2022-2023学年上海初二年级下册同步讲义第17讲 图形运动中函数关系的确定解析版

第17讲图形运动中函数关系的确定

解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对儿

何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考查学生的多

种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静

态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题.

模块一：动点求函数解析式

知识精讲

动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知

量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主

要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的

取值范围.

例题解析

例1.已知：在心中，ZJ=90°,A庐A俏1,。是46边上不与/点、6点重合的任意一

个动点，PQLBC于点Q,QR1AC于点R.

(1)求证：P8BQ；

(2)设於x,gy,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)当x为何值时，PR//BC.

【难度】★★

【解析】(1)证明：••・ZA=90。，A8=AC=1,，N8=NC=45。.

乂PQLBQ,NBPQ=45°,

「.△BP。为等腰三角形，

：.PQ=BQ,

(2)解：在等腰直角ABPQ中，­.BP=x,:.BQ=^x

在中，BC=\IABr+BC2=y[l+\=42

在等腰直角△CQR中，CR=y,:.CQ=。，•:CQ=BC-BQ

即=：.y=-^x+\,(0<x<1)

(3)解：PRI/BC,PQ.LBC,:.PRLPQ,

又•・・△8PQ为等腰三角形，「.PQ=^x,

•;PR3BC,PQLBC,:.PRLPQ

PR/IBC,AAPR=ZB=45°,\-ZA=90,:.AP=AR

u：AP=l-x,：.PR=y[2(1-x).

'：PR上PQ,APRQ=ZRQC=45°,

・♦.PR=PQ,即.•.日不=后(1一工)，

2

:.x--.

3

【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，第(3)问注意根

据平行得到角的关系，再进行计算.

例2.如图所示，已知：在服△四，中，/e90°,一是边四上的一个动点，PQLPC.交

线段"的延长线与点Q.

(1)当小勺%时，求证：BgP；

(2)当NJ=30°,4作4时，设gx,BQ=y,求y关于*的函数解析式，并写出定义域.

【难度】★★

【解析】(1)证明:­.•BP=BC,ZBPC=ZBCP.

PQ±PC

NBPC+ZBPQ=90°,ZBCP+ZBQP=90°

ZBPQ=Z.BQP

BQ=BP

(2)过P作垂足为〃

・・・ZACB=90°，/A=30。，48=4

Z.ABC=60°,BC=2

BP=x,BH=-x,PH=­x

22

:.CH=2--x

2

PQ2=PH2+QH-,PQ2=CQ2-CP2=CQ2-[PH2+CH2)

PH-+QH2=CQ2-[PH2+CH2)

:.2PH2+QH2=CQ2-CH2

4y-xy=2x2-2x

2x2-2x,、

【总结】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质的综合运用，解题时注意从多个角度

进行分析.

例3.如图所示，已知：在服△{a'中，N伊90°,4^6,点。是斜边49中点，作比上AB,

交直线4c于点E；

(1)若/4=30°,求线段龙的长；

(2)当点后在线段上时，设.BOx,C^y,求y关于x的函数解析式，并写出定

义域；

(3)若若1,求比1的长.

A

C

【难度】★★

【解析】(1)联结BE,

vZC=90°,ZA=30°,:.ZABC=60°

乂「DE垂直平分他，:.ZABE=ZBAE=30a,

NCBE=ZABC-ZABE=30°

XvZC=90°,:.CE=-BE=-AE

22

■.■AC=6,:.BE=AE=4,CE=-BE=2,

2

.,•线段CE的长为2：

(2)♦.•£>£：垂直平分回，AE=BE=6-y

在Rt.BCE中,BC2+CE?=BE?,即/+y?=(6-，

1、

y=3x'(0<x<6)；

(3)当点E在线段AC上时，由(2)得1=3--!--，解得：x=2«,

12

当点E在AC延长线上时，AE=BE=7,

在.RABCE中,BC2+CE2=BE2,

即x2+12=72>解得：x=46),

综上所述，若CE=1,BC的长为26或4G.

