指数与指数函数（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学指数与指数函数近3年考情考题示例考点分析关联考点2024年新高考I卷，第6题,5分从近五年的高考情况来看，指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点，常与幂函数、二次函数、对数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用指数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.（1）指数幂的运算性质（2）指数函数的图像与性质2024年北京卷，第7题,5分2023年新高考I卷第4题，5分2023年乙卷第4题，5分2022年甲卷第12题，5分2020年新高考II卷第11题，5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】指数幂的运算本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感【题型2】指数函数过定点问题【题型3】求指数函数的解析式【题型4】指数函数的图象及应用【题型5】比较指数幂的大小【题型6】解指数方程或不等式【题型7】指数型复合函数单调性【题型8】指数型函数的值域问题【题型9】指数函数的实际应用【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合【题型11】指数函数的综合性问题【题型1】指数幂的运算【方法技巧】（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．指数与根式的概念1、n次方根的定义（1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且（2）偶次方根的被开方数要为非负数2、根式（1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）性质：（，且）a；3、分数指数幂的意义（1）分数指数幂的意义正分数指数幂：规定：负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、分数指数幂的注意事项：（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义．5、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．6、实数指数幂的运算性质①．②．③．（1）；（2）已知，，求的值.【解析】（1）原式（2）因为，，所以，，所以.【巩固练习1】化简或求值：（1）；（2）；（3）；（4）（且）.【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）【解析】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.【巩固练习2】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）【解析】（1）将两边平方，得，所以．（2）将两边平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．【巩固练习3】计算(−64)13+A．−132 B．−112 C．【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.【解答过程】(−64)1故选：C.【题型2】指数函数过定点问题指数函数图象都经过点，恒过定点．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为.【答案】【解析】令，得，则.所以函数（且）的图象恒过定点.【巩固练习1】函数（且）的图象恒过定点，则等于.【答案】2【解析】由，即，得，所以，所以【巩固练习2】（2024·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是.【答案】【解析】函数且的图象过定点，则，所以，由，得，则令，则，则，当且仅当，即，即时，取等号，所以的最小值是.【题型3】求指数函数的解析式图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数已知是指数函数，若，则___________.【答案】【解析】设，因为，即，解得，所以，即．【巩固练习1】已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式【答案】【解析】在上增函数，，解得又,，由为偶函数知，；【巩固练习2】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，则，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以当时．【题型4】指数函数的图象及应用本#号资料全部来源*于微信公众号：数学第六感对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势.（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数图象过原点，所以，本号资料全部来源于微信公众号：数学*第六感得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，本号资料全部来源于#微信公众号*：数学第六感所以，则，所以.函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】C【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.【巩固练习1】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.【巩固练习2】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以，又由，可得，可得，结合选项，只有C项适合.故选：C.【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（）A．B．C．；D．．【答案】B【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，所以，故选：B【题型5】比较指数幂的大小比较指数幂的大小常用方法有：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．若，则a､b､c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即，故选：A（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c【解题思路】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.本号资料全*部来源于微信公众号：数学第六感【解答过程】因为指数函数y=0.5x是单调减函数，所以又由幂函数y=x1.1在0,+∞又因为指数函数y=1.1x是单调增函数，所以综上可得：b<a<c【巩固练习1】（2024·云南·二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，因为，，所以，所以.【巩固练习2】设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在上单调递增，在上单调递减所以，故.故选：B【巩固练习3】已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．【题型6】解指数方程或不等式简单指数不等式的解法1、形如的不等式，可借助的单调性求解2、形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解（2024·河北邯郸·一模）不等式的解集为.【答案】【解析】由，可得.令，因为均为上单调递减函数则在上单调递减，且，，故不等式的解集为.【巩固练习1】若x满足不等式，则函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函数的值域是，故选：B.【巩固练习2】已知函数，那么不等式的解集为__________．【答案】【解析】已知函数，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式等价于【巩固练习3】不等式的解集为．【答案】【解析】不等式，可化为，即，解得，所以，所以不等式的解集为．故答案为：．【题型7】指数型复合函数单调性判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.解决步骤第一步：求函数的定义域．第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．本号资料全部来源#于微*信公众号：数学第六感函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.【详解】设，，则在上单调递增.因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，所以在区间单调递减，所以，解得．【巩固练习1】函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，函数在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：的单调递减区间为.故选：D【巩固练习2】已知函数，若在上减函数，求的取值范围．【答案】{或且}.【解析】若在上减函数，则，解得或，即的取值范围是{或且}．【巩固练习3】（2023·重庆巴蜀中学高一校考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.【详解】令,则，当时，单调递增，且，当时，，当时单调递增，则函数在上单调递增，符合题意；当时，的对称轴为，由题意，当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递减，不符合题意，综上，.【题型8】指数型函数的值域问题解决步骤第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．本号资料全部来源于微#信公众*号：数学第六感第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．函数，的值域是()A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，则，故选：A.【巩固练习1】函数的值域是.【答案】【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减，因此，所以函数的值域是.【巩固练习2】已知函数，，则函数的值域为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，于是有，当时，，此时，，当时，，此时，，所以函数的值域为.故选：B【巩固练习3】函数在上的值域为___________.【答案】【解析】，∵则令在递增，∴【题型9】指数函数的实际应用1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变等。2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（

）A．150 B．128 C．122 D．61【答案】C【分析】根据已知可求出，再代入即可求出.【详解】由题可得，则，所以，即该学生在从能记忆的单词个数为122.（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，由题意可得，所以．【巩固练习1】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.【答案】【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案.【详解】依题意，两式相除得，则，所以当时，小时.【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据指数式的运算求解.【详解】由题可知，，所以，经过天，数量变为原来的16倍，即，则有，解得【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过分钟．【答案】120【分析】先把现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是代入公式，再列出此物体的温度变为时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求得要使物体的温度变为，还要经过的时间.【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是，∴，即①，要使物体的温度变为，则，即②，联立①②，，解得，故还要经过分钟．【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．已知函数为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值.【答案】【解析】由于是定义在R上的奇函数，所以，所以，由于是奇函数，所以，所以，即，所以.（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.【详解】因为函数是奇函数，所以，解得，又，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，因为，所以，故.已知函数是奇函数，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）是奇函数，经检验当时，是奇函数符合题意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，.【巩固练习1】已知定义域为的函数是奇函数.本号资料全部来*源于微信公众号：数学第六感(1)求，的值；(2)若存在，使成立，求的取值范围．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由及即可求解；（2）求出函数的单调性，不等式可转化为，根据二次函数的最值即可求解.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以将代入，解得，经检验符合题意，所以，，.（2）由（1）知：函数，所以函数在上是减函数.因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令，题意可知：问题等价转化为，又因为，所以,故的取值范围为.【巩固练习2】已知函数在区间上有最小值2和最大值10．(1)求，的值；(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）的对称轴为，因为，所以在区间上最小值为，最大值为，故解得．（2）由（1）可得，所以可化为，化为．令则，因为，故，记，故，所以实数的取值范围是．【巩固练习3】已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】当时，，∴当时，，当时，为增函数，所以时，取得最大值，∵对，使得，