2021年辽宁省沈阳市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解_第1页
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文档简介

2021年辽宁省沈阳市中考数学真题

一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题2分,共20分)

1.9的相反数是()

A.-B.--C.9D.-9

99

2.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是()

与Ljj0

A.-111B.一।「C.1~!।D.E0

3.据报道,截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次,将数据3270000用科学记数法

表示为()

A.32.7xlO5B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6

4.下列计算结果正确的是()

A.a4-a2=(^B.6a-2a=4aC.«6-z-a2=a}D.(-a%)=—aAb~

5二.如图,直线a,〃被直线c所截,若a//b,Zl=70°,则N2的度数是()

A.70°B.100°C.110°D.120°

6.信息技术课上,在老师的指导下,小好同学训练打字速度(字/min),数据整理如下:15,17,23,15,17,17,

19,21,21,18,对于这组数据,下列说法正确的是()

A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18

7.如图,.4?。与△A4G位似,位似中心是点。,若。4:。4=1:2,则..ABC与"4G周长比是()

C.1:4D.1:72

8.一次函数y=-3x+l图象不经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.下列说法正确的是()

A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据,s甲2=0.3,s乙2=0.02,则甲组数据更稳定

10.如图,.ABC是。。的内接三角形,AB=26ZACB=60°,连接Q4,OB,则川?的长是()

4万

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,合计18分)

11.分解因式:ax2+2ax+a=.

研x-5<1

12.不等式组\匚八的解集是

[3x-5>0—

13.化简:H一一—4)=________.

V%-4x-16J

k

14.如图,平面直角坐标系中,。是坐标原点,点4是反比例函数y=—(A工0)图象上的一点,过点4分别作A"J_x

X

轴于点M.ANYy轴于点N.若四边形AMON的面积为12,则k的值是.

15.某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活

用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为元时,才能使每天所获销售利

润最大.

16.如图,.A8C中,AC=3,BC=4,AB=5.四边形43EF是正方形,点D是直线8C上一点,且CD=1/

2

是线段上一点,且尸。=1。后.过点P作直线/于8C平行,分别交45,AO于点GH,则G”的长是

三、解答题(第17小题6分,第18、19题各8分,共22分)

f1、一

17.计算:(乃—2021)°—3tan30°+|l—W+|j

33

18.如图,在菱形ABCD中,点MN分别是边BC,。。上的点,BM=-BC,DN=-DC.连接AM,AN,

44

延长AN交线段BC延长线于点E.

(1)求证:^ABM^ZXAND;

(2)若4)=4,则ME的长是.

19.某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型,泡沫型三种型号(分别用人B,C依次表示这三种型号).小

辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.

(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.

(2)请你用列表法或画树状图法,求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.

四、解答题(每小题8分,共16分)

20.学史明理,学史增信,学史崇德,学史力行,在建党100周年之际,某校对全校学生进行了一次党史知识测试,

成绩评定共分为A,B,C,。四个等级,随机抽取了部分学生的成绩进行调查,将获得的数据整理绘制成如下两幅

不完整的统计图.

学生成绩等级扇型统计图

根据统计图提供的信息,解答下列问题:

(1)在这次调查中一共抽取了名学生;

(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图;

(3)扇形统计图中,。等级对应的圆心角度数是度;

(4)根据抽样调查的结果,请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.

21.某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少

行或多少列?

五、解答题(本题10分)

22.如图,AB是1。的直径,AD与O交于点4点E是半径Q4上一点(点E不与点O,A重合).连接

交。于点C连接C4,CB.若CA=CD,ZABC=AD.

(1)求证:AO是。。的切线.

(2)若AB=13,CA=CD=5,则的长是.

六、解答题(本题10分)

23.如图,平面直角坐标系中,。坐标原点,直线丫=依+15(人工0)经过点。(3,6),与x轴交于点A,与),轴交

3

于点B.线段CO平行于x轴,交直线y=于点。连接。C,AD.

4

(2)求证:四边形。4OC是平行四边形;

(3)动点P从点0出发,沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动,直到点D为止;动点。同时从点

D出发,沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点O运动,直到点。为止.设两个点的运动时间均为,秒.