【总结】考查学生对勾股定理、线段垂宜平分线的性质及直角三角形性质的综合运用，综合

性较强，第(3)小问注意要分类讨论.

例4.如图，在梯形/成力中，AD//BC,ZABC=90°,AB=BC=8,点£在边上，DEL

CE,小的延长线与位的延长线相交于点F.

(1)求证：DF=CE；

(2)当点6为18中点时，求切的长；

(3)设:CE=x,49=y,试用x的代数式表示y.

【难度】★★★

【答案】（1）详见解析；（2）8=10；（3）y=--x2+>/x2-64+8.

-8

【解析】（1）证明：过。作。垂足为，

■JAD//BC,NABC=90°,AB=BC,:.DH=AB=BC.

DELCE,NCEB+NBEF=90°,

ZF+NBEF=90°,ZCEB=ZF,

.-.△CEB也QFH(A.A.S),;.CE=DF；

(2)为AB中点，:.AE=BE,

：.^ADE^ABFE(AAS),DE=DF=；DF,

•.♦8C=8,；.BE=4,8c=8,:.CE=445=DF,

:.DE=2-B.ACD=sjDE2+CE2=10：

(3)­.CE=DF=x,BC=8,BE=x/x2-64,AE=S-y/x2-64.

■.■AD=y,DE2=/+k-x/x2-64)'.

DHLBC,CD2=DH2+CH2=82+(8-y)2.

DE2+CE2=CD2,/+(8-VX2-64)-+x2=82+(8-y)2,

y=--x2+-64+8.

8

【总结】考查梯形为背景下的三角形全等的判定及性质应用，同时运用勾股定理解决函数问

题.

例5.如图，在正方形/用力中，48=4,点£■是边切上的任意一点(不与C、〃重合),

将原沿月£翻折至△加王，延长哥'交边6c于点G,联结4G.

(1)求证：△/比丝△/AG；

(2)若设应’=x,BG=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

(3)联结阴若AG"CF,求应'的长.

【难度】★★★

【答案】（1）详见解析；（2）y=*丹（0＜方＜4）；

4

（3）DE=~.

3

【解析】（1）证明：由翻折易证斯

/.AD=AF9ZD=AAFE=900.

ZAFG=90°,/.ZAFG=ZB=90°.

•・,正方形力以为，JAB=AD=AF.

;AG=AG,Rt^ABGRt^AFG（H.L）；

（2）・；RsABGmRSAFG,BG=FG=y,

,/DE-EF-x»:.GE=x+y.

,/AB=4,EC=4一x,CG=4-y

.-.（x+y）2=（4-x）2+（4-y）2,

16-4x

••・y=(0<x<4)；

4+x

（3）vCF/MG,:&GB=/FCG,ZAGF=ZCFG

・•ZAGB=ZAGF,/FCG=NCFG

GF=GC=BG=yt2y=4,「・）=2,

16-4x「454

4+x33

【总结】考查图形运动及动点问题结合全等三角形的综合应用能力，解题时注意对基本图形

的寻找.

例6.如图，正方形a的边长为6,点昆厂分别在边切上，AFEB=AEBC,

EF、6c的延长线相交于点G,设4、=x,BG=y.

(1)求y与"之间函数解析式，并写定义域；

(2)当点尸为切中点时，求四的长.

【难度】★★★

【答案】(1)y=j+—(0<x<6)；(2)AE的长为2或6.

【解析】解：(1)过点£作m，3C于点〃，

•.•正方形/阅9,EHX.BC,

:.BH=AE=x,EH=AB=6.

■：2FEB=NEBC,:.EG=BG=y,：.GH=y-x.

VEG2=EH2+GH2,：.y2=62+(y-x)2,

y=-^+—(0<x<6)；

(2)•.•点F为CD中点，；.FD=FC.

DE/ICG,:.AEDFgAGCF,

ED=GC,即6-x=y-6,:.y=\2-x.

