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文档简介

两点之间的距离公式2024.8教学目标:教学重点:教学难点:两点间距离公式.1.掌握平面上两点间的距离公式;2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题;用坐标法解决平面几何问题.情境导入

在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上的某

处建一个公交站点,以方便居住在这两个小区的住户出行.

(1)如何确定这两个小区的距离?

(2)如何选址能使公交站点到两

个小区的距离之和最小?

知识点

两点间的距离公式设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1,P2两点间的距离公式:OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)法一:法二:构造直角三角形根据勾股定理也可得|P1P2|=OxyPOxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)检测:1.(2024·许昌质检)已知A(1,2),B(a,6),且|AB|=5则a=

⁠.|AB

|=解得a=4或-2.2.已知点A,B是直线x+2y-1=0与坐标轴的交点,则|AB|=(

)|AB|求直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标解:设所求点的坐标为(x0,y0),有x0+y0-1=0,所求点的坐标为(-3,4),(-1,2)题型一两点间的距离公式例1(23-24高二上·江苏徐州·期中)已知过A(m,2),B(-m,m-1),两点的直线的倾斜角是45º,则A,B两点间的距离为()所以A(1,2),B(-1,0)|AB|在已知直线2x-y=0上存在一点P,使它到点M(5,8)的距离为5,则直线PM的方程为

___________

∵点P在直线2x

-y=0上,∴可设P点坐标为(a,2

a),∴直线

PM

的方程为即4

x

-3

y

+4=0或24

x

-7

y

-64=0.练习:(2024·烟台月考)直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|=()由题意得P(1,1),Q(5,5),∴|

PQ

|=

题型二两点间距离公式的应用例1(2024·福州月考)已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).判断△ABC的形状;所以|

AB

|2+|

AC

|2=|

BC

|2,即△

ABC

是以

A

为直角顶点的直角三角形.因为|AB|=|AC|=|BC|=练习:1.设m∈R,过定点A的直线x+my-m=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P,则|PA|2+|PB|2=(

)直线x+my-m=0过定点A(0,1),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3),且直线x+my-m=0和直线mx-y-m+3=0满足1×m-m×1=0,故两直线垂直,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+22=5.2.已知直线l过点(1,0),与直线l1:3x+y-6=0和l2:3x+y+3=0分别交于A,B两点,且|AB|=9.求直线l的方程.当直线l斜率不存在时,方程为l:x=1,即x-1=0,与两直线交点分别是(1,3),(1,-6),距离为9,符合题意;当直线l斜率存在时,方程可设为l:y=k(x-1),k≠-3,与直线3x+y-6=0联立,得交点与直线3x+y+3=0联立,得交点=9,4x+3y-4=0,题型三坐标法的应用例3

在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).设BC所在边为x轴,以D为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0),OxyABC(D)因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-

b)2+c2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=b2+c2+a2,所以|

AB

|2+|

AC

|2=2(|

AD

|2+|

DC

|2).用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤第一步:建立适当的直角坐标系,用坐标表示有关的量;第二步:进行有关的代数运算;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.[注意]建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算

练习:(2024·常州月考)已知:在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.oxy(A)CDB证明:如图所示,建立平面直角坐标系.设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c)所以|AC|=|BD|=故|AC|=|BD|.在△ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.求证:△ABC为等腰三角形.作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.OxyABCD设

A

(0,

h

),

B

(b

,0),

C

(

c

,0),

D

(

d

,0)因为|AB|2=|AD|2+|BD||DC|,得

b2+

h2=

d2+

h2+(

d

b

)·(

c

d

),整理得-(

d

b

)(

b

d

)=(

d

b

)(

c

d

).因为点

D

与点

B

C

不重合,所以

d

b

≠0,所以-

b

d

c

d

,即-

b

c

.即△

ABC

为等腰三角形.课后练习1.已知直角坐标平面上端点为(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),则点M到原点的距离为(

)设M(x,y),由题意得则点M到原点的距离为2.在△ABC中,设点A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),利用二次函数知识可确定到△ABC的3个顶点距离的平方和最小的点为△ABC的(

)A.重心

B.垂心C.外心

D.内心设点P(x,y),其中x,y∈R,则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x-xA)2+(y-yA)2+(x-xB)2+(y-yB)2+(x-xC)2+(y-yC)2=3x2-2(xA+xB+xC)x++3y2-2(yA+yB+yC)y+|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最小值,此时点P(x,y

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