2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若，则（）A.1 B.2 C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗∵f′（x0）=2，则===2f′（x0）=4．故选C．2.已知，则x的值是（）A.3 B.6 C.9 D.3或9〖答案〗A〖解析〗由，得或，解得或，当时，，不符合组合数的定义，所以舍去.故选：A.3.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，令得所以，所以，故选D.4.年月第届亚运会在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会招募了一批大学生志愿者现安排某大学含甲、乙的六名志愿者到游泳馆、射击馆和田径馆参加迎宾工作，每个场馆安排两人，每人只能在一个场馆工作，则甲乙两人被安排在不同场馆的方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗C〖解析〗将个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，共有种，甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有种，则甲，乙两人被安排在不同场馆的方法有：种．故选：C．5.已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为当时，，所以当时，，所以的单调减区间是，选B.『点石成金』：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.6.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗D〖解析〗①当有2人选择现金时，有种情况；②当有2人选择支付宝或微信付款时，有2种情况，乙和丙或丁选同一种；另一种，丙丁同时选支付宝或微信，共有种情况；③当有2人选择银联卡时，有种情况，综上故有种．故选：D．7.红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A种 B.种 C.种 D.种〖答案〗D〖解析〗根据题意，由于任务A必须排在前三位，分种情况讨论：排在第一位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；排在第二位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；排在第三位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；则符合题意要求的安排方案有种；故选：D．8.若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数与的图象有且仅有一个交点，即只有一个零点，即只有一个零点.令，则，.当时，，所以上单调递增；当时，，所以在上单调递减，并且.所以，，.函数的大致图象如图因为，所以.原不等式，即.令，显然时，该函数为增函数，且，所以，的解集为.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在的展开式中，下列叙述中正确的是（）A.二项式系数之和为128 B.各项系数之和为1C.常数项为15 D.的系数为-48〖答案〗AB〖解析〗在的展开式中，二项式系数的和为，所以A正确；令，可得展开式的各项系数的和为，所以B正确；又由二项式展开式的通项为，因为，所以，所以展开式没有常数项，所以C错误；令，可得，所以站开始的的系数为，所以D错误.故选：AB.10.下列说法正确的为（）A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．〖答案〗ACD〖解析〗对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，共有种，故B不正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：①一人本，其他两人各本，共有；②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，③每人2本，共有，故共有种.故选：ACD11.是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗令，∵当时，，∴当时，，∴在上单调递增；又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，∴为上的奇函数；∴在上单调递增.由，可得，故A正确；由，可得，故B错误；由，可得，故C正确；由，可得，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，则______．〖答案〗〖解析〗，当时，；当时，；当时，；，得，；，得，．故〖答案〗为：．13.已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.〖答案〗①②〖解析〗当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.当时，，在上递增，无极值.当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.故〖答案〗为：；14.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为，且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大，假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则体积的最小值为______，此时金箍棒的底面半径为______．〖答案〗①②〖解析〗设原来定海神针长为，秒时神针体积为，则，，则，当底面半径为时其体积最大，，解得，此时，解得，，，，当时，，当时，，在上递增，在上递减，，，当时，有最小值，此时金箍棒的底面半径为．故〖答案〗为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知函数，曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数的极值.解：（1）由可得，因为曲线在点处的切线平行于直线，即，所以，解得；（2）由（1）知，，令，解得或，令，解得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是，由极值的定义知极大值为，极小值为.16.为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者．（1）共有多少种选法？（2）如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？解：（1）可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法；再选上午的志愿者，有种选法；最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法，因此，共有种选法．（2）当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有名，则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有种选法．17.已知函数，（1）当时，求的最值；（2）讨论的单调性．解：（1）当时定义域为，则，所以当时，当时，所以上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，即，无最大值.（2）定义域为，且，当时恒成立，所以在上单调递减，当时，令解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上可得：当时在上单调递减；当时在上单调递减，在上单调递增.18.设为实数，函数，.（1）若函数与轴有三个不同交点，求实数取值范围；（2）对于，，都有，试求实数的取值范围.解：（1），由，解得或；由解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，若函数与轴有三个不同交点，则，解得，所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为；（2）对于，，都有，则，由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，因为，且，则，故函数在上单调递减，故，由题意可得，故.所以实数的取值范围为.19.在的展开式中，把叫做三项式的次系数列．（1）求的值；（2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，求的值．解：（1）令得：①，令得：②，①+②得：，所以.（2）因为所以，右边展开式中含项的系数为，而展开式中左边含项的系数为0，所以.