.•.12-x=-+—,即J?_8X+12=0,

2x

角吊得：%]=2>x2=6»

即AE的长为2或6.

【总结】本题主要考查正方形形的性质与勾股定理的综合运用，注意进行分析.

例7.如图所示，已知：在中，ZJCS=90°,ZJ=60°,4俏3,点〃是边朋上的动点

(点，与点4、8不重合)，过点。作班'垂直于四交射线与左连接应'，点?是物的中

点，连接CD、CF、DF.

(1)当点£■在边月。上(点£与点C不重合)时，设｛氏x,CE-y.

①直接写出y关于x的函数解析式及定义域；

②求证：是等边三角形；

(2)如果小25，求出4〃的长.

【难度】★★★

【解析】解：（1）①•.•ZA=60。，DEA.AB,:.ZAED=30°

:.AE=2AD=2x,又AC=Af+CE,3=2x+y,

/.y=-2x+3（0<x<I）；

②证明：在&AECB和Rr&EZM中，ZECB=ZEDB=90°,

•.•F是BE的中点，;.CF=DF=LBE=BF.

2

:.ZFCB=ZCBF,ZFDB=ZDBF,ZCFE=2ZCBF,ZDFE=2ZDBF,

ZCFE+NDFE=2（NCBF+aDBF、,即NCFD=2ZCBA.

ZA=60°,ZABC=30°,:.ZCFD=60°,

.•.AC"是等边三角形；

（2）vZACB=90°,ZA=60°,AC=3,;.BC=3&

在Rt^BCE中，CE=^BE2-BC2=1.

当点E在AC上时，4）=；AE=g（3-l）=l；

当点E在AC延长线上时，A£>--A£=-（3+l）=2.

22V7

综上所述：A£）的长为1或2.

【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运

用，综合性较强，注意认真分析题中条件.

例8.如图，已知：在△4%中，/物=90°,ZJ=30°,除3,〃是边47上的一个动点，

DELAB,垂足为七点尸在W上，且梦分作FPLEF,交线段于点R交线段"的

延长线交于点G.

(1)求证：A六FP；

(2)设力分见GP=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)若点一到4。的距离等于线段外的长，求线段/〃的长.

【难度】★★★

【解析】(1)-.-DEVAB,ZA=3O°,

：.ZADE=6OP.

DE=DF,NDFE=ZDEF=-ZADE=30°.

2

■.■FPVEF,:.ZPFE=90°,.•.ZPM=90o+30°=120°,

.-.ZFPA=30°=ZA,:.AF=FP-.

(2)DEYAB,ZA=30°,DF=DE=-AD=-x,

22

13

...FP=AP=x+—x=—x.

22

•・・NBPG=/FPA=300,N尸3G=180。，NC3A=90。，

:.BG=-GP=-y,NG=90°-30°=60。.

22'

•.•/。=90°—30。=60。，.•.AGCF是等边三角形，

I3

:.GC=GF,即5y+3=y+：x,

y=6-3x(0<x<2)；

(3)若点P到AC的距离等于线段眇的长，则P为G尸的中点,

34

:.GP=FP,B|J6-3x=-x,解得：x=—,

23

即线段">的长为3.

3

【总结】考查了等腰三角形的判定与性质、含30。角的直角二角形的性质，等边三角形的判

定与性质等知识的综合运用，综合性较强，有一定难度，要注意分析.

例9.如图，在直角△｛比中，N后90°,/小30°,。是4C边上的一个动点(不与

4、C点重合)，过点〃作边的垂线，交线段8c于点区点厂是线段比的中点，作以叱

DF,交射线A?于点凡交射线"于点G.

(1)求证：GD-DC-,

(2)设HG=y.求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域：

(3)当法工时，求CG的长.