①当f=l时,-CPQ的面积是.

②当点P,。运动至四边形C7%Q为矩形时,请直接写出此时■的值.

七、解答题(本题12分)

24.在一ABC中,AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.

点B,C,E不共线,点尸为直线OE上一点,且PB=PD

(1)如图1,点。在线段3C延长线上,则NECD=ZABP=(用含a的代数式表示);

(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转,当BPJ.0E时,直线PC

交于点G,点M是PO中点,请直接写出GM的长.

A

D

八、解答题(本题12分)

25.如图,平面直角坐标系中,0是坐标原点,抛物线了=-/+云+。与x轴交于A、2两点(点A在点8左侧),

点8坐标是(3,0).抛物线与),轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶点,连接PC.

(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.

(2)直线8c与抛物线对称轴交于点。点Q直线8C上一动点.

①当QA8的面积等于PCD面积的2倍时,求点。的坐标;

②在①的条件下,当点。在x轴上方时,过点。作直线/垂直于AQ,直线y=交直线/于点尸,点G在直

17

线y=上,且AG=AQ时,请直接写出Gb的长.

备用图

2021年辽宁省沈阳市中考数学真题

一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题2分,共20分)

1.9的相反数是()

A.-B.--C.9D.-9

99

【答案】D

【分析】根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案.

【详解】解:9的相反数是-9,

故选:D.

【点睛】本题主要考查了相反数,解题的关键是掌握相反数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数)的概念.

2.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是()

A.日二BB.C.小D.出

【答案】B

【分析】利用主视图的定义进行判断即可,即从几何体的正面观察得出视图.

【详解】解:从几何体的正面看,底层是四个小正方形,上层的左端是一个小正方形.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图,正确把握观察的角度是解题的关键.画简单组合体的三视图要循序

渐进,通过仔细观察和想象,再画它的三视图.

3.据报道,截至2021年5月24日16时,沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次,将数据3270000用科学记数法

表示为()

A.32.7X105B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.3.27xlO6

【答案】D

【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为axlO",其中L,匕1<10,“为整数,且〃比原来的整数位

数少1,据此判断即可.

【详解】解:3270000=3.27xlO6.

故选:D.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为axlO",其中L,确定。与〃的值是

解题的关键.

4.下列计算结果正确的是()

A.a4-a2=a8B.6a-2a=4aC.a6-i-a2=a3D.(一=-a4/—

【答案】B

【分析】依据同底数基的乘法法则、合并同类项法则、同底数幕的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结

论.

【详解】解:A.故本选项错误;

B.6a-2a=4a,故本选项正确;

C./+/=/,故本选项错误;

D.(~a2b)2=a4b2,故本选项错误;

故选:B.

【点睛】本题主要考查了同底数基的乘法法则、合并同类项法则、同底数幕的除法法则以及积的乘方法则的运用,

关键是掌握合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.

5.如图,直线a,b被直线c所截,岩aHb,Nl=70。,则N2的度数是()

A.70°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

分析】由已知条件a/可得N1=N3=7O°,由平角的性质可得N2+N3=18()°代入计算即可得出答案.

【详解】解:如图,

al1b,

.-.Z1=Z3=7O°,

■Z2+Z3=180°,

.•.Z2=180°-Z3=180o-70o=110°.

故选:c.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键.

6信息技术课上,在老师的指导下,小好同学训练打字速度(字/min),数据整理如下:⑸17,23,15,17,17,

19,21,21,18,对于这组数据,下列说法正确的是()

A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数是18

【答案】A

【分析】根据中位数、众数的概念求解可得.

【详解】解:以上数据重新排列为:15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,

,众数为17、中位数为正”=17.5,

2

故选:A.

【点睛】本题考查的是众数和中位数的概念;熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键.

7.如图,,ABC与ZM4G位似,位似中心是点。,若。4:04=1:2,则「.ABC1与E4G的周长比是()

C.1:4D,1:V2

【答案】A

【分析】根据位似图形的概念得到/VlBCsaAMG,AC//A.C,,进而得出AAOCszsAOG,根据相似三角

形的性质解答即可.

