2023-2024学年四川省眉山市东坡区高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知椭圆的方程为，则其焦距为（）A B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为椭圆的方程为，所以、，所以，所以，则焦距为；故选：C2.已知空间向量，若，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，解得.故选：D3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵直线的斜率，∴所求直线斜率，故直线方程为，即．

故选：B．4.在等差数列中，若，则（）A.2 B.4C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗据已知得：，所以，故选B5.某大学足球俱乐部技术组要对中女足其中6名球员进行采访，由于赛程安排等原因，组委会只通知了这6名球员中的3名提前做好采访准备，若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗从这6名球员中随机选2名球员,共有种选法，随机选的2名球员，恰有1名球员提前做好采访准备,共有种选法，则若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为，故选：.6.设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.7.如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为，故选：A.8.如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，连接，则有，由于在以AD为直径的圆周上，，∵ABCD为平行四边形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗取的中点，连接，，∴，，，平面，所以平面，又平面，所以，则，故A正确；因为，故B正确；∵，，又，，所以，故C正确；因为，所以，故D不正确，故选：ABC.10.已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.的面积为1C.到双曲线的一条渐近线的距离为2D.以为直径的圆的方程为〖答案〗AB〖解析〗对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确；对于B，由双曲线，可得，则，设，则，所以，得，因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确；对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；对于D，由于，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误，故选：AB11.已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（）A.实数k的取值范围是B.实数k的取值范围是C.当圆的周长最大时，圆心坐标是D.圆的最大面积是π〖答案〗ACD〖解析〗将圆的方程为化为标准式为，由，解得，故A正确，B错误；当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确；故选：ACD12.正四棱柱，底面边长为，侧棱长为2，则下列结论正确的（）A.点到平面的距离是．B.四棱锥内切球的表面积为．C.平面与平面垂直．D.点为线段上的两点，且，点为面内的点，若，则点的轨迹长为．〖答案〗AC〖解析〗对于A：设点到平面的距离为，，，，，又，所以，解得，故A正确；对于B：，，，，设内切球的半径为，则，解得，故B错误；对于C：设底面中心为，连接交于，则为线段中点，则，，所以为面与面所成角的平面角，在中，，，∴，所以平面与平面垂直，故C正确；对于D，设底面中心为，底面中心为，分别以直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，又，由得，，整理得，所以点轨迹为圆在面内的部分（如下图），因为，，，显然，所以，即，所以的弧长不为，即点的轨迹长不为，故D错误.故选：AC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为_________．〖答案〗1〖解析〗由已知可得，过点，的直线的斜率，解得，故〖答案〗为：.14.某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．〖答案〗〖解析〗由题意知，故双曲线的标准方程为或，分别将代入，得双曲线的标准方程为，故离心率为．15.若各项均为正数的数列满足，，且是与的等差中项（，），则___________.〖答案〗〖解析〗由（，），可得数列是等差数列，其公差，首项，所以，，所以.故〖答案〗为：．16.已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由题意，，已知焦点到渐近线的距离为3，由对称性，不妨设焦点为，渐近线，即，则焦点到渐近线的距离为，又离心率为2，∴，解得，∴，∴双曲线的方程为.记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，且，，，由，即，得，即，由双曲线定义知点双曲线右支上，且在轴上，则，即内心的横坐标为.同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，，由于直线与双曲线的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是，当时，即直线垂直于轴时，取到最小值.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.17.在等差数列中，．（1）求数列的首项和公差d；（2）设数列的前n项和为，求的最小值．解：（1）依题意.（2）由（1）得，由解得，所以的最小值为.18.在平面直角坐标系中，已知点，圆：.（1）过点M作圆C切线，求切线的方程；（2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长.解：（1）很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：，即，圆心到直线的距离，满足题意时有：，解得：，则此时的直线方程为：，即，综上可得，直线方程为：或.（2）圆心到直线的距离：，则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：.19.城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求．某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）．组别一二三四五候车时间[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]人数2642l（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查．①列出所有可能的结果；②求抽到的两人恰好来自不同组的概率.解：（1）样本中候车时间少于10分钟的人数为8人，所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为人（2）①将第三组的人编号为a,b,c,d，第四组的人编号为e,f，则从第三、四组的6人中任选2人有（a,b）（a,c）,（a,d）,（a,e）,（a,f）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（b,f）,（c,d）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）,（e,f）共15种②抽到两人恰好来自不同组的情况有（a,e）,（a,f）,（b,e）,（b,f）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）共8种，抽到的两人恰好来自不同组的概率为20.在如图的多面体中，平面，，，，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．解：（1），，．又，是的中点，且，四边形是平行四边形，．平面，平面，平面．（2）平面，平面，平面，，，又，，，两两垂直．以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，由已知得，0，，，0，，，4，，，3，，，2，，，2，，由已知得，0，是平面的法向量，设平面的法向量，，，，，，，1，，，令，则，，所以，2，．设二面角的平面角为，则．易知二面角为钝二面角，二面角的余弦值为．21.已知椭圆：过点与点．（1）求椭圆的方程；：（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线对称，为坐标原点，求取值范围及面积的最大值．