2

【难度】★★★

【解析】(1)­.•EDA.AC,ZC=30°.F是EC的中点，

:.DF=FC,NC=NF£)C=30°,.../6尸。=60°

GDIOF,AZCGD=ZC=30°,

:.GD=DC；

(2)•.•ZA8C=90。，ZC=30°,AC=4,.-.ZA=60°,AB=2.

-.-ZHDA=ZC+^CGD=60°,:.AH=HD=AD,

-.-AD=x,AC=4,HG=y,:.GD=CD=4-x.

①若。〃交线段4S的延长线于点〃，有HG+GD=AD,

y+4-x=x,/.y=2x-4(2<x<4)；

②若O"交线段AB于点”，有GD—GH=AD,

:A-x-y=x,/.y=4-2x(l<x<2)；

(3)①若。"交线段45的延长线于点”,

Z/7=60,NHBG=90,:.BG=—,

22

-.-BC=2,.-.CG=2^-—=-y/3：

22

②若DH交线段AB丁点H,

ZG=30,NHBG=90,BG=—,

22

•••3C=2,r.CG=2石+走=*6

22

综上所述，偿的长为3石或3万.

22

【总结】本题主要考查对三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中

线性质，以及含30。角的直角三角形性质的综合应用，此题中还要注意分类讨论思想的运用.

模块二：图形运动求函数解析式

知识精讲

图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角

形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系.

例题解析

例1.如图，等腰梯形力及力中，AQBC=5,46=20,5=12,DHVAB,£是线段仍上一动

点，在线段切上取点尸使然=劈，设/=x,DF=y.

(1)当跖〃4。时，求四的长；

(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)将△血火沿力下所在直线翻折，点〃落在平面上的〃处，当〃'6=1时，求力£

的长.

DC

AXIHXB

【难度】★★

【答案】(1)AE=5；(2)y=x+号)；

(3)/IE的长为3&或庖.

【解析】解：(1)-.-EFI/AD,。尸//AE,.,.四边形是平行四边形，

•.•E4=EF,.•.四边形的口是菱形，.•.A£=A£)=5：

(2)过点E作于M,

在中，MF=\IEF2-EM2=\lx2-9,DM=HE=x-4

：.DF=DM+MF,.■.y=x+&-9(4Ax4^)；

(3)联结AF,

•;EA=EF,..ZEAF^ZAFE.DC//AB,ZDFA=ZEFA=ZAFE,

.•.O'必落在射线所上，当£>'E=1时，有x-y=g或y-x=g,

解得：4E=3&或AE=>/S.

【总结】本题主要考查直角三角形的性质及翻折的综合应用，一方面要注意定义域的确定,

另一方面要注意分类讨论.

例2.如图，已知：中，Z/JG9=90°,/4=30°,。是边4c上不与点儿。重合的任

意一点，DELAB,垂足为点笈M是加的中点.

(1)求证：C妒EM；

(2)如果叱6，设/介x,C,^y,求了与x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)当点〃在线段4C上移动时，乙13的大小是否发生变化?如果不变，求出//鹿的大

小；如果发生变化，说明如何变化.

B

CDA

【难度】★★★

【答案】(1)详见解析；(2)y=G_j+l2(0<x<3)；

(3)不变，ZMCE=30°.

【解析】(1)证明：在RTAABC中，ZACB=90°,

•.•加是3£)的中点，，。朋=」8。，同理

22

：.CM=ME-.

(2)解：在府AABC中，ZACB=90°,NA=30。，BC=#),

..A8=28C=2G，.•.由勾股定理，得：AC=3.

\*AD=x,:.CD=3-x.

在Rt^BCD中，NBCD=90°，,BD2=BC2+CD2,BD=^3+(3-x)2,

.CM=-BD,CM=y,

2.

2

y/x—6x+\2(x

=--------Z--------(°<*<3);

(3)不变.

M是Rt^BCD斜边班)的中点，/.MB=MC,；.NMBC=NMCB,

:.NCMD=ZMBC+ZMCB=2ZMBC,同理ZfiWD=2ZMBE.

