如图:

设直线/交班于点M,

I//BC,

BMD.P

•,■­=777>^MGB=ZABC,

BEDtE

2

又四边形/WEF是正方形，且

:.BE=AB=5,ZEBA=90°,

解得：BM

3

•.ZMGB=ZABC,ZEBA=ZACB=90°,

,GBBC

GB4

103»

T

40

解得：GB=—,

9

AG=AB-GB=~,

9

1//BC,

：.\AGH^\ABD,,

GHAG

BD、=BC—CD1=3,

5

GH9,

~Y~~5

解得：GH=g；

②当点。位于。点右侧时，如图:

5

GH9»

亨一二

解得：GW=1,

综上，G”的长为！或3,

39

故答案为：彳或

【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出AGBA/SABCA,特别注意分

类思想的运用是解题关键.

三、解答题(第17小题6分，第18、19题各8分，共22分)

17.计算：(7-2021)°—3tan30°+卜—内卜(3).

【答案】4

【分析】首先计算零指数基、负整数指数幕、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计

算，求出算式的值是多少即可.

【详解】解：-2021)°-3tan300+11-^|+(1)-2

=l-3x—+V3-1+4

3

=1-G+百T+4

=4.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数累，负整数指数暴，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角

三角函数值，零指数基，负整数指数塞的运算法则是解题关键.

33

18.如图，在菱形ABC。中，点MN分别是边BC,DC上的点，BM=-BC,DN=-DC.连接40,AN,

44

延长AN交线段BC延长线于点E.

(1)求证：^ABM^/\AND；

(2)若AT)=4,则ME的长是.

7

【答案】(1)见解析；(2)y.

33

【分析】(1)根据菱形的性质可得4?=AO=8C=a),ZB=ZD，根据8M=—8C,DN=-DC,可得

44

BM=DN,利用S45即可证明；

(2)根据菱形的性质可证明AAAT^AENC,根据相似的性质可求得CE的长度，进而可求ME.

【详解】解：(1)证明：四边形ABCD为菱形，

：.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD,

33

BM=-BC,DN=-DC,

44

BM=DN,

在MBM和AADN中，

AB=AD

NB=ND,

BM=DN

\ABM=/^ADN(SAS),

（2）四边形ABC。为菱形,

:.AD//CE,

:"DAN=/CEN,

ZAND=ZCNE,

...MA©^AENC,

AD_DN

~CE"CW'

DN二=-DC,

4

ADDN

~CE~~CN~

4_3

=­，

~CE1

4

CE=:一，

3

BM：=-BC,

4

:.MC=-BC=1,

4

7

：.ME=MC+CE=-.

3

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到

ZWDsAENC是关键.

19.某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A.B.C依次表示这三种型号）.小

辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.

（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.

（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.

【答案】（1）工；（2）工

33

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是:，

故答案为：—;

(2)列表如下:

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，

31

所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为J.

点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

四、解答题(每小题8分，共16分)

20.学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试,

成绩评定共分为A,B,C,。四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅

不完整的统计图.

学生成绩等级条形统计图学生成绩等级扇型统计图

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中一共抽取了名学生；

(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，/)等级对应的圆心角度数是度；

(4)根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.

【答案】⑴80；(2)见解析；⑶36；(4)600名

【分析】（1）根据A等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数;

（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出8等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整:

（3）根据。等级的人数以及抽取的学生数计算出。等级所对应的扇形圆心角的度数;

（4）求出C等级所占整体的百分比即可求出相应的人数.

【详解】解：⑴32+40%=8（）（名）,

故答案为：80；

（2）3等级的学生为：80x20%=16（名）,

补全条形图如下，

学生成绩等级条形统计图

O

（3）D等级所对应的扇形圆心角的度数为：360。、京=36。；

80

24

（4）2000X—=600（名），

80

答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级.

【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键.

21.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少

行或多少列？

【答案】增加了3行3歹U.

【分析】设增加了x行，则增加的列数为x,用增加后的总人数一原队伍的总人数=51列出方程求解即可.

【详解】解：设增加了x行，则增加的列数为x,

根据题意，得：(6+x)(8+x)-6*8=51,

整理，得：/+14了-51=0,

解得玉=3,x2=-17（舍），

答：增加了3行3列.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系.

五、解答题（本题10分）

22.如图，AB是「。的直径，AD与「。交于点A,点E是半径Q4上一点（点E不与点O.A重合）.连接£）E

交。于点C连接C4,CB.若CA=CD,ZABC^ZD.

⑴求证：AD是：。的切线.

（2）若AB=13,CA=CD=5,则的长是

【答案】（1）见解析；（2）詈120

【分析】（1）根据圆周角定理得到NACB=90。，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得

ZCAD+ZBAC=90°,进而得出结论；

（2）根据等腰三角形的判定可得CE=C4=CO=5,再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可.

【详解】解：（1）QA3是。的直径，

ZACB=90°,

:.ZBAC+ZABC=90°.

