北京市东城区2024届高三上学期期末统一检测数学试题 含解析

东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学第一部分一､选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根据补集定义求解即可.【详解】全集，集合，.故选：C.2.设复数z满足，则z的共轭复数A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出，即可得.【详解】由得，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.3.的展开式中，的系数为（）A.1 B.5 C.10 D.20【答案】C【解析】【分析】由二项展开式的通项计算即可得.【详解】二项展开式的通项为，令，即，有，故的系数为10.故选：C.4.设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则（）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】D【解析】【分析】结合等比数列的性质可计算出公比，由等比数列前项和的定义即可得.【详解】设公比为，则，则，又的各项均为正数，故，则.故选：D.5.已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可.【详解】非零向量，，满足，且，对于A，不恒为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，不恒为，故C错误；对于D，不恒为，故D错误.故选：B.6.如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中点，连接，，，证明平面平面，进而求出截面面积.【详解】取的中点，连接，，，正方体，平面，平面，，是的中点，，且，四边形是矩形，且，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，即平面为过点且平行于平面的平面截正方体所得平面，，，，.故选：A.7.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，结合逻辑用语判断即可.【详解】，，函数在单调递增，函数在上单调递减，由得，得，满足充分性；由得，得，满足必要性.“”是“”的充要条件.故选：C.8.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可.【详解】由题知，粒子从为一个周期，对应由为一个周期，对应由为两个周期，函数的周期是函数的周期的倍.对于A，的周期为，的周期为，故A错误；对于B，的周期为，的周期为，故B正确；对于C，的周期为，的周期为，故C错误；对于D，的周期为，的周期为，故D错误.故选：B.9.已知线段的长度为是线段上的动点（不与端点重合）.点在圆心为，半径为的圆上，且不共线，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，结合图形分析可得，利用正弦函数的性质以及二次函数的性质即可得最值.【详解】如图：设，圆M的半径为r，则，所以的面积，当为时取等号，再结合二次函数的性质可得当时S有最大值，故选：A.10.设函数，对于下列四个判断：①函数的一个周期为；②函数的值域是；③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数图象与直线有且仅有一个公共点．正确的判断是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断②；利用，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案.【详解】对于①，，，故不是函数的一个周期，①错误；对于②，，需满足，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，②错误；对于③，由②知，，当时，,满足此条件下的图象上的点到的距离；当时，满足此条件下的图象上的点到的距离，当且仅当且时等号成立，而时，或，满足此条件的x与矛盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；对于④，由②的分析可知，则，即，又，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确．故选：D【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解.第二部分二､填空题共5小题.11.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.【详解】，解得且，函数的定义域为.故答案为：.12.已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是__________；直线与双曲线相交于，两点，则__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离.【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，，即，，所以双曲线的渐近线方程为；当时，，设，则，所以.故答案为：；.13.已知函数，若，则的一个取值为__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解.【详解】，即，解得，，，.的一个取值为.故答案为：（答案不唯一）.14.设函数①若，则的最小值为__________.②若有最小值，则实数的取值范围是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当时，，则当时，，当时，，故的最小值为；②由，则当时，，由有最小值，故当时，的最小值小于等于，则当且时，有，符合要求；当时，，故不符合要求，故舍去.综上所述，.故答案为：；.15.一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期.给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列.其中所有正确判断的序号是__________.【答案】②③【解析】【分析】根据题设条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，因为，取数列：，显然满足，但数列不是周期函数，所以①错误；对于②，因为数列满足：，不妨令，则数列为，故，所以②正确；对于③，为周期数列，不妨设周期为，所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现，故存在正整数，使得恒成立，所以③正确；对于④，取数列为首项2，当时，，则当为奇数时，，当为偶数时，，取，则恒成立，但不为周期数列.故答案为：②③.【点睛】关键点晴：本题的关键在于对新概念的理解，然后再结合各个选项中的条件，通过取特殊数列可得出①和④的正误；再利用周期数列的定义可得出②和③的正误.三､解答题共6小题，解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.如图，在直三棱柱中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）通过取的中点构建平面平面即得；（2）由题设易于建系，运用空间向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，解方程即得.【小问1详解】如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有,又因为平面，平面,故平面，平面，又,则平面平面,因平面，则平面.【小问2详解】如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,设点,则，代入坐标得：，即，于是,,设平面的法向量为，则有故可取，依题意得，，解得：，即线段的长为1.17.在中，（1）求；（2）若为边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）若选条件①，则；若选条件③，则.【解析】【分析】（1）由余弦定理计算即可得；（2）若选条件①，由正弦定理可计算出，结合三角形内角和与面积公式即可得面积；若选条件③，由余弦定理结合条件可计算出、，由面积公式计算即可得；不能选条件②，计算出到的距离，故该三角形不唯一，不符合题意.【小问1详解】，故；【小问2详解】若选条件①：，由，，，故，即，，此时三角形唯一确定，符合要求，.若选条件③：的周长为,由，故，则，化简得，即有，解得，故，此时三角形唯一确定，符合要求，.不能选条件②，理由如下：若选条件②：，由，，，设点到直线的距离为，则，即，此时，，故该三角形不唯一，故②不符合要求.18.某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：2022年2023年通过未通过通过未通过第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假设每次考试是否通过相互独立.（1）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；（2）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；（3）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）的值838893【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；（2）根据相互独立的事件的概率求解即可；（3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.【小问1详解】记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，，记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，，则，，从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；【小问2详解】，，，小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为；【小问3详解】2022年考生成绩合格的概率为,2023年考生成绩合格的概率为，要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则，解得.故的最小值为.19.已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得，结合平方关系即可得解.（2）由题意不妨设，则，将直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理得点坐标，要证三点共线，只需证明即可，在化简时注意利用，由此即可顺利得证.【小问1详解】由题意，所以，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意不妨设，其中，即，则，且直线的方程为，将其与椭圆方程联立得，消去并化简整理得，由韦达定理有，所以，，即点，而，，所以三点共线20.已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若，求证：函数在上有极大值，且.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）先对求导，然后构造函数，再对求导，根据导数判断函数的单调性，进而判断的单调性，最后根据对勾函数的单调性求出极大值的取值范围.小问1详解】当时，，，即切点为，，，即在处切线的斜率为，故曲线在处的切线方程为；【小问2详解】，令，，，在单调递增，且，在单调递增，且，在单调递减，，，即，，存在唯一的，使，即，当时，，即，在单调递增，当时，，即，在单调递减，在处取得极大值，设极大值，即，令，，，对勾函数在单调递增，，，，，即，.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值.解题的关键是掌握导数与单调性的关系，当导数的符号不容易确定时，构造新的函数，利用导数研究新函数的单调性.确定极值点时，需要满足极值点的导数为，极值点左右两侧附近的