，NCMD+NEMD=22MBe+2NMBE=2(NMBC+NMBE)=2NA8C,

即NCME=2ZABC=120°.

•：MC=ME,ZMCE=AMEC=30°.

【总结】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，对于直角三角形的性

质与推论要灵活运用.

随堂检测

1.已知一直角三角形纸片0AB,如=90°,654=2,仍=4,将该纸片放在，放置在平面直角

坐标系中，折叠该纸片，折痕与边防交于点G与边48交于点〃.

(1)若折叠后使点8与点/重合，求点C的坐标；

(2)若折叠后点6落在边总上的点为6',设如'=x,OOy,试写出y关于x的

函数解析式，并确定y的取值范围.

【难度】★★

【答案】(1)cfo,|(2)y=-gd+2e4y42

【解析】解：(1)联结AC,

.OB=4,延CD折叠后使点5与点A重合，.•.5C=AC

设X=a,则AC=5C=4—a.

在R/AACO中，由勾股定理得：a2+22=(4-«)2,

(2)联结8'C

•延CD折叠后使点B与点9重合，.•.3C=QC=4-y,

在R/A*OC中，由勾股定理得：/+x2=（4-y）2,

“=-92+2（|“42）

【总结】本题考查等腰三角形性质，平行线的性质和判定，勾股定理，折叠的性质的综合运

用，综合性比较强，解题时要注意进行分析.

2.如图所示，已知：在正方形A%力中，点户是射线式1上的任意一点（点8与点C除外）

联接〃R分别过点C、/作直线分的垂线，垂足为乐F.

①点户在欧的延长线上时，那么线段AF,CE、）之间有怎样的数量关系?请证明你的结论；

②当点尸在边a'上时，正方形的边长为2,设诲x,44%求y与x的函数解析式.并写出

函数的定义域；

③在②的条件下，当产1时.求斯的长.

【难度】★★★

【答案】(1)EF=AF+CE；

(2)y=y/4-x2(0<x<^］；

(3)EF^y/3-l.

【解析】解：(1)EF=AF+CE.

AD=DC,ZAFD=ZDEC,ZADF=NDCE,

:.^ADF=^DCE,:.DF=CE,AF=DE,

:.AF+CE=EF；

(2)由(1)证明可知：DF=CE,AF=DE.

•/CE=x,AF=y,DE=y.

在用ACD石中，CD=2,x2+y2=4,

.・.y="—Y(0;

(3)当x=l时，y=6;.DE=6

又•；DF=CE=1,EF=DE-DF,

.-.EF=y/3-}.

【总结】本题主要考查三角形全等的证明及勾股定理的综合运用，考查学生解决实际问题的

能力.

3.（2020•上海八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AQ3C的顶点C的

坐标是（2百,6）,动点P从点A出发，沿线段A。向终点。运动，同时动点。从点3出

发，沿线段8c向终点。运动.点尸、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为

«0<f<6）秒，过点P作交A3于点E.

（1）求直线AB的解析式；

（2）设APEQ的面积为S,求当0<。<3时，S与，时间的函数关系；

（3）在动点P、。运动的过程中，点，是矩形AO8C内（包括边界）一点，且以

B、Q、E、〃为顶点的四边形是菱形，直接写出，值和与其对应的点，的坐标.

【答案】（1）y=-JJx+6；（2）S=-@t2+&t；（3）t的值为空或24-126，点II坐

35

标为（—>9）或（8—12，6）

55

【分析】（1）先求出点A,点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式；

（2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解；

(3)分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解.