【详解】解:ZVIBC与位似,

.•.A48cs△A£C|,AC//AG,

・•.AAOCsaAOCi,

,ACOAI

"A;C'~OA'~2,

...A48c与△A4G的周长比为1:2,

故选:A.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质,掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是

解题的关键.

8.一次函数y=-3x+l的图象下经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可.

【详解】;3<0,1>0,

...图像经过一、二、四象限,不经过第三象限.

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系:对于产自+3(/为常数,M)),当4>0,〃>0,严船+6的图象在

一、二、三象限;当人>0,b<0,尸"+6的图象在一、三、四象限;当k<0,b>0,)=履+〃的图象在一、二、四

象限;当%<0,b<0,广爪+8的图象在二、三、四象限.

9.下列说法正确是()

A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命,采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据,s甲2=0.3,s/=o.02,则甲组数据更稳定

【答案】C

【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断,即可得出结论.

【详解】解:A.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数不一定是奇数,故原说法错误,不合题意;

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张,抽到大王”是随机事件,故原说法错误,不合题意;

C.了解一批冰箱的使用寿命,适合采用抽样调查的方式,说法正确,符合题意;

D.若平均数相同的甲、乙两组数据,.%=0.3,.《=().02,则乙组数据更稳定,故原说法错误,不合题意;

故选:C.

【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念,方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越

大,则各数据与平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.

10.如图,A3C是的内接三角形,AB=2g,ZACB=60°,连接Q4,OB,则川?的长是()

71「2万4乃

A.—B.—C.71D.

33T

【答案】D

【分析】过点。作OD,AB于。,根据垂径定理求出AD,根据圆周角定理求出NAQB,根据正弦的定义求出OA,

根据弧长公式计算求解.

【详解】解:过点。作于O,

则A£>=£)B=,A5=G

2

由圆周角定理得:ZAOB=2ZACB=120°,

"A。。=60。,

八,AD6c

OA=----------=-尸=2

sinZAOD6,

T

I_120乃x2_4TT

..i.=--------=—,

AB1803

故选:D.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,合计18分)

11.分解因式:ax"+2ax+a=.

【答案】a(x+1)2

【详解】ax2+2ax+a

=a(X2+2X+1)

=a(x+1)".

x-5<1

12.不等式组'u八的解集是

3x-5>0

【答案】—„x<6

【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定

不等式组的解集.

【详解】解:解不等式得:x<6,

解不等式3x—5..0,得:%...-,

3

则不等式组的解集为g,,尤<6,

故答案为:|„x<6.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大

小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

日化简:[占一占卜>4)=--------

【答案】1

【分析】先将小括号内的式子进行通分计算,然后再算括号外面的.

8

【详解】解:)«+4)

X2-16

x+4-8.

-----------(x4-4)

(x+4)(x-4)

x—4

————(x+4)

(x+4)(x-4)

=1,

故答案为:1.

【点睛】本题考查了分式的混合运算,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键,注意运算顺序.

14.如图,平面直角坐标系中,。是坐标原点,点A是反比例函数y=K(AxO)图象上的一点,过点4分别作AM

轴于点M,ANry轴于点N,若四边形AMON的面积为12,则k的值是

【分析】根据反比例函数的比例系数攵的几何意义得到网=12,然后根据反比例函数的性质确定上的值.

【详解】解:四边形AMQV的面积为12,

:.\k\^l2,

反比例函数图象在二四象限,

:.k<0,

:.k=-n,

故答案为:-12.

k

【点睛】本题考查了反比例函数函数Z的几何意义:在反比例函数y=一图象中任取一点,过这一个点向X轴和y

x

轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值1幻.

15.某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种生活

用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为元时,才能使每天所获销售利

润最大.

【答案】11

【分析】根据题意列出二次函数关系式,根据二次函数的性质即可得到结论.

【详解】解:设销售单价定为X元(X.9),每天所获利润为y元,

则y=[20-4(x-9)]-(x-8)

=-4X2+88X-448

=-4(X-11)2+36,

所以将销售定价定为11元时,才能使每天所获销售利润最大,

故答案为11.

【点睛】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的函数关系式,利用二次函数的性质解

答.

