圆的最值与范围问题（8题型+满分技巧+限时检测）（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学圆的最值与范围问题与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。【题型1圆上一点到定点的最值范围】满分技巧圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值。已知圆及圆外一定点，设圆的半径为，则圆上点到点距离的最小值为，最大值为，即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.【例1】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（）A．8B．9C．D．【答案】C【解析】设，，由，得，，因为点在圆上，即，则，所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，因为，，所以点在圆外，所以的最大值为.故选：C【变式1-1】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，易知，由可得，整理得，即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径，即.故选：D【变式1-2】（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（）A．2B．C．D．3【答案】B【解析】设，其中，则，∵，∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴即为圆上动点到定点的距离，∴的最大值为.故选：B.【变式1-3】（2023·上海·高三市实验学校校考阶段练习）若点在圆上运动，为的中点．点在圆上运动，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵点在圆上运动，，∴中点到圆心的距离为，由圆的定义可知，点的运动轨迹为以，半径的圆，又∵点在圆∴的最小值为：.故选：B.【变式1-4】（2024·重庆·统考一模）过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（）A．B．C．D．本号资料#全#部来源于微信公众号：数学第六感【答案】D【解析】圆的圆心，半径，由切圆于点，且为直角三角形，得，连接，则，即四边形是正方形，，因此点在以点为圆心，为半径的圆上，而，于是，所以的取值范围为.故选：D【题型2圆上一点到直线的最值范围】满分技巧圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于【例2】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知直线和圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由题知，圆，其中圆心，半径为1，直线过定点，所以点到直线的距离的最大值为到圆心的距离加上圆的半径，即.故选：C【变式2-1】（2024·广东湛江·统考一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．【答案】【解析】设，则满足；易知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，如下图所示：易知，所以，即，整理可得；同理可得，即是方程的两组解，可得直线的方程为，联立，即；令，可得，即时等式与无关，所以直线恒过定点，可得；又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大；最大值为.【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意知，圆心为，半径，本号资料全部来源于微信公众号：数学第*六感圆心到直线的距离，当，此时圆上有个点满足，当，此时圆上有个点满足，所以圆上到直线距离为的点的个数为.故C正确.故选：C.【变式2-3】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知点为直线上的动点，平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点和点距离的最小值为．【答案】【解析】设，由得，即，即，也即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以点和点距离的最小值为.【变式2-4】（2024·广东茂名·统考一模）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为.【答案】【解析】令，则，整理得，所以的轨迹是圆心为，半径为2的圆上，又直线：可化为，易知过定点，由，故点在圆外，则圆心与定点所在直线与直线垂直，圆心与直线距离最大，所以点到直线距离的最大值为.【题型3过圆内定点的最值范围】满分技巧过圆内定点的弦长最值：已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中学校考期末）设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线为l，方程变形为，所以直线恒过定点，因为圆的方程为，所以圆心，半径，因为，所以在圆的内部，当直线时，弦最短，因为，所以，当直线l过圆心时，弦最长为，故的取值范围为.故选：.【变式3-1】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）直线被圆所截得的弦长的最小值为.【答案】2【解析】直线，即，则，即直线过定点，由于，故点在圆，当圆心和的连线与直线垂直时，直线被圆所截得的弦长最短，圆心为，和的距离为，故弦长的最小值为.【变式3-2】（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知圆C:，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】因为直线：，方程可化为，令，解得，故直线过定点，且在圆C:内，又,故当直线被圆C截得的弦长最短时，有，则，解得，故选：B.【变式3-3】（2023·河南·高三统考阶段练习）过圆内点有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列，且，其中分别为过点的圆的最短弦长和最长弦长，则的取值集合为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，则，可知，因为数列为等差数列，则，解得，又因为且，则，所以的取值集合为.故选：C.【变式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为.【答案】【解析】由题意，直线的方程化为，由得∴直线过定点，显然点在圆内，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，，解得，代入到直线的方程并化简得.【题型4圆的切线长的最值范围】满分技巧切线长度的最值求法1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.【例4】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，圆的圆心为，半径为，由圆的几何性质可知，，由勾股定理可得,所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可.