河南省郑州市中牟县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若，则（）A.1 B.2 C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗∵f′（x0）=2，则===2f′（x0）=4．故选C．2.已知，则x的值是（）A.3 B.6 C.9 D.3或9〖答案〗A〖解析〗由，得或，解得或，当时，，不符合组合数的定义，所以舍去.故选：A.3.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，令得所以，所以，故选D.4.年月第届亚运会在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会招募了一批大学生志愿者现安排某大学含甲、乙的六名志愿者到游泳馆、射击馆和田径馆参加迎宾工作，每个场馆安排两人，每人只能在一个场馆工作，则甲乙两人被安排在不同场馆的方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗C〖解析〗将个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，共有种，甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有种，则甲，乙两人被安排在不同场馆的方法有：种．故选：C．5.已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为当时，，所以当时，，所以的单调减区间是，选B.『点石成金』：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.6.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗D〖解析〗①当有2人选择现金时，有种情况；②当有2人选择支付宝或微信付款时，有2种情况，乙和丙或丁选同一种；另一种，丙丁同时选支付宝或微信，共有种情况；③当有2人选择银联卡时，有种情况，综上故有种．故选：D．7.红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A种 B.种 C.种 D.种〖答案〗D〖解析〗根据题意，由于任务A必须排在前三位，分种情况讨论：排在第一位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；排在第二位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；排在第三位，任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；则符合题意要求的安排方案有种；故选：D．8.若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数与的图象有且仅有一个交点，即只有一个零点，即只有一个零点.令，则，.当时，，所以上单调递增；当时，，所以在上单调递减，并且.所以，，.函数的大致图象如图因为，所以.原不等式，即.令，显然时，该函数为增函数，且，所以，的解集为.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在的展开式中，下列叙述中正确的是（）A.二项式系数之和为128 B.各项系数之和为1C.常数项为15 D.的系数为-48〖答案〗AB〖解析〗在的展开式中，二项式系数的和为，所以A正确；令，可得展开式的各项系数的和为，所以B正确；又由二项式展开式的通项为，因为，所以，所以展开式没有常数项，所以C错误；令，可得，所以站开始的的系数为，所以D错误.故选：AB.10.下列说法正确的为（）A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．〖答案〗ACD〖解析〗对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，共有种，故B不正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：①一人本，其他两人各本，共有；②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，③每人2本，共有，故共有种.故选：ACD11.是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗令，∵当时，，∴当时，，∴在上单调递增；又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，∴为上的奇函数；∴在上单调递增.由，可得，故A正确；由，可得，故B错误；由，可得，故C正确；由，可得，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，则______．〖答案〗〖解析〗，当时，；当时，；当时，；，得，；，得，．故〖答案〗为：．13.已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.〖答案〗①②〖解析〗当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.当时，，在上递增，无极值.当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.故〖答案〗为：；14.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为，且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大，假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则体积的最小值为______，此时金箍棒的底面半径为______．〖答案〗①②〖解析〗设原来定海神针长为，秒时神针体积为，则，，则，当底面半径为时其体积最大，，解得，此时，解得，，，，当时，，当时，，在上递增，在上递减，，，当时，有最小值，此时金箍棒的底面半径为．故〖答案〗为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知函数，曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数的极值.解：（1）由可得，因为曲线在点处的切线平行于直线，即，所以，解得；（2）由（1）知，，令，解得或，令，解得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是，由极值的定义知极大值为，极小值为.16.为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与