2022-2023学年重庆市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据从小到大排列为1，2，3，3，4，5，7，9，13，15，估计该组数据的第75百分位数为（）A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗依题意，，所以第8个数据为该组数据的第75百分位数为9.故选：C.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则该复数的虚部为.故选：B.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题，又，则.故选：C.4.在中，，若存在两个满足条件，则的长可以为（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如下图所示：过点作，因为，可求得则时，存在两个，故又所以正确.故选：5.今年月日是第个“世界读书日”，某中学高二数学统计小组发起了一项关于阅读的调查，通过各班小组成员在本班（共四个班级）收集的有效问卷数（份）如下：、、、，其中关于“每人每天电子阅读时长”（单位：分钟）的各班平均数依次为：、、、，则据此估计该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为（）A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟〖答案〗C〖解析〗由题意可知，该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为：分钟.故选：C.6.在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则.故选：B.7.已知圆锥的顶点和底面圆都在球的球面上，圆锥底面半径为，侧面展开是一个半圆，则球的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意圆锥底面半径，设圆锥的高为，母线为，圆锥的外接球的半径为，则，即，解得，所以，所以，即，解得，所以圆锥的外接球球的表面积.故选：D.8.如图，一个棱长为4的正方体封闭容器中，在棱的中点和顶点处各有一个小洞，则该容器最多能盛水（）A.36 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗如下图：设为中点，为中点，，，则容器最多能盛水的体积为正方体在截面下方的部分，截面上方为棱台，可知可得为得中点，又所以，棱台体积所求体积为．故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.平行向量不是共线向量B.若两个非零向量夹角锐角，则C.向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得D.向量在非零向量上投影向量的长度为〖答案〗BD〖解析〗根据平行向量与共线向量的定义，平行向量就是共线向量，A错；若两个非零向量夹角为锐角，则，B正确；若，满足向量与共线，但不存实数使得，C错；两个非零向量夹角，则，则向量在非零向量上投影向量为，其长度为，D正确.故选：BD.10.某工厂加工一批零件，为了检测加工质量，工厂随机抽取了10个零件进行尺寸的误差检测，若这10个零件中的每个零件的误差都不超过2，则认为该批零件合格．若已知这10个零件的误差统计数据如下，则一定可以判断这批零件合格的是（）A.中位数为0.4，极差为1.5 B.平均数为1，众数为0.5C.平均数为1，方差为1.2 D.平均数为1，方差为0.01〖答案〗AD〖解析〗对于A，因为这批零件尺寸的误差值中位数为0.4，极差为1.5，所以10个零件的尺寸的误差值的最大值小于等于，故A正确；对于B，因为这批零件尺寸的误差平均数为1，众数为0.5，设这批零件尺寸误差为，因为，故B不正确；对于C，D，因为这批零件尺寸的误差平均数为1，若出现一次大于，即，所以，故C不正确，D正确.故选：AD.11.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法一定正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗AD〖解析〗对于A：若，，由面面平行的性质定理可知，故A正确；对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；对于C：若，，则或，故C错误；对于D：若，则存在直线，使得，又，，所以，所以，故D正确.故选：AD.12.如图，，线段与交于点，记，则（）A. B.C D.〖答案〗AD〖解析〗，设，，，∵，∴，同理，，，，联立解得.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若是方程（其中）的一个根，则________．〖答案〗7〖解析〗将代入，因，则.则.故〖答案〗为：7.14.已知事件相互独立，且，则________．〖答案〗〖解析〗因为事件相互独立，所以也相互独立，且，，解得.故〖答案〗为：.15.如图，有两条直线和相交，交点为，甲、乙两人同时从点分别沿方向出发，速度分别为后，两人相距__________．〖答案〗〖解析〗因为点分别沿方向出发速度分别为后可得：，在中应用余弦定理得，，所以两人相距.故〖答案〗为:.16.在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则__________．〖答案〗〖解析〗设，连结，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以为中点，又点为的重心，故在上，过作于，由到平面的距离为，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）若复数在复平面对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．解：（1）原式.（2）由题.18.设是直线，是平面，且．（1）若，求证：；（2）若，求证：．解：（1）∵，∴，又，，∴.（2）∵，∴，又，∴，∵，∴，∴.19.某校对高一年级名学生的身高进行了统计，发现这名学生的身高介于（单位：），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍．（1）求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：）的中位数（保留位小数）；（2）若采用分层抽样的方法从前两组中抽取位同学参加某项课外活动，在这位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率．解：（1）由频率分布直方图可知第四组的频率为，设第一组的频率为，由题可知，解得，∴第一组的人数为人，前三组的频率之和为，，估计中位数为.（2）第二组频率是第一组频率的倍，所以第一组抽取人，记为，第二组抽取人，记为，从人中随机抽取人的样本点有，，共个，且每个样本点等可能发生，其中两人来自于同一组的样本点有，共个，故所求概率为.20.在中，角的对边为．（1）求；（2）设为边上的高，为的平分线，与交于点，求的面积．