高中数学 2.1.3 第2课时 函数的单调性的应用课后强化作业 新人教B版必修1

【成才之路】-学年高中数学2.1.3第2课时函数的单调性的应用课后强化作业新人教B版必修1一、选择题1．已知函数f(x)＝eq\f(3,x)，则在下面区间内f(x)不是递减函数()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(1，＋∞)[答案]C[解析]f(x)＝eq\f(3,x)在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A、B、D正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．2．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是()A．[－4，＋∞) B．[－3,5]C．[－4,5] D．(－4,5][答案]C[解析]∵f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，∴函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝2，又∵x∈[1,5]，故当x＝2时，f(x)取最小值－4，当x＝5时，f(x)取大值5，故选C.3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是()A．y＝3x－2 B．y＝3x2－1C．y＝2x2＋3x D．y＝eq\f(2,x)－1[答案]D[解析]函数y＝3x－2在(0，＋∞)上是增函数；函数y＝3x2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y＝2x2＋3x的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－eq\f(3,4)，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y＝eq\f(2,x)－1在(0，＋∞)上为减函数，故选D.4．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋61≤x≤2,x＋7－1≤x≤1))，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对[答案]A[解析]函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f(x)的最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.5．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)．若x1<x2，x1＋x2＝0，则()A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定[答案]C[解析]f(x1)－f(x2)＝axeq\o\al(2,1)＋2ax1＋4－axeq\o\al(2,2)－2ax2－4＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋2a(x1－x2)∵a>0，x1<x2，x1＋x2＝0，∴f(x1)－f(x2)＝2a(x1－x2∴f(x1)<f(x2)．6．已知函数f(x)在其定义域R上单调递增，则满足f(2x－2)<f(2)的x的取值范围是()A．(－∞，0) B．(2，＋∞)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)[答案]D[解析]∵函数f(x)在其定义域R上单调递增，∴2x－2<2，∴x<2，故选D.二、填空题7．函数y＝－eq\f(a,x)在(0，＋∞)上是减函数，则y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上的单调性为________．[答案]单调递减[解析]∵函数y＝－eq\f(a,x)在(0，＋∞)上是减函数，∴a<0.又函数y＝－2x2＋ax的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝eq\f(a,4)<0，∴函数y＝－2x2＋ax在(0，＋∞)上单调递减．8．函数y＝|x－3|＋2的递增区间为________，递减区间为________．[答案][3，＋∞)(－∞，3][解析]y＝|x－3|＋2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x≥3,5－xx<3))，其图象如图所示，由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]．三、解答题9．用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq\f(x＋a,x＋b)(a>b>0)在(－b，＋∞)上是减函数．[解析]设x1、x2∈(－b，＋∞)，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0.Δy＝f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2＋a,x2＋b)－eq\f(x1＋a,x1＋b)＝eq\f(x2－x1b－a,x2＋bx1＋b)，由x1、x2∈(－b，＋∞)得x1>－b，x2>－b，∴x1＋b>0，x2＋b>0，又a>b>0，∴b－a<0，又x2－x1>0，∴Δy<0.∴f(x)＝eq\f(x＋a,x＋b)(a>b>0)在(－b，＋∞)上是减函数.一、选择题1．函数y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则a的取值范围是()A．a>0 B．a≥0C．a<0 D．a≤0[答案]D[解析]如图所示：∴函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，要使y＝|x|在(－∞，a]上是减函数，则有a≤0.2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定[答案]D[解析]根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x1，x2分别在两个单调增区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D.3．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有eq\f(Δy,Δx)>0”的是()A．f(x)＝eq\f(2,x) B．f(x)＝－3x＋1C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x＋eq\f(1,x)[答案]C[解析]eq\f(Δy,Δx)>0⇔eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0⇔f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝eq\f(2,x)及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A，B错误；f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故选C.4．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有()A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)>25[答案]A[解析]∵f(x)＝4x2－mx＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝eq\f(m,8)，由f(x)在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴eq\f(m,8)≤－2，即m≤－16.又f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.二、填空题5．已知函数y＝ax和y＝eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是__________函数．[答案]增[解析]∵y＝ax和y＝eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b>0，结合二次函数图象可得，函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是增函数．6．设函数f(x)满足；对任意的x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．[答案]f(－3)>f(－π)[解析](x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可得函数为增函数．∵－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．三、解答题7．已知f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，若f(t－1)<f(1－3t)，求t的取值范围．[解析]∵函数f(x)是定义在[－2,1]上的增函数，且f(t－1)<f(1－3t)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤t－1≤1,－2≤1－3t≤1,t－1<1－3t))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤t≤2,0≤t≤1,t<\f(1,2)))，即0≤t<eq\f(1,2).故t的取值范围为0≤t<eq\f(1,2).8．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，且当x>2时，f(x)为增函数，试比较f(1)、f(4)、f(－2)的大小．[解析]∵x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又x>2时，f(x)为增函数，∴x<2时，f(x)为减函数，则在x轴上距离对称轴x＝2越远的数，其函数值越大，∴f(－2)>f(4)>f(1)．9．已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．[解析](1)证明：设x1和x2是任意的两个实数，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，又∵x2＝(x2－x1)＋x1，∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，∴f(x2)－f(x1)＝f(