2023-2024学年江苏省连云港市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为实数，，若，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗因为，若，所以，解得.故选：A.2.复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（）A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形〖答案〗B〖解析〗由题知：设的三边分别为，，，因为，所以角为最大的角，因为，，所以为锐角，故三角形为锐角三角形.故选：B.4.已知，若，则实数的值为（）A. B. C. D.5〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，又，所以，解得.故选：B.5.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为，所以样本中属于醉酒驾车的人数约为人.故选：C.6.已知为钝角，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又为钝角，所以.故选：D.7.用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故一个桶需要涂漆面积为，故个桶需要涂漆为：.故选：C.8.在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，则，设，，则，则因为，则，的，则，且.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组样本数据如下：，则该组数据的（）A.极差为6 B.平均数为85C.方差为26 D.第80百分位数为87.5〖答案〗AB〖解析〗对于A，极差为，故A正确；对于B，平均数为，故B正确；方差为，故C错误；对于D，，所以第80百分位数为，故D错误.故选：AB.10.已知直线，平面，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确；对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误；对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确；对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确.故选：ACD.11.在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（）A. B.C.的面积为 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为中，，对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则，所以，故A正确；对于B，由，设，所以，因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确；对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故，由于，，所以，则，所以，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗因，且，所以，当且仅当时取等号.故〖答案〗为：.13.在中，，若最短边的长为，则最长边的长为______．〖答案〗〖解析〗由，，得，所以，，所以，所以，所以，故，为最长的边，由，得，则，所以（舍去），由正弦定理得，所以，即最长边的长为.故〖答案〗为：.14.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为______．〖答案〗〖解析〗如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径，由，，又，即，即，又，所以，，所以，又，所以，又，即，解得，所以，即球的体积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．解：（1）因为，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，即，又，解得（负值已舍去），所以.16.已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．（1）用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率；（2）用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率．解：（1）记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，，所以.（2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，解得，即元件正常工作的概率为.17.如图，在正方体中，为棱的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面解：（1）连交于，连，因为为的中点，为的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为平面，所以于，所以平面，所以，同理可证，又于，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．18.（1）已知，且．求的值；（2）已知，且．求的值．解：（1），，，，，，.（2），，即，，，又，，，即.19.如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为．（1）求证：四棱锥为正四棱锥；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值．解：（1）证明：过点作面，垂足为，取中点，连接，如图所示，是平面内两条相交直线，平面，平面，，二面角的平面角为，，在等边三角形边长为4，根据勾股定理可得，在直角三角形，，因此为正方形的中心，即正方形的对角线的交点，又因面，则，因此四棱锥为正四棱锥.（2）设面面，因为平面平面，故面，又面，面面，从面，则，同理为二面角的平面角，因四棱锥为正四棱锥，故，则，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（3）由（1）知为的中点，取的中点，连接都是正三角形，平面，所以，由，则平面，因此过点垂直于的截面与截面平行或重合，显然点在上（不含端点）时，截面面积小于，不可能最大，当点在（不含端点），时，令，此时截面交分别于点，，，，平面平面，平面平面，平面平面，因此，同理，由知，平面，得平面，而平面平面平面，则，同理，于是，四边形为平行四边形，又，则，即有，四边形为矩形，显然，则，，由，得，而，矩形面积，从而截面的面积，当时，，显然，即时，截面面积最大，最大值为.江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为实数，，若，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗因为，若，所以，解得.故选：A.2.复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（）A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形〖答案〗B〖解析〗由题知：设的三边分别为，，，因为，所以角为最大的角，因为，，所以为锐角，故三角形为锐角三角形.故选：B.4.已知，若，则实数的值为（）A. B. C. D.5〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，又，所以，解得.故选：B.5.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为，所以样本中属于醉酒驾车的人数约为人.故选：C.6.已知为钝角，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又为钝角，所以.故选：D.7.用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故一个桶需要涂漆面积为，故个桶需要涂漆为：.故选：C.8.在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，则，设，，则，则因为，则，的，则，且.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组样本数据如下：，则该组数据的（）A.极差为6 B.平均数为85C.方差为26 D.第80百分位数为87.5〖答案〗AB〖解析〗对于A，极差为，故A正确；对于B，平均数为，故B正确；方差为，故C错误；对于D，，所以第80百分位数为，故D错误.故选：AB.10.已知直线，平面，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确；对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误；对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确；对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确.故选：ACD.11.在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（）A. B.C.的面积为 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为中，，对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则，所以，故A正确；对于B，由，设，所以，因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确；对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故，由于，，所以，则，所以，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗因，且，所以，当且仅当时取等号.故〖答案〗为：.13.在中，，若最短边的长为，则最长边的长为______．〖答案〗〖解析〗由，，得，所以，，所以，所以，所以，故，为最长的边，由，得，则，所以（舍去），由正弦定理得，所以，即最长边的长为.故〖答案〗为：.14.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为______．〖答案〗〖解析〗如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径，由，，又，即，即，又，所以，，所以，又，所以，又，即，解得，所以，即球的体积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．解：（1）因为，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，即，又，解得（负值已舍去），所以.16.已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．（1）用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率；（2）用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率．解：（1）记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，，所以.（2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，解得，即元件正常工作的概率为.17.如图，在正方体中，为棱的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面解：（1）连交于，连，因为为的中点，为的中点，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为平面，所以于，所以平面，所以，同理可证，又于，所以平面，因为，所以平面，