2023-2024学年江苏省无锡市江阴市三校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省无锡市江阴市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（）A.5 B.25 C.125 D.625〖答案〗C〖解析〗物体运动的方程为，则，代入，得时的瞬时速度为.故选：C2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（）A.4种 B.6种 C.7种 D.9种〖答案〗A〖解析〗买两本，有种方案；买三本，有1种方案；因此共有方案(种)．故选：A.3.若函数，则函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，又，故曲线在点处的切线的方程为，即.故选：A.5.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因为，所以．故选：C．6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.7.已知，则的大关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减,故.则，即；由可知，故.故选：B.8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗根据指数函数性质在上单调递增，故当时，则在上单调递增，，根据零点存在定理，在存在唯一零点，则当时，无零点时，，令，则，时，则；在上单调递减，在上单调递增，于是时，有最小值依题意，，解得，所以最小整数为故选：C二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）9.关于，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗令，则，即，故A正确；令，则，即，所以，故B错误；根据二项式展开式的通项公式：，故C错误；令，则，令，则，两式相加可得，①两式相减可得，②②①可得，所以，故D正确.故选：AD10.下列正确的是（）A.由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B.由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C.由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D.由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数〖答案〗ACD〖解析〗由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确；若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误；数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确；若三位数比320大，则百位是4时，有个，若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，则比320大的三位数有个，故D正确．故选：ACD．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数有极小值B.函数在处切线的斜率为4C.当时，恰有三个实根D.若时，，则的最小值为2〖答案〗AD〖解析〗由题意可得：，令，解得；令，解得或；则在上单调递减，在上单调递增，可知的极大值为，极小值为，且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，可得的图象如下：对于选项A：可知极小值为，故A正确；对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；对于选项D：若时，，则，所以的最小值为2，故D正确；故选：AD.三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）12.计算：___________.（用数字作答）〖答案〗65〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：6513.已知随机变量的分布列如下，则______.〖答案〗9〖解析〗，，所以.故〖答案〗为：.14.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗当时，，则，令，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，根据题意可作出图象如下：若关于的方程恰有4个不同实数根，令，，则有两个不等实数根，故与都有2个交点，或者与有1个交点，与有3个交点；当与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；当与有1个交点，与有3个交点，则，当时，，解得，故，解得或，舍去；故，两个实数根的范围为，所以，解得，所以实数的取值范围为．故〖答案〗为：．四、解答题（本大题共5小题，计77分）15.已知函数，当时，取得极值．（1）求的〖解析〗式；（2）求在区间上的最值．解：（1）依题意可得，又当时，取得极值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，当变化时，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增因此，在区间上，的最小值为，最大值为.16.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．解：（1）的展开式的通项为，（，1，…，n），因为前3项系数成等差数列，所以，化简得，解得或（舍）．展开式共有9项，二项式系数最大的项为.（2）由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8），设第项的系数最大，则，即，解得，则或，所以展开式的第3项与第4项系数最大，即和.17.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；（2）若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）由频率分布直方图可得，，解得．100份问卷的平均分为：（分）．（2）从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人，则“防范意识差”的人数为，“防范意识强”的人数为．则的所有可能的值为0，1，2．则，，，故的分布列为012.18.6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？解：（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，所以共有.（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；再分到4个项目，即可得共有；（3）先考虑全部，则共有种排列方式，其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；甲参加项目同时乙参加项目共有种，根据题意减去不满足题意的情况共有种.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，证明：.解：（1），定义域为，当时，，当时，，当时，在上递增，上递减；当时，，若，即时，，所以在上单调递增；若，即时，令，得，当或时，，当时，，∴在上递增，在上递减，当时，时，，当时，，∴在上递增，上递减，综上所述，当时，在上递增，上递减；当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，上递减；（2），∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，∵，设，则，当时，显然在上有解；当时，，，由韦达定理知，，所以必有一个正根，满足条件，当时，有，解得，综上，实数的取值范围为；（3）由题意可知，，∵有两个极值点，∴是的两个根，则，

∴，∴要证，即证，即证，即证，即证，令，则证明，令，则，∴在上单调递增，则，即，所以原不等式成立.江苏省无锡市江阴市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（）A.5 B.25 C.125 D.625〖答案〗C〖解析〗物体运动的方程为，则，代入，得时的瞬时速度为.故选：C2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（）A.4种 B.6种 C.7种 D.9种〖答案〗A〖解析〗买两本，有种方案；买三本，有1种方案；因此共有方案(种)．故选：A.3.若函数，则函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，又，故曲线在点处的切线的方程为，即.故选：A.5.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因为，所以．故选：C．6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.7.已知，则的大关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减,故.则，即；由可知，故.故选：B.8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗根据指数函数性质在上单调递增，故当时，则在上单调递增，，根据零点存在定理，在存在唯一零点，则当时，无零点时，，令，则，时，则；在上单调递减，在上单调递增，于是时，有最小值依题意，，解得，所以最小整数为故选：C二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）9.关于，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗令，则，即，故A正确；令，则，即，所以，故B错误；根据二项式展开式的通项公式：，故C错误；令，则，令，则，两式相加可得，①两式相减可得，②②①可得，所以，故D正确.故选：AD10.下列正确的是（）A.由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B.由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C.由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D.由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数〖答案〗ACD〖解析〗由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确；若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误；数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确；若三位数比320大，则百位是4时，有个，若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，则比320大的三位数有个，故D正确．故选：ACD．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数有极小值B.函数在处切线的斜率为4C.当时，恰有三个实根D.若时，，则的最小值为2〖答案〗AD〖解析〗由题意可得：，令，解得；令，解得或；则在上单调递减，在上单调递增，可知的极大值为，极小值为，且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，可得的图象如下：对于选项A：可知极小值为，故A正确；对于选项B：因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；对于选项C：对于方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；对于选项D：若时，，则，所以的最小值为2，故D正确；故选：AD.三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）12.计算：___________.（用数字作答）〖答案〗65〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：6513.已知随机变量的分布列如下，则______.〖答案〗9〖解析〗，，所以.故〖答案〗为：.14.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗当时，，则，令，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，根据题意可作出图象如下：若关于的方程恰有4个不同实数根，令，，则有两个不等实数根，故与都有2个交点，或者与有1个交点，与有3个交点；当与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；当与有1个交点，与有3个交点，则，当时，，解得，故，解得或，舍去；故，两个实数根的范围为，所以，解得，所以实数的取值范围为．故〖答案〗为：．四、解答题（本大题共5小题，计77分）15.已知函数，当时，取得极值．（1）求的〖解析〗式；（2）求在区间上的最值．解：（1）依题意可得，又当时，取得极值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，当变化时，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增因此，在区间上，的最小值为，最大值为.16.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．解：（1）的展开式的通项为，（，1，…，n），因为前3项系数成等差数列，所以，化简得，解得或（舍）．展开式共有9项，二项式系数最大的项为.（2）由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8），设第项的系数最大，则，即，解得，则或，所以展开式的第3项与第4项系数最大，即和.17.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民下载注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；（2）若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）由频率分布直方图可得，，解得．100份问卷的平均分为：（分）．（2）从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人，则“防范意识差”的人数为，“防范意识强”的人数为．则的所有可能的值为0，1，2．则，，，故的分布列为012.18.6位同学报名参加2022年杭州亚