【详解】

解：(1)..•矩形AOBC的顶点C的坐标是(26，6),

.,.0A=BC=6,0B=AC=2百，

.•.点A(0,6),点B(2百，0)

设直线AB解析式为：y=kx+b,

J/?=6

-0=2麻+人

解得卜百

b=6

・•・直线AB的解析式为：y=-V3x+6；

(2),・,点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,

AAP=BQ=t,

/.0P=6-t,

VPEIAO,

・••点E纵坐标为6-t,

6-t=-y/3x+6,

x-.-凤--I，

3

八

.•.点E(—t.6-t),

3

Q到直线PE的距离为6-2t,

.,.当0<tV3时，

S=—X(6-2t)

23

，S=-Bt2+73t；

3

(3)如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F,

y

•AB=，。32+042=的2+36=473,

.0B=-AB,

2

.ZBA0=30°,

・AO〃BC,PE1A0,

.ZABC=ZBA0=30°,PE1BC,

•四边形EHBQ是菱形，

.BQ=EQ=t,EH〃BQ,

.ZQEB=ZEBQ=30°,

.ZFEQ=30°,

.FQ--I!Q--t,

22

•BOt+t+工t=6,

2

12

•t=—，

5

12

.BQ=EII=y,

,4G18

.点E(Z22,—),

55

6

"竽,-)

5

如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F,

y

・・•四边形EHQB是菱形，

ABE=BQ=t,EH〃BQ,

VZABC=30°,EF±BC,

.,.BE=2EF,

.••t=2(273-—t)

3

：.t=24-12y/3

.•.点E(873-12.125/3-18),

二点H(873-12.6),

综上所述：t的值为q或24-12G，点H坐标为（迪，9）或（80一12,6）.

555

【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，待定系数

法求解析式，一次函数的性质等知识；利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

4.（2019•上海市市西初级中学八年级期中）如图1,在菱形A3CD中，AB=8,

BD=8\/3）点P是BD」二一点,点。在AB上，且PA=PQ,设尸。=x.

（1）当R4J_A8时，如图2,求的长;

BD

图2

(2)设AQ=y,求>关于x的函数关系式及其定义域；

(3)若ABPQ是以8。为腰的等腰三角形，求的长.

【答案】(1)PD=^~(2)丫=岛-8(3)4百

333

【分析】(1)先根据菱形的边长和对角线的长得到NABO=30°,再根据求出

AP的长，故可得到DP的长；

(2)作HP_LAB,根据AP=PQ,得到AH=QH=gy,BH=8-gy,BP=BD-DP=8ji-x,再根据

(1)可得HP=4百-]X,在RtZXBPH中，BP'HB'+HPZ,化简即可求解，再求出x的取值范

围；

(3)根据题意作图，由等腰三角形的性质可得aAOP是等边三角形，故可得到DP的长.

【详解】(1)；A6=8,BD=86

.•.B0=；^=46，AC_LBD

故A0=yjAB2-BO2=4」|AB

：.ZABO=30°=ZADO

,/PALAB

：.ZAPB=90°-ZABO=60°

故NPAD=NAPB-ZADO=30°

即NPAD=NADO

；.DP=AP

设AP=x,则BP=2x,

在Rt/XABP中，BP2=AB2+AP2

即(2x)2=82+X2

解得

3

故更;

3

(2)作HP_LAB,VAP=PQ

1

.,.AH-QII--V

2

,、

BH=BQ+QII=(8-y)+-1y=8-1-V,

22

BP=BD-DP=8百-x,

由（1）可得HP=gB尸=4，J-：x

在RtZXBPH中，BP2=HB2+HP2

即(8V3-x)'=(8-gy).(4Gyx)J

v873-x>0,8-；y>0,4>/3^x>0

化简得y=J5x-8

VO^^x-8^8

••.x的取值范围为更WxW好且

33

..•丁关于x的函数关系式是y=JJx-8年叵）;

（3）如图，若A5PQ是以BQ为腰的等腰三角形,

贝！|NQPB=NQBP=30°,

ZAQP=ZQPB+ZQBP=60"

VZBAP=90°-ZQBP=60°,

...△APQ是等边三角形，NAPQ=60°

ZQPB+NAPQ=90°,

则AP_LBP,故。点与P点重合，

【点睛】此题主要考查菱形的性质综合，解题的关键是熟知菱形的性质及含30度的直角三

角形的性质.