当直线与直线垂直时，取最小值，则的最小值是.故选：A.【变式4-1】（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：的切线，切点为Q，则的最小值为．【答案】【解析】圆C的圆心为，半径，标准单位圆的圆心为，半径，因为，可知圆C与标准单位圆外离，即点P在圆C外，由题意可知：，且，当且仅当在线段上时，等号成立，所以，即的最小值为.【变式4-2】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知动点到两个定点，的距离之比为，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由题可知，整理得，圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为2.如图，因为，所以，当取得最小值时，有最小值，由图可知，的最小值为，所以的最小值为.故选：A【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为.【答案】【解析】设，则，故当时，取最小值.又由圆的切线性质可得此时.【变式4-4】（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，连接，则，可得，所以，即，可得，所以，当时，.故选：C.【题型5距离和差的最值范围】本*号资料全部来源于微信公众号：数学#第六感满分技巧圆中的距离和差问题可借助圆的几何特性进行举例转化，有时需结合对称性及三点共线距离最短的性质求解最值。【例5】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点．则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，连接，可得，且垂足为要使得取得最小值，即，又由，，显然，当最小时，同时取得最小值，所以，当时，且，所以.故选：B.【变式5-1】（2024·江西·高三校联考期末）已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为.【答案】【解析】设关于直线的对称点为，则，解得，故，则圆关于对称的圆的方程为，要使的值最大，则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，且该直线过两点，如图，其最大值为.【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为.【答案】【解析】由圆，可得圆心，半径为，又由点，可得点在直线上的动点，因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则，如图所示，设点关于直线的对称点为，可得，解得，即，设直线与直线的交点为，则直线的方程为，联立方程组，解得，即，则，当点与重合时，此时，则，此时取得最大值，最大值为，所以，即的最大值为.【变式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】设，由，得，化简整理得，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，设，则，故，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故选：C.【变式5-4】（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（）本号资料全部来源于*#微信公众号：数学第六感A．B．C．D．【答案】C【解析】取，连接，则，又，所以，又，故∽，故，从而，所以，当三点共线时，取得最小值，最小值为.故选：C【题型6与角度有关的最值范围】满分技巧与角度有关的最值范围问题的处理方法：利用三角函数定义，将三角函数值转化为边的比值，观察线段之间的关系再进行处理。【例6】（2024·全国·模拟预测）设点是圆上的动点，过点与圆相切的两条直线的夹角为，则的最大值为．【答案】【解析】如图所示，圆可化为，则圆心，半径．设切线为，连接，因为圆的半径为2，所以在中，．所以．当点是线段的延长线与圆的交点时，线段的长最大，此时，所以的最大值为．【变式6-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示：因为，，设，则，当时，取得最小值，此时最大，最小，且，故C正确.故选：C【变式6-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，设，，，动点满足，则最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设点，则，，所以，整理可得，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，，，故三点共线，如图所示，当与圆相切时，为锐角且最大，最大，即，由，此时，则.故选：B【变式6-3】（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知圆：与直线：（），过上任意一点向圆引切线，切点为，，若的最小值为，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆：，圆心，半径，由的最小值为，可得．又，，所以的最小值为2，而圆心到直线：（）的距离等于2，即，解得，故选：D．【变式6-4】（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）在中，已知D为边BC上一点，，．若的最大值为2，则常数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令且，即，则外接圆半径为，若，的外接圆方程为，所以，令圆心为，即点在圆被分割的优弧上运动，如下图，要使的最大，只需与圆相切，由上易知，则，而，由圆的性质有，中，，显然，由，则，所以，可得（负值舍），故，而，所以，整理得，则.故选：D【题型7代数式几何意义的最值范围】满分技巧利用代数法的几何意义求最值1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题；2、形如的最值问题，可以转化为点和点距离的平方的最值问题；3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题【例7】（2023·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】圆:可化为表示点到点的距离的平方,因为，所以的最小值为.故选：B.【变式7-1】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知平面四边形中，点，坐标平面内的点满足，则的取值范围是【答案】【解析】设，则，由得，整理得，.表示到点的距离平方，，所以到圆上的点的距离的最小值为，最大值为，所以的范围是，所以的范围是，也即的取值范围是.【变式7-2】（2023·四川凉山·统考一模）已知是曲线上的点，则的取值范围是.【答案】【解析】，由题意可知,作出图形，如图所示，因为是曲线上的点，则表示过点两点直线的斜率，显然当位于处时，有最大值，显然当位于处时，有最小值，所以所以故的取值范围是【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足方程，则的最大值为；的最大值为．【答案】；【解析】由题意得：将方程转化为标准方程：，故的轨迹是以为圆心、1为半径的圆；的几何意义为到距离的平方；如上图可知：当点与重合时，到距离最大，此时，故；因为：，故可设：，所以圆与直线需有交点，即圆心到直线的距离：，解得：，所以：最大值为．