2022-2023学年广西壮族自治区玉林市高一下学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据复数的除法运算法则，可得.故选：D.2.在以下调查中，适合用全面调查的是（）A.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B.调查一批玉米种子的发芽率C.调查一批炮弹的杀伤半径 D.调查一个县各村的粮食播种面积〖答案〗D〖解析〗全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，对于A，调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例，调查数目较多，不适合全面调查；对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，不适合全面调查；对于，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，且具有破坏性，可以使用抽样调查；对于D，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查.故选：D.3.若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（）A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以平面四边形为平行四边形，又，在方向上数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形.故选：C.4.如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，所以，又，由正弦定理可得，，，在中，，所以（m）.故选：C.5.用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，可得原图形的图形如图所示，其中，则，绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为以为底面圆半径，为高的圆锥，该圆锥的底面半径为1，母线长为，所以圆锥的表面积.故选：D.6.一个盒子里装有标号为的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得：总的基本事件为，共10个，其中两张标签上的数字为相邻整数的事件为，共4个，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率是.故选：C.7.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗A项中，若，，，则平面有可能平行，也有可能相交，故A项错误；B项中，若，，则或，故B项错误；C项中，若，，则直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C项错误；D项中，若，，则，故D项正确.故选：D.8.如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由，为上一点，且满足，则，又由三点共线，则，即，因为，则，则的值为.故选：C.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.沙糖桔网店2022年全年的月收支数据如图所示，则针对2022年这一年的收支情况，下列说法中正确的是（）A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.11月份的利润最大〖答案〗AC〖解析〗观察图象知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，A正确；由图可知，月份的利润表，月份123456789101112利润/万元203020103030604030305030因此月份的总利润为，B错误；由利润表可知，这12个月利润的中位数与众数均为30，C正确；由利润表可知，7月份的利润最大，D错误.故选：AC.10.已知是单位向量，且，则（）A.与垂直 B.C.与的夹角为 D.在上投影向量的坐标为〖答案〗AD〖解析〗，因为是单位向量，所以，所以，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，，设与的夹角为，所以，所以与的夹角为，故错误；在上的投影向量坐标为，所以D对.故选：AD.11.在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则有2个解B.若，则C.若，则为直角三角形D.若为锐角三角形，且，则的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗：由正弦定理得，则，此时无解，错误；B：，则，又，所以，故正确；C：因为，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，即为直角三角形，故正确；：因为，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，则，故的取值范围为，正确.故选：BCD.12.如图，正方体的棱长为分别为的中点，则（）A.点与点到平面的距离相等B.直线与平面所成角的正弦值为C.二面角的余弦值为D.平面截正方体所得的截面面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于，如图1所示，取的中点，连接，则有平面，平面，平面，，平面.平面平面，平面，平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面，点与点到平面的距离相等，故正确；对于，如图2所示，连接，又平面，所以为直线与平面所成角，由已知得：，所以中，，即B错误；对C，如图3所示，因为平面，作交延长线于，连接，则，故设二面角的平面角为，由得，所以，即C正确；对于D，如图4所示，连接，延长交于点，因为分别为的中点，所以，所以四点共面，所以截面即为等腰梯形，，梯形高为，所以梯形的面积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设与的两边分别平行，若，则__________.〖答案〗或〖解析〗根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补，所求角为或.故〖答案〗为：或.14.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约_____________石（结果四舍五入保留整数）.〖答案〗〖解析〗依题意可得米内夹谷比例为，所以这批米内有谷子石.故〖答案〗为：.15.若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，得，则，，的面积为.故〖答案〗为：.16.如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________.〖答案〗〖解析〗由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为，由内切球的球心与正四面体的表面构成四个三棱锥，由体积分割可得，解得；又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，即有，即，则，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比为：.