高中数学 2.5 简单复合函数的求导法则基础巩固 北师大版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学2.5简单复合函数的求导法则基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－eq\f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5) D.eq\f(x,2x＋5)[答案]B[解析]y′x＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·eq\f(1,2x＋5)·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5).2．已知f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋sinx，那么f′(x)()A．是仅最小值的奇函数B．是既有最大值又有最小值的偶函数C．是仅有最大值的偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案]B[解析]f′(x)＝(eq\f(1,2)sin2x＋sinx)′＝(eq\f(1,2)sin2x)′＋(sinx)′＝eq\f(1,2)cos2x·(2x)′＋cosx＝cos2x＋cosx.因为f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋eq\f(1,4))2－eq\f(9,8)，又－1≤cosx≤1，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．因为f′(－x)＝cos(－2x)＋cos(－x)＝cos2x＋cosx＝f(x)，所以f′(x)是偶函数．故选B.3．(·全国大纲理，7)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1[答案]C[解析]本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y＝ex－1＋xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．二、填空题4．(·三亚市一中月考)曲线y＝eq\f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]2eq\r(2)－1[解析]y′|x＝1＝－eq\f(1,2x－12)|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2eq\r(2)，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2eq\r(2)－1.5．曲线y＝sin3x在点P(eq\f(π,3)，0)处的切线方程为____．[答案]3x＋y＝π[解析]y′x＝cos3x·(3x)′＝cos3x·3＝3cos3x.∴曲线y＝sin3x在点P(eq\f(π,3)，0)处的切线斜率为3cos(3×eq\f(π,3))＝－3，∴切线方程为y＝－3·(x－eq\f(π,3))，即3x＋y＝π.三、解答题6．求下列函数的导数：(1)y＝e3x；(2)y＝cos42x－sin42x.[解析](1)引入中间变量u＝φ(x)＝3x，则函数y＝e3x是由函数f(u)＝eu与u＝φ(x)＝3x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝eu，φ′(x)＝3.根据复合函数求导法则可得(e3x)′＝f′(u)φ′(x)＝eu·3＝3e3x.(2)y＝cos42x－sin42x＝(cos22x＋sin22x)(cos22x－sin22x)＝cos4x.引入中间变量u＝φ(x)＝4x，则函数y＝cos4x是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝4x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝4.根据复合函数求导法则可得(cos42x－sin42x)′＝(cos4x)′＝f′(u)φ′(x)＝－sinu·4＝－4sin4x.一、选择题1．若函数f(x)＝3cos(2x＋eq\f(π,3))，则f′(eq\f(π,2))等于()A．－3eq\r(3) B．3eq\r(3)C．－6eq\r(3) D．6eq\r(3)[答案]B[解析]f′(x)＝－6sin(2x＋eq\f(π,3))，∴f′(eq\f(π,2))＝－6sin(π＋eq\f(π,3))＝6sineq\f(π,3)＝3eq\r(3).2．函数y＝cos2x＋sineq\r(x)的导数为()A．－2sin2x＋eq\f(cos\r(x),2\r(x)) B．2sin2x＋eq\f(cos\r(x),2\r(x))C．－2sin2x＋eq\f(sin\r(x),2\r(x)) D．2sin2x－eq\f(cos\r(x),2\r(x))[答案]A[解析]y′x＝(cos2x＋sineq\r(x))′＝(cos2x)′＋(sineq\r(x))′＝－sin2x·(2x)′＋coseq\r(x)·(eq\r(x))′＝－2sin2x＋eq\f(cos\r(x),2\r(x)).3．y＝log3cos2x的导数是()A．－2log3e·tanx B．2log3e·cotxC．－2log3cosxD.eq\f(log3e,cos2x)[答案]A[解析]y′＝eq\f(1,cos2x)log3e·(cos2x)′＝eq\f(1,cos2x)log3e·2cosx·(cosx)′＝eq\f(1,cos2x)log3e·2cosx(－sinx)＝－2log3e·tanx.4．已知f(x)＝x2＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))·x，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．0 D．无法确定[答案]A[解析]∵f(x)＝x2＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))·x，∴f′(x)＝2x＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，即f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(2,3).5．(·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e[答案]C[解析]∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，解得f′(e)＝－eq\f(1,e)，故选C.二、填空题6．f(x)＝eq\r(ax－1)，且f′(1)＝1，则a的值为________．[答案]2[解析]∵f′(x)＝eq\f(1,2\r(ax－1))·(ax－1)′＝eq\f(a,2\r(ax－1))，∴f′(1)＝eq\f(a,2\r(a－1))＝1.解得a＝27．(·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．[答案]－3[解析]曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)过点P(2，－5)，则4a＋eq\f(b,2)＝－5 ①又y′＝2ax－eq\f(b,x2)，所以4a－eq\f(b,4)＝－eq\f(7,2) ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.))所以a＋b＝－3.函数在某点处的导数值即为经过改点的切线的斜率．三、解答题8．求f(x)＝x2·e2x的导数．[分析]先用两个函数相乘的求导法则，再由复合函数求导法则求解．[解析]f′(x)＝(x2)′e2x＋x2·(e2x)′＝2xe2x＋x2·(e2x)·2＝e2x(2x＋2x2)＝2x(1＋x)e2x.9．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．[解析]函数y＝s(t)＝3sin(eq\f(π,12)t＋eq\f(5,6)π)是由函数f(x)＝3sinx和函数x＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(π,6)π复合而成的其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝3cosx，φ′(t)＝eq\f(π,12).再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)cos(eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6))．将t＝18时代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．它表示当t＝18时，潮水的高度上升的速度为eq\f(π,8)m/h.10．求下列函数的导数：(1)y＝log2(2x2＋3x＋1)；(2)y＝lneq\r(x2＋1)；(3)y＝lneq\f(sin2x,x)；(4)y＝eq\f(e2x＋e－2x,ex＋e－x).[解析](1)方法一：设y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eq\f(1,u)log2e·(4x＋3)＝eq\f(log2e,2x2＋3x＋1)·(4x＋3)＝eq\f(4x＋3log2e,2x2＋3x＋1).方法二：y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′＝eq\f(log2e,2x2＋3x＋1)(2x2＋3x＋1)′＝eq\f(4x＋3log2e,2x2＋3x＋1).(2)方法一：设y＝lnu，u＝eq\r(v)，v＝x2＋1，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝eq\f(1,u)·eq\f(1,2)v－eq\f(1,2)·2x＝eq\f(1,\r(x2＋1))·eq\f(1,2)·eq\f(1,\r(x2＋1))·2x＝eq\f(x,x2＋1).方法二：y′＝(lneq\r(x2＋1))′＝eq\f(1,\r(x2＋1))(eq\r(x2＋1))′＝eq\f(1,\r(x2＋1))·eq\f(1,2)·eq\f(1,\r(x2＋1))·2x＝eq\f(x,x2＋1).方法三：y＝lneq\r(x2＋1)＝eq\f(1,2)ln(x2＋1)，所以y′＝eq\f(1,2)[ln(x2＋1)]′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,x2＋1)·(x2＋1)′＝eq\f(x,x2＋1).(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(sin2x,x)))′＝eq\f(x,sin2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2x,x)))′＝eq\f(x,sin2x)·eq\f(2cos2x·x－sin2x,x2)＝eq\f(2,tan2x)－eq\f(1,x).(4)y＝eq\f(e2x＋e－2x,ex＋e－x)＝eq\f(ex＋e－x2－2,ex＋e－x)＝e