解：（1）由得．∴椭圆的方程为．（2）由题意设直线的方程为，由消去得，，∴，即，①且，，∴线段中点的横坐标，纵坐标．将，代入直线方程可得，，②由①，②可得，，又，∴又，且原点到直线的距离，∴，∴时，最大值为．此时，，∴时，取得最大值．22.已知抛物线的焦点也是离心率为的椭圆的一个焦点F．（1）求抛物线与椭圆的标准方程；（2）设过F的直线交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设，，．①当时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线，使得a，b，c成等差数列，求的范围．解：（1）抛物线的焦点，椭圆的焦点，由于，即，则有，因此，，，故椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程是．（2）①设l：，，，，，，将直线与抛物线联立，则有，，，则，于是，将直线与椭圆联立，则有，得到二次方程，，则有，则，，，假设存在直线l，使得a，b，c成等差数列，即即有，整理得到，方程无解，因此不存在l满足题设．②只需使得方程有解即可．整理得到，故，解得四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知椭圆的方程为，则其焦距为（）A B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为椭圆的方程为，所以、，所以，所以，则焦距为；故选：C2.已知空间向量，若，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，解得.故选：D3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵直线的斜率，∴所求直线斜率，故直线方程为，即．

故选：B．4.在等差数列中，若，则（）A.2 B.4C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗据已知得：，所以，故选B5.某大学足球俱乐部技术组要对中女足其中6名球员进行采访，由于赛程安排等原因，组委会只通知了这6名球员中的3名提前做好采访准备，若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗从这6名球员中随机选2名球员,共有种选法，随机选的2名球员，恰有1名球员提前做好采访准备,共有种选法，则若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为，故选：.6.设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.7.如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为，故选：A.8.如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，连接，则有，由于在以AD为直径的圆周上，，∵ABCD为平行四边形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗取的中点，连接，，∴，，，平面，所以平面，又平面，所以，则，故A正确；因为，故B正确；∵，，又，，所以，故C正确；因为，所以，故D不正确，故选：ABC.10.已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.的面积为1C.到双曲线的一条渐近线的距离为2D.以为直径的圆的方程为〖答案〗AB〖解析〗对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确；对于B，由双曲线，可得，则，设，则，所以，得，因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确；对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；对于D，由于，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误，故选：AB11.已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（）A.实数k的取值范围是B.实数k的取值范围是C.当圆的周长最大时，圆心坐标是D.圆的最大面积是π〖答案〗ACD〖解析〗将圆的方程为化为标准式为，由，解得，故A正确，B错误；当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确；故选：ACD12.正四棱柱，底面边长为，侧棱长为2，则下列结论正确的（）A.点到平面的距离是．B.四棱锥内切球的表面积为．C.平面与平面垂直．D.点为线段上的两点，且，点为面内的点，若，则点的轨迹长为．〖答案〗AC〖解析〗对于A：设点到平面的距离为，，，，，又，所以，解得，故A正确；对于B：，，，，设内切球的半径为，则，解得，故B错误；对于C：设底面中心为，连接交于，则为线段中点，则，，所以为面与面所成角的平面角，在中，，，∴，所以平面与平面垂直，故C正确；对于D，设底面中心为，底面中心为，分别以直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，又，由得，，整理得，所以点轨迹为圆在面内的部分（如下图），因为，，，显然，所以，即，所以的弧长不为，即点的轨迹长不为，故D错误.故选：AC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为_________．〖答案〗1〖解析〗由已知可得，过点，的直线的斜率，解得，故〖答案〗为：.14.某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．〖答案〗〖解析〗由题意知，故双曲线的标准方程为或，分别将代入，得双曲线的标准方程为，故离心率为．15.若各项均为正数的数列满足，，且是与的等差中项（，），则___________.〖答案〗〖解析〗由（，），可得数列是等差数列，其公差，首项，所以，，所以.故〖答案〗为：．16.已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由题意，，已知焦点到渐近线的距离为3，由对称性，不妨设焦点为，渐近线，即，则焦点到渐近线的距离为，又离心率为2，∴，解得，∴，∴双曲线的方程为.记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，且，，，由，即，得，即，由双曲线定义知点双曲线右支上，且在轴上，则，即内心的横坐标为.同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，，由于直线与双曲线的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是，当时，即直线垂直于轴时，取到最小值.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.17.在等差数列中，．（1）求数列的首项和公差d；（2）设数列的前n项和为，求的最小值．解：（1）依题意.（2）由（1）得，由解得，所以的最小值为.18.在平面直角坐标系中，已知点，圆：.（1）过点M作圆C切线，求切线的方程；（2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长.解：（1）很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：，即，圆心到直线的距离，满足题意时有：，解得：，则此时的直线方程为：，即，综上可得，直线方程为：或.（2）圆心到直线的距离：，则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：.19.城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求．某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）．组别一二三四五候车时间[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]人数2642l（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查．①列出所有可能的结果；②求抽到的两人恰好来自不同组的概率.解：（1）样本中候车时间少于10分钟的人数为8人，所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为人（2）①将第三组的人编号为a,b,c,d，第四组的人编号为e,f，则从第三、四组的6人中任选2人有（a,b）（a,c）,（a,d）,（a,e）,（a,f）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（b,f）,（c,d）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（