16.如图,ABC中,AC=3,BC=4,AJ3=5.四边形A班户是正方形,点。是直线BC上一点,且CO=1/

2

是线段上一点,且尸。=—.过点P作直线/于8c平行,分别交AB,AO于点G,H,则G”的长是

3

【分析】结合勾股定理逆定理判断AABC是直角三角形,通过证明△G3MSMC4,,然后利

用相似三角形的性质求解,然后分当点。位于。点左侧时,当点。位于C点右侧时,进行分类讨论.

【详解】解:AABC中,AC=3,BC=4,AB=5,

AC2+BC2=25.AB2=25.

AC2+BC2AB2,

...A48c为直角三角形,

①当点。位于C点左侧时,如图:

设直线/交班于点M,

I//BC,

BMD.P

•,■­=777>^MGB=ZABC,

BEDtE

2

又四边形/WEF是正方形,且

:.BE=AB=5,ZEBA=90°,

解得:BM

3

•.ZMGB=ZABC,ZEBA=ZACB=90°,

,GBBC

GB4

103»

T

40

解得:GB=—,

9

AG=AB-GB=~,

9

1//BC,

:.\AGH^\ABD,,

GHAG

BD、=BC—CD1=3,

5

GH9,

~Y~~5

解得:GH=g;

②当点。位于。点右侧时,如图:

5

GH9»

亨一二

解得:GW=1,

综上,G”的长为!或3,

39

故答案为:彳或

【点睛】本题考查勾股定理逆定理,相似三角形的判定和性质,理解题意,证明出AGBA/SABCA,特别注意分

类思想的运用是解题关键.

三、解答题(第17小题6分,第18、19题各8分,共22分)

17.计算:(7-2021)°—3tan30°+卜—内卜(3).

【答案】4

【分析】首先计算零指数基、负整数指数幕、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后从左向右依次计

算,求出算式的值是多少即可.

【详解】解:-2021)°-3tan300+11-^|+(1)-2

=l-3x—+V3-1+4

3

=1-G+百T+4

=4.

【点睛】本题主要考查了实数的运算,零指数累,负整数指数暴,特殊角三角函数值,绝对值的化简,掌握特殊角

三角函数值,零指数基,负整数指数塞的运算法则是解题关键.

33

18.如图,在菱形ABC。中,点MN分别是边BC,DC上的点,BM=-BC,DN=-DC.连接40,AN,

44

延长AN交线段BC延长线于点E.

(1)求证:^ABM^/\AND;

(2)若AT)=4,则ME的长是.

7

【答案】(1)见解析;(2)y.

33

【分析】(1)根据菱形的性质可得4?=AO=8C=a),ZB=ZD,根据8M=—8C,DN=-DC,可得

44

BM=DN,利用S45即可证明;

(2)根据菱形的性质可证明AAAT^AENC,根据相似的性质可求得CE的长度,进而可求ME.

【详解】解:(1)证明:四边形ABCD为菱形,

:.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD,

33

BM=-BC,DN=-DC,

44

BM=DN,

在MBM和AADN中,

AB=AD

NB=ND,

BM=DN

\ABM=/^ADN(SAS),

(2)四边形ABC。为菱形,

:.AD//CE,

:"DAN=/CEN,

ZAND=ZCNE,

...MA©^AENC,

AD_DN

~CE"CW'

DN二=-DC,

4

ADDN

~CE~~CN~

4_3

=­,

~CE1

4

CE=:一,

3

BM:=-BC,

4

:.MC=-BC=1,

4

7

:.ME=MC+CE=-.

3

【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定,相似三角形的判定和性质,通过菱形的性质得到

ZWDsAENC是关键.

19.某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型,泡沫型三种型号(分别用A.B.C依次表示这三种型号).小

辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.

(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.

(2)请你用列表法或画树状图法,求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.

【答案】(1)工;(2)工

33

【分析】(1)直接根据概率公式求解即可;

(2)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.

【详解】解:(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是:,

故答案为:—;

(2)列表如下:

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知,共有9种等可能结果,其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果,

31

所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为J.

