11.4.2平面与平面垂直课件高一下学期数学人教B版

第十一章立体几何初步平面与平面垂直人教B版

数学

必修第四册课程标准1.理解平面与平面垂直的定义.2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的垂直性问题.4.理解二面角的定义并能求解二面角大小.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都称为

.从一条直线出发的

所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的

,这两个半平面称为二面角的

图示一个半平面

两个半平面

棱

面

平面角定义在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于

的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的

称为二面角的平面角

图示符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围

规定二面角的大小用它的

的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是

的二面角称为直二面角

棱

角[0,π]平面角直角记法以AB为棱,α和β为半平面的二面角,通常记作二面角α-AB-β.如果C和D分别是半平面α和β内的点,那么这个二面角也可记作C-AB-D特别提醒:一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,

的角的大小.

不大于90°过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.(

)(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.(

)(3)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.(

)(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.(

)××√√2.[北师大版教材习题]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A,B,D三个点作一个平面,请画出二面角A-BD-A1的平面角,并说明画图的根据.解如图,连接AC,交BD于点O,连接A1O,则∠AOA1就是二面角A-BD-A1的平面角.根据:正方形ABCD中,AO⊥BD且O为BD的中点.又正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B=A1D,所以A1O⊥BD.所以∠AOA1就是二面角A-BD-A1的平面角.知识点2两个平面垂直及其判定定理、性质定理定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面

,记作α⊥β.

定理判定定理性质定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的

,则这两个平面互相垂直

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内

垂直于另一个平面

图形语言符号语言如果l⊂α,l⊥β,则α⊥β如果α⊥β,α∩β=m,AO⊂α,AO⊥m,则AO⊥β互相垂直

一条垂线垂直于它们交线的直线名师点睛对判定定理的理解:此定理不仅是判定两个平面互相垂直的理论依据,还是找出或作出与已知平面垂直的平面的理论依据,该定理实现了线面垂直和面面垂直之间的转化,可以简单记为“线面垂直得面面垂直”.应用时可先固定一个平面,再在另一个平面内找到一条直线与第一个平面垂直即可.对性质定理的理解:此定理实现了面面垂直和线面垂直之间的转化,可以简单记为“面面垂直得线面垂直”,该定理也给出了过一点引一个平面垂线的方法.两个平面垂直的性质还有:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.过关自诊1.[北师大版教材习题]下列命题中错误的是(

)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γA解析

理由:对于A,由面面垂直的性质定理可知,平面α内只有那些与交线垂直的直线,才垂直于平面β,故A错误.对于B,平面α内所有与交线平行的直线都平行于平面β,故B正确.对于C,若平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β(接下来要学到).与条件矛盾,故C正确.对于D,如图,在平面γ内任取一点A,过点A作平面α与平面γ交线的垂线AB,过点A作AC垂直于平面β与平面γ的交线,则由面面垂直的性质定理,知AB⊥α,AC⊥β.又因为α∩β=l,所以l⊥AB,l⊥AC.又因为AB,AC⊂γ,且AB∩AC=A,所以由线面垂直的判定定理,得l⊥γ,故D正确.2.[北师大版教材习题]下面有四个说法:①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直;②如果平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β,那么a∥α;③垂直同一平面的两个平面互相平行;④垂直同一平面的两个平面互相垂直.其中正确的说法个数是(

)

A.1 B.2

C.3

D.4B3.[人教A版教材习题]如图,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么?解平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.理由:因为AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,AB⊂平面ABD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.因为CD⊂平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.重难探究·能力素养全提升探究点一求二面角的大小【例1】

如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数.解(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意知∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.所以∠BEO=60°,即∠BED=120°.所以二面角B-PC-D的平面角的度数为120°.规律方法

求二面角的策略(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.(2)作二面角的平面角的方法(方法一

定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.(方法二

垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.(方法三

垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.变式训练1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是(

)A.相等

B.互补C.相等或互补

D.大小关系不确定C解析

可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.30°解析

如图,连接AC交BD于点O,连接C1O.因为C1D=C1B,则△C1BD为等腰三角形.因为O为BD中点,所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角.探究点二面面垂直的判定【例2】

[人教A版教材例题]如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.证明∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是☉O的直径,∴∠BCA=90°,即BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.规律方法

证明面面垂直的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”.(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1.因为BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B,所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.探究点三面面垂直的性质【例3】

[人教A版教材例题]如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB.证明

如图,过点A作AE⊥PB,垂足为E.∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,∴AE⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC,∴AE⊥BC.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.又PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB.变式训练3如图,已知平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.试证:VA⊥BC.证明∵平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,AC⊂平面ABC,CA⊥AB,∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.同理,BA⊥VA.又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,∴VA⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴VA⊥BC.探究点四探索型问题【例4】

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并求解;若不能,请说明理由.解当点E位于线段BB1中点时,截面A1EC⊥侧面AA1C1C.如图,作EM⊥A1C于点M,因为截面A1EC⊥平面AA1C1C,所以EM⊥平面AA1C1C.取AC的中点N,连接BN,MN.因为AB=BC,所以BN⊥AC.而AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,所以平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,所以BN⊥平面AA1C1C.所以BN∥EM,BN⊥MN.又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,所以BE∥MN∥A1A.所以四边形BEMN为平行四边形.因为AN=NC,所以A1M=MC.所以BE=MN=,即E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.规律方法

1.垂直关系的相互转化2.探究型问题的两种解题方法(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.变式训练4如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且

=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?

(1)证明因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又因为

=λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF.所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解由(1)知,BE⊥EF,因为平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,成果验收·课堂达标检测123451.(多选题)已知两条直线l,m及三个平面α,β,γ,下列条件中能推出α⊥β的是(

)A.l⊂α,l⊥β

B.l⊥α,m⊥β,l⊥mC.α⊥γ,β∥γ

D.l⊂α,m⊂β,l⊥mABC123452.[2023江西模拟]已知α,β是两个不重合的平面,直线m∥α,直线n⊥β,则“α⊥β”是“m∥n”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件