高中数学 3.2 第1课时 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式练习 新人教A版选修1-1

【成才之路】-学年高中数学3.2第1课时几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式练习新人教A版选修1-1一、选择题1．设y＝e3，则y′等于()A．3e2 B．e2C．0 D．以上都不是[答案]C[解析]∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条 B．2条C．3条 D．不确定[答案]B[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．3．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是()A．1 B．0C．2 D．eq\f(1,2)[答案]D[解析]∵y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝2＝eq\f(1,2)，故图象在x＝2处的切线斜率为eq\f(1,2).4．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为()A．4 B．－4C．1 D．－1[答案]B[解析]y′＝(xα)′＝αxα－1，由条件知，y′|x＝1＝α＝－4.5．f(x)＝eq\f(1,x\r(3,x2))，则f′(－1)＝()A．eq\f(5,2) B．－eq\f(5,2)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)[答案]D[解析]∵f(x)＝x－eq\f(5,3)，∴f′(x)＝－eq\f(5,3)x－eq\f(8,3)，∴f′(－1)＝－eq\f(5,3)(－1)－eq\f(8,3)＝－eq\f(5,3).6.函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)[答案]D[解析]∵y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为eq\f(1,2)×|－e2|×1＝eq\f(e2,2)，故选D.二、填空题7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．[答案]3[解析]y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝eq\r(5,t)，则质点在t＝32时的速度等于________．[答案]eq\f(1,80)[解析]∵s′＝(eq\r(5,t))′＝(teq\f(1,5))′＝eq\f(1,5)t－eq\f(4,5)，∴质点在t＝32时的速度为eq\f(1,5)×32－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5)×(25)－eq\f(4,5)＝eq\f(1,80).9．在曲线y＝eq\f(4,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．[答案](2,1)[解析]设P(x0，y0)，∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x2)))′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8xeq\o\al(－3,0)＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答题10．求证双曲线y＝eq\f(1,x)上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[解析]设双曲线上任意一点P(x0，y0)，∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴点P处的切线方程y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．令x＝0，得y＝y0＋eq\f(1,x0)＝eq\f(2,x0)；令y＝0，得x＝x0＋xeq\o\al(2,0)y0＝2x0.∴S△＝eq\f(1,2)|x|·|y|＝2.∴三角形面积为定值2.一、选择题11．(·北京东城区联考)曲线y＝eq\f(1,3)x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1 B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4) D．eq\f(5π,4)[答案]C[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).12．给出下列结论：①若y＝eq\f(1,x3)，则y′＝－eq\f(3,x4)；②y＝eq\r(3,x)，则y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③y＝log2x，则y′＝eq\f(1,x)；④y＝cosx，则y′＝sinx；⑤已知f(x)＝3x，则f′(2)＝[f(2)]′.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]y＝eq\f(1,x3)＝x－3，y′＝－3x－4＝－eq\f(3,x4)，故①正确；y＝eq\r(3,x)＝xeq\f(1,3)，y′＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3\r(3,x2))，故②不正确；y＝log2x，y′＝eq\f(1,xln2)；故③不正确；y＝cosx，y′＝－sinx，故④不正确；∵f(2)为常数，∴[f(2)]′＝0，又f′(2)＝2xln2，∴⑤错误．13．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e)[答案]C[解析]y′＝eq\f(1,x)＝k，∴x＝eq\f(1,k)，切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，1))，又切点在曲线y＝lnx上，∴lneq\f(1,k)＝1，∴eq\f(1,k)＝e，k＝eq\f(1,e).14．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于eq\f(1,2)的点为()A．(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))或(eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))C．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))D．(2kπ＋eq\f(π,3)，eq\f(\r(3),2))或(2kπ－eq\f(π,3)，－eq\f(\r(3),2))[答案]D[解析]设斜率等于eq\f(1,2)的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝eq\f(1,2)，∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f(π,3)，∴y0＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(\r(3),2).二、填空题15．两曲线y＝eq\f(1,x)与y＝eq\r(x)在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案]－eq\f(1,2)[解析]两曲线y＝eq\f(1,x)与y＝eq\r(x)的交点坐标为(1,1)，∴k1＝(eq\f(1,x))′|x＝1＝－eq\f(1,x2)|x＝1＝－1，k2＝(eq\r(x))′|x＝1＝eq\f(1,2\r(x))|x＝1＝eq\f(1,2).∴k1·k2＝－eq\f(1,2).三、解答题16．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[解析](1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，∴切线方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－2＝0,y＝x3))消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴其他公共点为(1,1)及(－2，－8)．17．已知函数y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(eq\f(3π,2)，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[解析]∵y＝asinx＋b的