点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步

完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

四、解答题(每小题8分,共16分)

20.学史明理,学史增信,学史崇德,学史力行,在建党100周年之际,某校对全校学生进行了一次党史知识测试,

成绩评定共分为A,B,C,。四个等级,随机抽取了部分学生的成绩进行调查,将获得的数据整理绘制成如下两幅

不完整的统计图.

学生成绩等级条形统计图学生成绩等级扇型统计图

根据统计图提供的信息,解答下列问题:

(1)在这次调查中一共抽取了名学生;

(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图;

(3)扇形统计图中,/)等级对应的圆心角度数是度;

(4)根据抽样调查的结果,请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.

【答案】⑴80;(2)见解析;⑶36;(4)600名

【分析】(1)根据A等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数;

(2)根据(1)中的结果和扇形统计图中的数据,可以计算出8等级的人数,然后即可将条形统计图补充完整:

(3)根据。等级的人数以及抽取的学生数计算出。等级所对应的扇形圆心角的度数;

(4)求出C等级所占整体的百分比即可求出相应的人数.

【详解】解:⑴32+40%=8()(名),

故答案为:80;

(2)3等级的学生为:80x20%=16(名),

补全条形图如下,

学生成绩等级条形统计图

O

(3)D等级所对应的扇形圆心角的度数为:360。、京=36。;

80

24

(4)2000X—=600(名),

80

答:估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级.

【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图,用样本估计总体,理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键.

21.某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少

行或多少列?

【答案】增加了3行3歹U.

【分析】设增加了x行,则增加的列数为x,用增加后的总人数一原队伍的总人数=51列出方程求解即可.

【详解】解:设增加了x行,则增加的列数为x,

根据题意,得:(6+x)(8+x)-6*8=51,

整理,得:/+14了-51=0,

解得玉=3,x2=-17(舍),

答:增加了3行3列.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系.

五、解答题(本题10分)

22.如图,AB是「。的直径,AD与「。交于点A,点E是半径Q4上一点(点E不与点O.A重合).连接£)E

交。于点C连接C4,CB.若CA=CD,ZABC^ZD.

⑴求证:AD是:。的切线.

(2)若AB=13,CA=CD=5,则的长是

【答案】(1)见解析;(2)詈120

【分析】(1)根据圆周角定理得到NACB=90。,在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得

ZCAD+ZBAC=90°,进而得出结论;

(2)根据等腰三角形的判定可得CE=C4=CO=5,再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可.

【详解】解:(1)QA3是。的直径,

ZACB=90°,

:.ZBAC+ZABC=90°.

又CA=CD,

..ZD^ZCAD,

又-ZABC=ND,

..ZCAD+ZBAC^90°,

即。4LAD,

.•.4)是(。的切线;

(2)由(1)可得N4BC+NJR4C=9()°=N£>+NOE4,

ZABC=ND,

:.NBAC=NDEA,

:.CE=CA=CD=5,

DE=10,

在RtAABC中,由勾股定理得,

BC=y/AB2-AC2=V132-52=12-

ZACB=/DAE=90°,ZABC=ZD,

:.\ABCs庄DA,

,ABBC

~ED~~AD

1312

即Hn一=——,

10AD

120

解得AO=——

13

【点睛】本题考查切线的判定,圆周角定理以及相似三角形,掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判

定和性质是解决问题的前提.

六、解答题(本题10分)

23.如图,平面直角坐标系中,。是坐标原点,直线丁=入+15(人工0)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与),轴交

3

于点B.线段平行于无轴,交直线y=于点D连接OC,AD

4

(2)求证:四边形OADC是平行四边形;

(3)动点P从点。出发,沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动,直到点D为止;动点Q同时从点

。出发,沿对角线。£)以每秒1个单位长度的速度向点O运动,直到点O

为止.设两个点的运动时间均为r秒.

①当『=1时,-CPQ的面积是.

②当点P,。运动至四边形CB4Q为矩形时,请直接写出此时/的值.

【答案】(1)-3,5,0;(2)见解析;⑶①12;②5-何或5+而.

