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文档简介
两点之间的距离公式2024.8教学目标:教学重点:教学难点:两点间距离公式.1.掌握平面上两点间的距离公式;2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题;用坐标法解决平面几何问题.情境导入
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上的某
处建一个公交站点,以方便居住在这两个小区的住户出行.
(1)如何确定这两个小区的距离?
(2)如何选址能使公交站点到两
个小区的距离之和最小?
知识点
两点间的距离公式设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1,P2两点间的距离公式:OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)法一:法二:构造直角三角形根据勾股定理也可得|P1P2|=OxyPOxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)检测:1.(2024·许昌质检)已知A(1,2),B(a,6),且|AB|=5则a=
.|AB
|=解得a=4或-2.2.已知点A,B是直线x+2y-1=0与坐标轴的交点,则|AB|=(
)|AB|求直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标解:设所求点的坐标为(x0,y0),有x0+y0-1=0,所求点的坐标为(-3,4),(-1,2)题型一两点间的距离公式例1(23-24高二上·江苏徐州·期中)已知过A(m,2),B(-m,m-1),两点的直线的倾斜角是45º,则A,B两点间的距离为()所以A(1,2),B(-1,0)|AB|在已知直线2x-y=0上存在一点P,使它到点M(5,8)的距离为5,则直线PM的方程为
___________
∵点P在直线2x
-y=0上,∴可设P点坐标为(a,2
a),∴直线
PM
的方程为即4
x
-3
y
+4=0或24
x
-7
y
-64=0.练习:(2024·烟台月考)直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|=()由题意得P(1,1),Q(5,5),∴|
PQ
|=
题型二两点间距离公式的应用例1(2024·福州月考)已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).判断△ABC的形状;所以|
AB
|2+|
AC
|2=|
BC
|2,即△
ABC
是以
A
为直角顶点的直角三角形.因为|AB|=|AC|=|BC|=练习:1.设m∈R,过定点A的直线x+my-m=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P,则|PA|2+|PB|2=(
)直线x+my-m=0过定点A(0,1),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3),且直线x+my-m=0和直线mx-y-m+3=0满足1×m-m×1=0,故两直线垂直,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+22=5.2.已知直线l过点(1,0),与直线l1:3x+y-6=0和l2:3x+y+3=0分别交于A,B两点,且|AB|=9.求直线l的方程.当直线l斜率不存在时,方程为l:x=1,即x-1=0,与两直线交点分别是(1,3),(1,-6),距离为9,符合题意;当直线l斜率存在时,方程可设为l:y=k(x-1),k≠-3,与直线3x+y-6=0联立,得交点与直线3x+y+3=0联立,得交点=9,4x+3y-4=0,题型三坐标法的应用例3
在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).设BC所在边为x轴,以D为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0),OxyABC(D)因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-
b)2+c2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=b2+c2+a2,所以|
AB
|2+|
AC
|2=2(|
AD
|2+|
DC
|2).用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤第一步:建立适当的直角坐标系,用坐标表示有关的量;第二步:进行有关的代数运算;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.[注意]建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算
练习:(2024·常州月考)已知:在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.oxy(A)CDB证明:如图所示,建立平面直角坐标系.设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c)所以|AC|=|BD|=故|AC|=|BD|.在△ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.求证:△ABC为等腰三角形.作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.OxyABCD设
A
(0,
h
),
B
(b
,0),
C
(
c
,0),
D
(
d
,0)因为|AB|2=|AD|2+|BD||DC|,得
b2+
h2=
d2+
h2+(
d
-
b
)·(
c
-
d
),整理得-(
d
-
b
)(
b
+
d
)=(
d
-
b
)(
c
-
d
).因为点
D
与点
B
,
C
不重合,所以
d
-
b
≠0,所以-
b
-
d
=
c
-
d
,即-
b
=
c
.即△
ABC
为等腰三角形.课后练习1.已知直角坐标平面上端点为(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),则点M到原点的距离为(
)设M(x,y),由题意得则点M到原点的距离为2.在△ABC中,设点A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),利用二次函数知识可确定到△ABC的3个顶点距离的平方和最小的点为△ABC的(
)A.重心
B.垂心C.外心
D.内心设点P(x,y),其中x,y∈R,则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x-xA)2+(y-yA)2+(x-xB)2+(y-yB)2+(x-xC)2+(y-yC)2=3x2-2(xA+xB+xC)x++3y2-2(yA+yB+yC)y+|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最小值,此时点P(x,y
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