5.(2019•上海八年级期末)如图，已知直角梯形ABC。，AD//BC,ZDCB=90°,

过点A作AH_LBC,垂足为点〃，8=4,BH=2,点F是CO边上的一动点，过

户作线段A3的垂直平分线，交A3于点E，并交射线6C于点G.

(1)如图1,当点尸与点C重合时，求8c的长；

(2)设AD=x,DF=y,求y与x的函数关系式，并写出定义域；

(3)如图2,联结OE,当△。石尸是等腰三角形时，求AZ)的长.

AD

x+55

【答案】(1)BC=5：(2)y=-y-(0<x<3)；(3)的长为石或3或§.

【分析】(1)根据垂直平分线性质可知6C=AC,设AO=〃C=x,

AC=BC=2+x,在R/AADC中用勾股定理求出x=3,即可解答；

(2)联结AE,BF,在肋AADF中，AF2=x2+y2,在RrABFC中,

BF2=(2+x)2+(4-y)2,消去二次项即可得到丁与x的函数关系式；根据点尸是CO

边上的一动点结合(1)即可得出X的定义域；

(3)分三种情况讨论，分别画出图形，根据相等的边用勾股定理列方程求解即可.

【详解】

解：(1):梯形ABCD中，ADUBC,AH±BC,/DCB=90°,

，AD=CH,

VCE是线段AB的垂直平分线，

BC=AC,

在心△ADC中，AD2+DC2=AC2.

又：DC=4,BH=2,设AD=HC=x，3C=2+x=AC，

(2+x)2=x2+42,

x=3>

BC=2+3=5.

(2)联结AE，BF，

VEf是线段AB的垂宜平分线,

:.AF=BF

'：AO=x,DF=y,

：.FC=4-y

在心△?1村中，AF2=x2+y2

在RtrXBFC中，BF?=(2+x)2+(4-y)2

x2+y2=(2+x)2+(4-y)2

尤+5

y=--(0<x<3)

(3)在Rt/VLB”中，A/7=4，BH=2,

:.AB=2尽AE=BE=y[5

当△£＞历是等腰三角形时

①：FD=FE

•••ZDEF^ZEDF

•：ZADC=ZAEF^9Q°

•••ZAED=ZADE

•••AD=AE=也

②DE=EF

取。。中点M,联结EM

,/E为A3的中点

•••EM为梯形中位线

：.EM±DC

,/DE=EF

；.M为DF中点,

此时E与。重合

AD=3

③DE=DF

联结DE并延长交CB延长线于点P

此时△EM）好

:.AD=PB=x,BC=2+x，DE=PE=y

，PC=2+2x，DP=2y

...在RSPDC中，(2+2x>+42=(2y>,

解得玉=§,无2=一1(不合题意含去)

综上所述，当△。所是等腰三角形时，AO的长为括或3或g

【点睛】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理解三角形、等腰三角形性质和判定、全等

三角形性质和判定，灵活运用勾股定理求线段长是解题的关键.

6.(2019•上海八年级期中)如图，在梯形A8CD中，AD//BC,AB1BC,

AB=2®E是边A3的中点，联结£＞£、CE,且QE_LCE.设AD=x,

BC=y.

(1)如果N8C£)=6O°,求CD的长；

(2)求＞关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)联结BD.如果△BCD是以边CO为腰的等腰三角形，求》的值.

3

【答案】(1)8=4；(2)y=—，自变量x的取值范围是尤＞0,且x#G；(3)

X

瓜

x=——

2

【分析】(1)首先过点D作DHJ_BC,垂足为点H,由AD〃BC,AB1BC,DHXBC,可求得DH

的长，然后设CH=。，则CD=2«,利用勾股定理即可求得答案；

(2)首先取CD的中点F,连接EF,由梯形的中位线，可表示出EF的长，易得四边形

ABHD是平行四边形，然后由勾股定理可求得答案；

(3)分别从CI)=BD或CI)=BC去分析求解即可求得答案.