【变式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知直线交圆于两点，则的最小值为（）A．9B．16C．27D．30本号资料全部#来源于微信公众号：数学第*六感【答案】D【解析】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为，连接，则，即，所以，即，所以点的轨迹方程为，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设直线为，则到的最小距离为，过分别作直线的垂线，垂足分别为，则四边形是直角梯形，且是的中点，则是直角梯形的中位线，所以，即，即，所以的最小值为30.故选：D.【题型8圆中面积的最值范围】满分技巧与圆有关的面积最值问题一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解。【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，直线交轴于，交轴于，则，圆的圆心到直线的距离，而圆的半径为，于是圆上的点到直线的距离的范围为，所以的面积.故选：C【变式8-1】（2024·广东广州·高三玉岩中学校考开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆C：，即圆C：，圆心坐标，半径为3；由题意过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为，，显然PC最小时四边形面积最小，即，所以所以四边形PACB的面积的最小值为，故选：B.【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为.【答案】【解析】圆C的方程可化为，则圆心为，半径为2，连接PC，则在中，，所以四边形PACB的面积，（由切线长定理知，故）连接CO并延长，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，最大，本号资料全部来源于微信公众号：#数学第#六感此时，所以四边形PACB面积的最大值为.【变式8-3】（2024·山西吕梁·统考一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（）A．B．C．2D．4【答案】B【解析】由题意得，，，，当垂直直线时，，，故选：B.【变式8-4】（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，已知圆：，圆：，过直角坐标原点作直线分别交两圆于过点作直线分别交两圆于，连接，则四边形面积的最大值为【答案】【解析】设轴与圆交于，点，交圆于点，连结，则：，.同理：所以：，设，则

则：，设点到直线的距离为，则：，所以：设，当单调递增，当单调递减，所以当，，.（建议用时：60分钟）1．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．【答案】B【解析】因为，，所以，且两圆的半径分别为，即两圆外离，所以的最小值为.故选：B2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（）A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，，．设，则．因为，所以P是圆A：上的点．又点P与点距离的最大值为，即，所以．故的最大值为17．故选：B.3．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，依题意得点，在直线上，点关于直线对称的点，点在圆关于直线对称的圆上，设，则，解得，且半径为，所以圆，则，设圆的圆心为，因为，所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“”成立．本号资料#全部来源于微信#公众号：数学第六感因此的最大值为5．故选：C4．（2024·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）已知圆上有一动点P，圆上有一动点Q，直线上有一动点M，直线与圆相切，直线与圆相切，则的最小值为（）A．4B．5C．D．【答案】D【解析】由圆可得圆心，半径为，由圆可得圆心，半径为，设直线上有一动点，因为直线与圆相切，直线与圆相切，所以，即，即，设，则,当且仅当三点共线时取等号.故选：D.5．（2022·四川广安·高三岳池中学校考阶段练习）已知点是圆上任意一点，，则（）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最大值是【答案】B【解析】圆的方程可化为，设，且，且，则，当，时，取得最大值，故A错误；，所以当时，取得最小值，故B正确；，所以当时，取得最小值，故C错误；，所以当时，取得最大值，故D错误.故选：B6．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设点，则，过点作圆的切线，切点分别为A，B，则有，，则点A，B在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径，则其方程为，变形可得，联立，可得圆D和圆O公共弦为：，又由，则有，变形可得，则有，可解得，故直线恒过定点，点在圆上，，当时，C到直线AB的距离最大，M到直线AB的距离也最大，本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感则点到直线距离的最大值为.故选:B.7．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）（多选）已知，点到直线：的垂足为，，，则（）A．直线过定点B．点到直线的最大距离为C．的最大值为D．的最小值为【答案】AB【解析】已知，则，故直线过定点，正确；设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确；过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆，而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为，又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误．故选：．本号资料全部来*源于*微信公众号：数学第六感8．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）（多选）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，.记线段，的中点分别为，，则下列结论正确的是（）A．圆的方程为B．四边形面积的最大值为C．弦的长度的取值范围为D．直线恒过定点【答案】AD【解析】设圆心为，则半径为，依题意，，解得，则，因此圆的方程为，A正确；连接,则，又，则四边形为矩形，设，则，，故，所以，当时，四边形面积取到最大值，B错误；当弦过圆心时最长，最大值为4；当弦时最短，最小值为，即弦的长度的取值范围为，C错误；矩形的对角线互相平分，而，则过的中点，D正确.故选：AD9．（2023·湖北荆州·湖北省松滋市第一中学校考模拟预测）（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（）A．直线恒过定点B．直线被圆截得的弦最长时，C．直线被圆截得的弦最短时，D．直线被圆截得的弦最短弦长为【答案】ABC【解析】对于选