又CA=CD,

..ZD^ZCAD,

又-ZABC=ND,

..ZCAD+ZBAC^90°,

即。4LAD,

.•.4)是(。的切线；

(2)由(1)可得N4BC+NJR4C=9()°=N£>+NOE4,

ZABC=ND,

:.NBAC=NDEA,

：.CE=CA=CD=5,

DE=10,

在RtAABC中，由勾股定理得，

BC=y/AB2-AC2=V132-52=12-

ZACB=/DAE=90°,ZABC=ZD,

：.\ABCs庄DA,

,ABBC

~ED~~AD

1312

即Hn一=——，

10AD

120

解得AO=——

13

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判

定和性质是解决问题的前提.

六、解答题(本题10分)

23.如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，直线丁=入+15(人工0)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与)，轴交

3

于点B.线段平行于无轴，交直线y=于点D连接OC,AD

4

(2)求证：四边形OADC是平行四边形；

(3)动点P从点。出发，沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直到点D为止；动点Q同时从点

。出发，沿对角线。£)以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O

为止.设两个点的运动时间均为r秒.

①当『=1时，-CPQ的面积是.

②当点P,。运动至四边形CB4Q为矩形时，请直接写出此时/的值.

【答案】(1)-3,5,0；(2)见解析；⑶①12；②5-何或5+而.

【分析】(1)代入C点坐标即可得出左值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；

(2)求出AO点坐标，根据CD=Q4,CD//OA,即可证四边形O4DC是平行四边形；

(3)①作CHL0D于“，设出”点的坐标，根据勾股定理计算出C4的长度，根据运动时间求出PQ的长度即

可确定ACPQ的面积；

②根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出f值即可.

【详解】解：(1)直线y=^+15(Z#0)经过点C(3,6),

.♦.3%+15=6,

解得Z=—3,

即直线的解析式为y=-3x+15,

当y=0时，x=5,

A(5.0),

(2)线段C。平行于x轴，

点的纵坐标与C点一样，

又QO点在直线丫=彳》上，

当y=6时，％=8,

即0(8,6),

.•.05=8—3=5,

OA=5,

0A—CD，

又OA//CD,

四边形Q4DC是平行四边形;

(3)①作于H,

:.CH2=(m-3)2+(|/n-6)2,DH2=(m-8)2+(|m-6)2,

由勾股定理，得CH?+DH?=CD?，

即(/〃-3)2+(-m-6)2+(m-8)2+(-m-6)2=52，

44

24

整理得加=彳或8(舍去)，

:.CH=3,

OD7s=1()，

.•.当f=l时，PQ=OD-t-t=lO-\-l=S,

••.SAb2=；PQC”=gx8x3=12,

②。。。=10,

当喷i)5时，PQ=\0-2t,

当5领)10时，PQ=2t-\Q,

当点P,。运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC,

AC=7(5-3)2+62=2V10-

当喷1)5时，10—2/=2而，

解得£=5-河，

当5和10时，2t-10=2y/l0，

解得f=5+而，

综上，当点P,。运动至四边形CPAQ为矩形时，的值为5-丽或5+屈.

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的

关键.

七、解答题(本题12分)

24.在一ABC中，AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.

点B,C,E不共线，点尸为直线OE上一点，且PB=PD

(1)如图1,点。在线段3C延长线上，则NECD=ZABP=(用含a代数式表示)；

(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BPJ.0E时，直线PC

交于点G,点M是PO中点，请直接写出GM的长.

E

A

【答案】⑴180°-2a,a；（2）见解析：（3）GM的长为返电或上.

22

【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.

（2）如图2中，连接3。.证明NP8C=NCDE=a,可得结论.

（3）分两种情形：如图3-1中，设交AC于J.图3—2中，设PC交于K，当BPJ_PC时，利用三角

形的中位线定理，可得GM=』PB,求出心，可得结论.

2

详解】（1）解：如图1中，

图1

•;CE=CD,

ZD=NE=a，

:.ZECD=l80°-2a,

:・/ECB=4E+/D=2a,

AB=AC,

ZABC=ZACB^2a,

PB=PD，

：.ZPBD=ZD=a,

ZABP=ZABC-ZPBD=a,

（2）证明：如图2中，连接BO.

E

图2

CB=CD,PB=PD，

:,NCBD=/CDB,ZPBD=4DB，

:.ZPBC=ZPDC=a,

ZABC=2a,

ZABP=NPBC=a,

.•.PB平分NABC.

(3)解：如图3-1中，设BP交AC于/.

图3-1

BP工PD，BP=PD，

△心。是等腰直角三角形,

•；CB=CD,PB=PD，

」.PG垂直平分线段8G,

BG=DG,

PM=MD,

：.GM=-PB,

2

ZABC=ZACB^60°,

：.ZECD=180°-60°=120°,MCB是等边三角形,

CE=CD,

NCDE=30。,

:・/PBC=NPDC=30°,

.-.ZBJC=90°,

1+1

.r/__^Rl_liri_3+V3

..C*/=-£>C=------，DJ-73CJ=-------，

222

•/ZCPD=ZCPJ=45°,