【详解】（1）过点。作。垂足为点”.

VAD//BC.AB1BC，DHA.BC，

DH=AB=2y/3■

在RtZ\OaC中，

：288=6()。，

ZCDH=30°，

:.CD=2CH.

设CW=a,则CO=2a,

利用勾股定理，得CH'+DH2=CD2.

即得标+(2扬2=4标,

解得。=2(负值舍去).

，C£>=4；

(2)取CD的中点F,连接EF,

,/E为边AB的中点，

/.EF=1(AD+BC)=1(x+y),

:DEA.CE,

：.ZDEC=90°.

又,；DF=CF,

:.CD=2EF=x+y.

由DH1BC,得ZS=N£>〃C=90°.

/.AB//DH.

又：AB=DH，

四边形AB”r）是平行四边形，

BH—AD-x，

即得C”=|y-%|,

在RfADHC中,利用勾股定理，得Ctf+DH?=CD'

即得⑶一江+设一工+方.

3

解得y=±.

X

3

...所求函数解析式为>=二.

自变量X的取值范围是x>0,且XWk.

（3）当△88是以边。。为腰的等腰三角形时，有两种可能情况:

CD=BD或CD=BC.

①如果CO=30，

作。H_L8C于II,

解得芭=等，

经检验：%=迈，是方程的解，

'2-2

但々=-乎不合题意，舍去.

.瓜

••X——；

2

②如果CD=BC，则x+y=y.

即得x=0（不合题意，舍去）.

综上，如果△38是以边CD为腰的等腰三角形，x的值为x=X5.

2

【点睛】本题属于四边形的综合题.考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰

三角形的性质以及勾股定理等知识.注意掌握辅助线的作法，掌握方程思想与分类讨论思

想的应用是解此题的关键.

7.（2019•上海上外附中）如图，矩形ABGD中，边43在丁轴上，点A（0,3）,

BC=2AB,直线y=2x+l过点3且交边A。于G,另有一条直线/与y=2x+l平行且

（1）求8C,AG的长；

（2）当BGE尸为菱形时，求直线/解析式；

（3）当直线/将矩形A8CD分成两个面积比例为1:2的梯形时，直接写出此时直线/的解

析式.

【答案】⑴BC=4,AG-1：⑵直线/解析式：y=2x+l—2百；⑶直线/解析

c2c10

式：y—2.x—或y=2x-----.

33

【分析】

(1)利用y=2x+l,求出从C的坐标，即可得到3C，AG的长；

(2)依据勾股定理求出法的长，依据菱形的性质求广的坐标，并用待定系数法求直线的

解析式；

(3)AE=m,用加表示两个梯形的上下底，直线/将矩形ABGD分成两个面积比例为

1:2的梯形，可两种情况列出关于小的方程解出，用后的坐标求直线的解析式即可.

【详解】

解：(1)•.•直线y=2x+l过点8B在y轴上，

・•・8(0,1),

VA(0,3),

•••AB=2,

：.BC=2AB^,

•..当y=3时，2x+l=3,尤=1,

G(l,3),

AG-1；

(2)..•矩形ABC。，

•••ZBAG=90°,

BG=\IAB2+AG2=6，

:四边形8GE尸为菱形，

，BF=BG=5

F(V5,1),

设直线/解析式：y=2x+b,

将产(右,1)代入y=2x+8中，得到力=1—26，

...直线/解析式：y=2x+\-245；

(3)设(l<m<4),则GE=A£-AG=m-l，E(m,3),

设直线/解析式：y=2x+c,将E(/w,3)代入，求得c=3—2根，

则直线/解析式：y=2x+?>-2m,

•矩形ABC。，

:.ADMBC，AD=BC=4,

乂・；BG//EF,

•••四边形BGEF是平行四边形，

BF=GE=m—l,

AE+BF=2m