故〖答案〗为：.四、解答题（共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.甲､乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）2人中恰有1个人译出密码的概率；（2）2人中至少有1人译出密码的概率.解：（1）设“甲独立地译出密码”，“乙独立地译出密码”，“甲不能独立地译出密码”，“乙不能独立地译出密码”，“2人中恰有1个人译出密码”，为相互独立事件，与与与相互独立，且，，且两个事件为互斥事件，.（2）设“2人中至少有1个人译出密码”，方法一：.方法二：.18.已知复数，其中为虚数单位.（1）当实数取何值时，复数是纯虚数；（2）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.解：（1）由复数，因为复数是纯虚数，则满足，解得，故当实数时，复数是纯虚数.（2）因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，则满足，解得，故实数的取值范围为.19.如图，在正方体中为的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）若为的中点，求证：平面平面.解：（1）正方体中为的中点，底面.（2）方法一：证明：如图，连接，设交于点是的中点，是的中点，，且平面平面平面；是的中点，是的中点，四边形为平行四边形，，且平面平面，平面，且，平面，平面，平面平面.方法二：连接，且，中，且平面平面平面；又中，且平面平面，平面；且，平面，平面，平面平面.20.在中，分别是角的对边，.（1）求角的大小；（2）若是的内角平分线，当面积最大时，求的长.解：（1）因为，得，所以，又，所以.（2）在中，由余弦定理得，将，代入得，，所以，当且仅当时，即，所以，此时，在中，，由正弦定理得，解得，故的长为.21.某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的300名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.（1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；（2）学校要求按照分数从高到低选拔前30名的学生进行培训，试估计这30名学生的最低分数；（3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据：）解：（1），所以，所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：分.（2）因为，所以这30名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，，该次校内考试测试分数的分位数为，这30名学生的最低分数的估计值为90分.（3），，得分为52分的同学的成绩没有进入到内，得分为94分的同学的成绩进入到了内，即：得分为52分的同学的成绩没有进入到范围，得分为94分的同学的成绩进入到范围了.22.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，为线段的中点，点为棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若平面平面.①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值；②在平面内确定一点，使的值最小，并求此时的值.解：（1）证明：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∴ADAB，BC∥AD，∵BAD60，∴为正三角形；∵为正三角形，且E为AD中点，∴ADPE，且ADBE，∵PEBEE，∴AD平面PBE，∵BC∥AD，∴BC平面PBE，∵BC平面PBC，∴平面PBC平面PBE.（2）①取CD的中点M，连接BM，FM，∵F为PC中点，∴MF∥PD，MF，∴BFM就是异面直线BF和PD所成的角或所成角的补角，∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PEAD，∴PE平面ABCD，∴PEBE，∵菱形ABCD的边长为2，，∴与是全等的正三角形，∵M、E分别为CD、AD的中点，∴PEBEBM，∴在中，，在中，，∴，∴在中，.②设为平面内一点，延长CB到点N，使得BNBC=2，∵BC平面PBE，∴，∴CHNH，∴CHFHNHFH，∵，∴要使CHFH最小只需NF最短即可，由于点为棱上的动点，故当NFPC时，NF最短，此时，点H在棱BP上，在中，，∴，在中，，∵PCBFCN，∴，∴，∴，∵，∴在中，，∴BHBPHP，∴，∴当H在线段BP上，且满足时，可使CHFH的值最小.广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据复数的除法运算法则，可得.故选：D.2.在以下调查中，适合用全面调查的是（）A.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B.调查一批玉米种子的发芽率C.调查一批炮弹的杀伤半径 D.调查一个县各村的粮食播种面积〖答案〗D〖解析〗全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，对于A，调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例，调查数目较多，不适合全面调查；对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，不适合全面调查；对于，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，且具有破坏性，可以使用抽样调查；对于D，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查.故选：D.3.若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（）A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以平面四边形为平行四边形，又，在方向上数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形.故选：C.4.如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，所以，又，由正弦定理可得，，，在中，，所以（m）.故选：C.5.用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，可得原图形的图形如图所示，其中，则，绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为以为底面圆半径，为高的圆锥，该圆锥的底面半径为1，母线长为，所以圆锥的表面积.故选：D.6.