期中素养综合测试 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

期中素养综合测试满分120分,限时100分钟一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.(2024河南南阳卧龙期中)已知关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程,则a的值是()A.-1B.3C.-1或3D.都不对2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的中线,AC=8,AB=12,则CD的长等于()A.5B.4C.8D.63.把方程x2+2x=5(x-2)化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为()A.1,-3,2B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,-3,104.如图,电路图上有4个开关A,B,C,D和1个小灯泡,同时闭合开关A,B或同时闭合开关C,D都可以使小灯泡发光.现随机闭合两个开关,小灯泡发光的概率为()A.15.(2024广东高州期中)如图,已知▱ABCD,则下列结论中不正确的是()A.当AC=BD时,▱ABCD是正方形B.当AC⊥BD时,▱ABCD是菱形C.当∠ABC=90°时,▱ABCD是矩形D.当AB=BC时,▱ABCD是菱形6.从-1,1,2中任取两个不同的数,分别记为a和b,则a,b是方程x2-x-2=0的两个根的概率是()A.17.(2024内蒙古呼伦贝尔中考)对于实数a,b定义运算“”为ab=b2-ab,例如32=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)x=k-1的根的情况,下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定8.(2024广西贵港中考)已知关于x的一元二次方程x2-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,x2,且x12+x22=5,则A.-2B.2C.-1D.19.如图,一张长方形纸板长40cm,宽30cm,剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒,若纸盒底面ABCD的面积等于300cm2,设剪掉的小正方形的边长为xcm,则根据题意可得方程()A.(20-x)(30-2x)=300B.(20-x)(30-x)=300C.(20-2x)(30-x)=300D.(20-2x)(30-2x)=30010.如图,在菱形ABCD中摆放了一副三角板.等腰直角三角板DEF的一条直角边DE在菱形边AD上,直角顶点E为AD的中点,含30°角的直角三角板的斜边GB在菱形ABCD的边AB上.连接AC,若DF=6,则AC的长等于()A.8B.65C.12D.66二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.一元二次方程2x2=x的根为.

12.如图,菱形ABCD的面积为24,AC=8,则菱形的边长为.

13.一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个,它们除颜色外完全相同,每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色,再放回袋中,不断重复,统计汇总数据如下表:摸球次数3006009001500摸到白球的频数123247365606摸到白球的频率0.4100.4120.4060.404已知袋子里白球有10个,根据表格信息,可估计m的值为.

14.在不透明的口袋中,有五个形状、大小、质地完全相同的小球,五个小球上分别标有数字-2、-1、0、2、3,现从口袋中任取一个小球,并将该小球上的数字作为点C的横坐标,然后放回摇匀,再从口袋中任取一个小球,并将该小球上的数字作为点C的纵坐标,则点C恰好与点A(-2,2)、B(3,2)构成直角三角形的概率是.

15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10,则EC的长度是.

16.如图,将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',当两个三角形重叠部分的面积为5时,AA'的长为.

17.化学课代表在老师的教导下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作,回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学,第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学,这样全班49人恰好都会做这个实验了,那么1人每节课能手把手教会名同学.

18.如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为.

三、解答题(共66分)19.(10分)用适当的方法解方程:(1)(2x-1)2=9;(2)(x-2)2=x-2;(3)2x2-4x=3;(4)x2-3x-5=0.20.(10分)关于x的一元二次方程mx2-(2m-3)x+(m-1)=0有两个实数根.(1)求m的取值范围;(2)若m为最大负整数,求此时方程的根.21.(10分)某校为纪念历史,缅怀先烈,举行以“致敬抗美援朝,争做时代新人”为主题的故事会,校团委将抗美援朝中四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除编号和头像外其余完全相同),活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好,再从中随机抽取一张,记下卡片上的英雄人物,然后放回.学生根据所抽取的卡片来讲述他们波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹.请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率.A.黄继光B.邱少云C.蒋道平D.杨根思22.(12分)某青年旅社有60间客房供游客居住,在旅游旺季,当客房的定价为每天200元时,所有客房都可以住满.客房定价每提高10元,就会有1个客房空闲,对有游客入住的客房,旅社还需要对每个房间每天支出20元的维护费用,设每间客房的定价提高了x元.(1)填表(不需化简):入住的房间数量房间价格(元)总维护费用(元)提价前6020060×20提价后(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客,则每间客房的定价应为多少元?(纯收入=总收入-维护费用)23.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于E,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D为AB的中点时,求证:四边形BECD是菱形;(3)在满足(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形BECD是正方形?说明你的理由.24.(12分)综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图1中一个30°的角:.

(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图2,当点M在EF上时,∠MBQ=°,∠CBQ=°;

②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图3,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时,直接写出AP的长.答案一、选择题1.A∵关于x的方程(a-3)x|a-1|+x-1=0是一元二次方程,∴a-3≠0且|a-1|=2,解得a=-1,故选A.2.D∵∠ACB=90°,CD是△ABC的中线,∴CD=12AB,∵AB=12,∴CD=6故选D.3.D∵x2+2x=5(x-2),∴x2+2x=5x-10,∴x2+2x-5x+10=0,∴x2-3x+10=0,则a=1,b=-3,c=10,故选D.4.B画树状图如图:共有12种等可能的结果,可以使小灯泡发光的结果有4种,∴小灯泡发光的概率为412故选B.5.A选项A,当AC=BD时,▱ABCD是矩形,原结论错误,符合题意;选项B,当AC⊥BD时,▱ABCD是菱形,正确,不符合题意;选项C,当∠ABC=90°时,▱ABCD是矩形,正确,不符合题意;选项D,当AB=BC时,▱ABCD是菱形,正确,不符合题意.故选A.6.D列表如下:-112-1(1,-1)(2,-1)1(-1,1)