解：（1）由正弦定理，由余弦定理.（2）∵为锐角，∴，因为，∴，∴，由（1）为等腰直角三角形，.21.如图，在平行四边形中，为的中点，记．（1）用表示；（2）若，求．解：（1）设，则，，联立两式解得，所以.（2），由，代入上式，由得，即，∴，即.22.在长方体中，分别为棱的中点，．（1）过作平面平面交直线于点，求；（2）求四面体的体积．解：（1）如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接并延长交直线于，过在平面作的平行线，交的延长线于，连接，由长方体的性质可得，而，故，故四边形为平行四边形，所以，因为，故，故，而平面，平面，故平面，同理平面，而平面，故平面平面，又平面，故平面即为平面，故重合，因为，故四边形为平行四边形，故.（2）∵为中点，，而，故.由（1）知：.重庆市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据从小到大排列为1，2，3，3，4，5，7，9，13，15，估计该组数据的第75百分位数为（）A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗依题意，，所以第8个数据为该组数据的第75百分位数为9.故选：C.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则该复数的虚部为.故选：B.3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题，又，则.故选：C.4.在中，，若存在两个满足条件，则的长可以为（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如下图所示：过点作，因为，可求得则时，存在两个，故又所以正确.故选：5.今年月日是第个“世界读书日”，某中学高二数学统计小组发起了一项关于阅读的调查，通过各班小组成员在本班（共四个班级）收集的有效问卷数（份）如下：、、、，其中关于“每人每天电子阅读时长”（单位：分钟）的各班平均数依次为：、、、，则据此估计该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为（）A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟〖答案〗C〖解析〗由题意可知，该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为：分钟.故选：C.6.在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则.故选：B.7.已知圆锥的顶点和底面圆都在球的球面上，圆锥底面半径为，侧面展开是一个半圆，则球的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意圆锥底面半径，设圆锥的高为，母线为，圆锥的外接球的半径为，则，即，解得，所以，所以，即，解得，所以圆锥的外接球球的表面积.故选：D.8.如图，一个棱长为4的正方体封闭容器中，在棱的中点和顶点处各有一个小洞，则该容器最多能盛水（）A.36 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗如下图：设为中点，为中点，，，则容器最多能盛水的体积为正方体在截面下方的部分，截面上方为棱台，可知可得为得中点，又所以，棱台体积所求体积为．故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.平行向量不是共线向量B.若两个非零向量夹角锐角，则C.向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得D.向量在非零向量上投影向量的长度为〖答案〗BD〖解析〗根据平行向量与共线向量的定义，平行向量就是共线向量，A错；若两个非零向量夹角为锐角，则，B正确；若，满足向量与共线，但不存实数使得，C错；两个非零向量夹角，则，则向量在非零向量上投影向量为，其长度为，D正确.故选：BD.10.某工厂加工一批零件，为了检测加工质量，工厂随机抽取了10个零件进行尺寸的误差检测，若这10个零件中的每个零件的误差都不超过2，则认为该批零件合格．若已知这10个零件的误差统计数据如下，则一定可以判断这批零件合格的是（）A.中位数为0.4，极差为1.5 B.平均数为1，众数为0.5C.平均数为1，方差为1.2 D.平均数为1，方差为0.01〖答案〗AD〖解析〗对于A，因为这批零件尺寸的误差值中位数为0.4，极差为1.5，所以10个零件的尺寸的误差值的最大值小于等于，故A正确；对于B，因为这批零件尺寸的误差平均数为1，众数为0.5，设这批零件尺寸误差为，因为，故B不正确；对于C，D，因为这批零件尺寸的误差平均数为1，若出现一次大于，即，所以，故C不正确，D正确.故选：AD.11.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法一定正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗AD〖解析〗对于A：若，，由面面平行的性质定理可知，故A正确；对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；对于C：若，，则或，故C错误；对于D：若，则存在直线，使得，又，，所以，所以，故D正确.故选：AD.12.如图，，线段与交于点，记，则（）A. B.C D.〖答案〗AD〖解析〗，设，，，∵，∴，同理，，，，联立解得.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若是方程（其中）的一个根，则________．〖答案〗7〖解析〗将代入，因，则.则.故〖答案〗为：7.14.已知事件相互独立，且，则________．〖答案〗〖解析〗因为事件相互独立，所以也相互独立，且，，解得.故〖答案〗为：.15.如图，有两条直线和相交，交点为，甲、乙两人同时从点分别沿方向出发，速度分别为后，两人相距__________．〖答案〗〖解析〗因为点分别沿方向出发速度分别为后可得：，在中应用余弦定理得，，所以两人相距.故〖答案〗为:.16.在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则__________．〖答案〗〖解析〗设，连结，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以为中点，又点为的重心，故在上，过作于，由到平面的距离为，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）若复数在复平面对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．解：（1）原式.（2）由题.18.设是直线，是平面，且．（1）若，求证：；（2）若，求证：．解：（1）∵，∴，又，，∴.（2）∵，∴，又，∴，∵，∴，∴.19.某校对高一年级名学生的身高进行了统计，发现这名学生的身高介于（单位：），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率