【分析】(1)代入C点坐标即可得出左值确定直线的解析式,进而求出A点坐标即可;

(2)求出AO点坐标,根据CD=Q4,CD//OA,即可证四边形O4DC是平行四边形;

(3)①作CHL0D于“,设出”点的坐标,根据勾股定理计算出C4的长度,根据运动时间求出PQ的长度即

可确定ACPQ的面积;

②根据对角线相等确定PQ的长度,再根据P、Q的位置分情况计算出f值即可.

【详解】解:(1)直线y=^+15(Z#0)经过点C(3,6),

.♦.3%+15=6,

解得Z=—3,

即直线的解析式为y=-3x+15,

当y=0时,x=5,

A(5.0),

(2)线段C。平行于x轴,

点的纵坐标与C点一样,

又QO点在直线丫=彳》上,

当y=6时,%=8,

即0(8,6),

.•.05=8—3=5,

OA=5,

0A—CD,

又OA//CD,

四边形Q4DC是平行四边形;

(3)①作于H,

:.CH2=(m-3)2+(|/n-6)2,DH2=(m-8)2+(|m-6)2,

由勾股定理,得CH?+DH?=CD?,

即(/〃-3)2+(-m-6)2+(m-8)2+(-m-6)2=52,

44

24

整理得加=彳或8(舍去),

:.CH=3,

OD7s=1(),

.•.当f=l时,PQ=OD-t-t=lO-\-l=S,

••.SAb2=;PQC”=gx8x3=12,

②。。。=10,

当喷i)5时,PQ=\0-2t,

当5领)10时,PQ=2t-\Q,

当点P,。运动至四边形CPAQ为矩形时,PQ=AC,

AC=7(5-3)2+62=2V10-

当喷1)5时,10—2/=2而,

解得£=5-河,

当5和10时,2t-10=2y/l0,

解得f=5+而,

综上,当点P,。运动至四边形CPAQ为矩形时,的值为5-丽或5+屈.

【点睛】本题主要考查一次函数的性质,熟练掌握待定系数法求解析式,平行四边形的性质和矩形的性质是解题的

关键.

七、解答题(本题12分)

24.在一ABC中,AB^AC,"DE中,CE=CD(CENCA),BC=CD,ZD=a,ZACB+ZECD=1SO0.

点B,C,E不共线,点尸为直线OE上一点,且PB=PD

(1)如图1,点。在线段3C延长线上,则NECD=ZABP=(用含a代数式表示);

(3)若NA6C=60°,fiC=V3+l,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转,当BPJ.0E时,直线PC

交于点G,点M是PO中点,请直接写出GM的长.

E

A

【答案】⑴180°-2a,a;(2)见解析:(3)GM的长为返电或上.

22

【分析】(1)利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.

(2)如图2中,连接3。.证明NP8C=NCDE=a,可得结论.

(3)分两种情形:如图3-1中,设交AC于J.图3—2中,设PC交于K,当BPJ_PC时,利用三角

形的中位线定理,可得GM=』PB,求出心,可得结论.

2

详解】(1)解:如图1中,

图1

•;CE=CD,

ZD=NE=a,

:.ZECD=l80°-2a,

:・/ECB=4E+/D=2a,

AB=AC,

ZABC=ZACB^2a,

PB=PD,

:.ZPBD=ZD=a,

ZABP=ZABC-ZPBD=a,

(2)证明:如图2中,连接BO.

E

图2

CB=CD,PB=PD,

:,NCBD=/CDB,ZPBD=4DB,

:.ZPBC=ZPDC=a,

ZABC=2a,

ZABP=NPBC=a,

.•.PB平分NABC.

(3)解:如图3-1中,设BP交AC于/.

图3-1

BP工PD,BP=PD,

△心。是等腰直角三角形,

•;CB=CD,PB=PD,

」.PG垂直平分线段8G,

BG=DG,

PM=MD,

:.GM=-PB,

2

ZABC=ZACB^60°,

:.ZECD=180°-60°=120°,MCB是等边三角形,

CE=CD,

NCDE=30。,

:・/PBC=NPDC=30°,

.-.ZBJC=90°,

1+1

.r/__^Rl_liri_3+V3

..C*/=-£>C=------,DJ-73CJ=-------,

222

•/ZCPD=ZCPJ=45°,

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