(2,1)2(-1,2)(1,2)

由表知,共有6种等可能的结果,其中a,b是方程x2-x-2=0的两个根的有(-1,2),(2,-1)这两种结果,所以a,b是方程x2-x-2=0的两个根的概率为26=7.A∵(k-3)x=k-1,∴x2-(k-3)x=k-1,∴x2-(k-3)x-k+1=0,∴Δ=[-(k-3)]2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0,∴关于x的方程(k-3)x=k-1有两个不相等的实数根.故选A.8.D∵关于x的一元二次方程x2-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=k,x1x2=k-3,∵x12+x22=5,∴(x1+x2)2-2x1x2=5,∴k2-2(k-3)=5,整理得k2-2k+1=0,解得k19.A∵剪掉的小正方形的边长为xcm,∴折成的纸盒底面ABCD是一边长为(30-2x)cm,其邻边长为40−2x2=(20-x)cm的长方形.依题意得(20-x)(30-2x)=30010.D如图,连接BD,交AC于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC=2OA,OD=12BD,AC⊥BD,AB=AD根据题意可知∠GMF=90°,∠DEF=90°,∠MGB=60°,∠EDF=45°,∴DE=22DF=32,∠GME=90°=∠DEF,∴∴∠DAB=∠MGB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AD.∵E为AD的中点,∴BD=AD=2DE=62,∴OD=32,∴OA=(62)2−(32)2=3二、填空题11.x1=0,x2=1解析∵2x2=x,∴2x2-x=0,∴x(2x-1)=0,∴x=0或2x-1=0,∴x1=0,x2=1212.5解析设AC与BD相交于点O,如图所示:∵四边形ABCD是菱形,面积为24,且AC=8,∴12AC·BD=24,AC⊥BD,OB=12BD,OA=12∴BD=6,∴OB=3.在Rt△AOB中,AB=OB2+O13.25解析随着摸球次数的增加,摸到白球的频率稳定在0.4,故可估计摸到白球的概率为0.4,所以可估计袋子中球的个数m=10÷0.4=25.故答案为25.14.25解析画树状图如下:共有25种等可能的情况,当点C的坐标为(-2,-2)、(-2,-1)、(-2,0)、(-2,3)、(-1,0)、(2,0)、(3,-2)、(3,-1)、(3,0)、(3,3)时,△ABC是直角三角形,共10种情况,∴P(△ABC是直角三角形)=102515.2.5解析∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∵∠EDC∶∠EDA=1∶2,∴∠EDC=30°,∠EDA=60°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=∠DEA=90°,∴∠DAC=30°,∴DC=12AC=5,∴EC=12DC=2.5.故答案为2.16.1或5解析设AA'=x,AC与A'B'相交于点E,∵△ACD是由正方形ABCD沿对角线剪开得到的,∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠A=45°,∴△AA'E是等腰直角三角形,∴A'E=AA'=x,又A'D=AD-AA'=6-x,两个三角形重叠部分的面积为5,∴x(6-x)=5,整理得x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5,即AA'的长为1或5.故答案为1或5.17.6解析设1人每节课能手把手教会x名同学,由题意,得1+x+(x+1)x=49,解得x1=6,x2=-8(不合题意,舍去),∴1人每节课能手把手教会6人.18.1解析已知第一个矩形的面积为1,易求得第二个矩形的面积为12×12=14,第三个矩形的面积为12×12三、解答题19.解析(1)直接开平方得2x-1=±3,∴x1=-1,x2=2.2分(2)原方程可变形为(x-2)2-(x-2)=0,因式分解得(x-2)(x-2-1)=0,∴x-2=0或x-2-1=0,∴x1=2,x2=3.4分(3)二次项系数化为1得x2-2x=32配方得x2-2x+1=32+1,即(x-1)2=5∴x-1=±102∴x1=1+102,x2=1-102.(4)a=1,b=-3,c=-5,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-5)=29,∴x=−(−3)±29∴x1=3+292,x2=3−2920.解析(1)根据题意得m≠0且Δ=[-(2m-3)]2-4m(m-1)≥0,3分解得m≤98且m≠0.5分(2)m的最大负整数值为-1,此时方程变形为x2-5x+2=0,7分因为Δ=25-8=17>0,所以x=5±17所以x1=5+172,x2=5−1721.解析画树状图如下:6分共有16种等可能的结果,其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种,∴小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率为416=1422.解析(1)60-x10;200+x;60−x10×20(2)依题意得(200+x)60−x10−60−整理,得x2-420x+32000=0,解得x1=320,x2=100.10分当x=320时,入住的房间数量是60-x10=28当x=100时,入住的房间数量是60-x10=50所以当x=100时,能吸引更多的游客,则每个房间的定价为200+100=300(元).答:每间客房的定价应为300元.12分23.解析(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE,又∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.4分(2)证明:∵D为AB的中点,∴AD=BD,∵CE=AD,∴BD=CE,又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=BD,∴四边形BECD是菱形.8分(3)当△ABC满足∠A=45°时,四边形BECD是正方形.理由如下:∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=45°,由(2)可知,四边形BECD是菱形,∴∠ABC=∠CBE=45°,