一个盒子里装有标号为的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得：总的基本事件为，共10个，其中两张标签上的数字为相邻整数的事件为，共4个，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率是.故选：C.7.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗A项中，若，，，则平面有可能平行，也有可能相交，故A项错误；B项中，若，，则或，故B项错误；C项中，若，，则直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C项错误；D项中，若，，则，故D项正确.故选：D.8.如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由，为上一点，且满足，则，又由三点共线，则，即，因为，则，则的值为.故选：C.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.沙糖桔网店2022年全年的月收支数据如图所示，则针对2022年这一年的收支情况，下列说法中正确的是（）A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.11月份的利润最大〖答案〗AC〖解析〗观察图象知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，A正确；由图可知，月份的利润表，月份123456789101112利润/万元203020103030604030305030因此月份的总利润为，B错误；由利润表可知，这12个月利润的中位数与众数均为30，C正确；由利润表可知，7月份的利润最大，D错误.故选：AC.10.已知是单位向量，且，则（）A.与垂直 B.C.与的夹角为 D.在上投影向量的坐标为〖答案〗AD〖解析〗，因为是单位向量，所以，所以，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，，设与的夹角为，所以，所以与的夹角为，故错误；在上的投影向量坐标为，所以D对.故选：AD.11.在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则有2个解B.若，则C.若，则为直角三角形D.若为锐角三角形，且，则的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗：由正弦定理得，则，此时无解，错误；B：，则，又，所以，故正确；C：因为，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，即为直角三角形，故正确；：因为，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，则，故的取值范围为，正确.故选：BCD.12.如图，正方体的棱长为分别为的中点，则（）A.点与点到平面的距离相等B.直线与平面所成角的正弦值为C.二面角的余弦值为D.平面截正方体所得的截面面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于，如图1所示，取的中点，连接，则有平面，平面，平面，，平面.平面平面，平面，平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面，点与点到平面的距离相等，故正确；对于，如图2所示，连接，又平面，所以为直线与平面所成角，由已知得：，所以中，，即B错误；对C，如图3所示，因为平面，作交延长线于，连接，则，故设二面角的平面角为，由得，所以，即C正确；对于D，如图4所示，连接，延长交于点，因为分别为的中点，所以，所以四点共面，所以截面即为等腰梯形，，梯形高为，所以梯形的面积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设与的两边分别平行，若，则__________.〖答案〗或〖解析〗根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补，所求角为或.故〖答案〗为：或.14.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约_____________石（结果四舍五入保留整数）.〖答案〗〖解析〗依题意可得米内夹谷比例为，所以这批米内有谷子石.故〖答案〗为：.15.若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，得，则，，的面积为.故〖答案〗为：.16.如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________.〖答案〗〖解析〗由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为，由内切球的球心与正四面体的表面构成四个三棱锥，由体积分割可得，解得；又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，即有，即，则，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比为：.故〖答案〗为：.四、解答题（共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.甲､乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：（1）2人中恰有1个人译出密码的概率；（2）2人中至少有1人译出密码的概率.解：（1）设“甲独立地译出密码”，“乙独立地译出密码”，“甲不能独立地译出密码”，“乙不能独立地译出密码”，“2人中恰有1个人译出密码”，为相互独立事件，与与与相互独立，且，，且两个事件为互斥事件，.（2）设“2人中至少有1个人译出密码”，方法一：.方法二：.18.已知复数，其中为虚数单位.（1）当实数取何值时，复数是纯虚数；（2）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.解：（1）由复数，因为复数是纯虚数，则满足，解得，故当实数时，复数是纯虚数.（2）因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，则满足，解得，故实数的取值范围为.19.如图，在正方体中为的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）若为的中点，求证：平面平面.解：（1）正方体中为的中点，底面.（2）方法一：证明：如图，连接，设交于点是的中点，是的中点，，且平面平面平面；是的中点，是的中点，四边形为平行四边形，，且平面平面，平面，且，平面，平面，平面平面.方法二：连接，且，中，且平面平面平面；又中，且平面平面，平面；且，平面，平面，平面平面.20.在中，分别是角的对边，.（1）求角的大小；（2）若是的内角平分线，当面积最大时，求的长.解：（1）因为，得，所以，又，所以.（2）在中，由余弦定理得，将，代入得，，所以，当且仅当时，即，所以，此时，在中，，由正弦定理得，解得，故的长为.21.某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的300名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.（1）求的值，并估计此次