第58讲、两条直线的位置关系（学生版）

第58讲两条直线的位置关系知识梳理知识点一：两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一个为0，另一个不存在．知识点二：三种距离1、两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离2、点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离3、两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4、双根式双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．【解题方法总结】1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为2、点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4、直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程5、常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．6、过定点直线系过已知点的直线系方程（为参数）．7、斜率为定值直线系斜率为的直线系方程（是参数）．8、平行直线系与已知直线平行的直线系方程（为参数）．9、垂直直线系与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．10、过两直线交点的直线系过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．必考题型全归纳题型一：两直线位置关系的判定例1．（2024·高二课时练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（

）A． B．C． D．例2．（2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点和点的直线为l1，.若，则的值为（

）A． B．C．0 D．8例3．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线，，则是的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）直线：与直线：平行，则（

）A．或 B． C． D．变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知直线：，：，则条件“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件变式3．（2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直线，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（

）A． B．C． D．变式5．（2024·甘肃陇南·高三统考期中）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为A． B． C． D．变式6．（2024·全国·高三专题练习）直线，直线，下列说法正确的是（

）A．，使得 B．，使得C．，与都相交 D．，使得原点到的距离为3变式7．（2024·全国·高三对口高考）设分别为中所对边的边长，则直线与直线的位置关系是（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合【解题方法总结】判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：当时，直线相交；当时，直线平行或重合，代回检验；当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．题型二：两直线的交点与距离问题例4．（2024·全国·高三专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．例5．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（

）A．个 B．2个 C．个 D．无数个例6．（2024·全国·高三专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．个 B．个C．个 D．个变式8．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（

）A． B．2 C． D．4变式9．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式10．（2024·高二课时练习）已知点、、，且，则.变式11．（2024·全国·高二专题练习）已知点与点间的距离为，则．变式12．（2024·全国·高二课堂例题）已知点，，，则的面积为．变式13．（2024·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则.变式14．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点到直线的距离的最大值是．变式15．（2024·高二课时练习）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为．变式16．（2024·江西新余·高二校考开学考试）若点到直线的距离为3，则.变式17．（2024·全国·高三专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程：.变式18．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线与平行，则与间的距离是.变式19．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线与之间的距离为．变式20．（2024·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为．【解题方法总结】两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．题型三：有关距离的最值问题例7．（2024·北京·高三强基计划）的最小值所属区间为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对例8．（2024·全国·高三专题练习）已知实数，满足，，，则的最小值是．例9．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为．变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为.变式22．（2024·全国·高二课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．变式23．（2024·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．变式24．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．变式25．（2024·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6变式26．（2024·高二课时练习）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标．变式27．（2024·天津和平·高二天津市汇文中学校考阶段练习）在直线上求一点P，使得：(1)P到和的距离之差最大；(2)P到和的距离之和最小.变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为(

)A． B．C． D．变式29．（2024·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（

）A．4 B． C． D．变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式31．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（

）A． B． C．5 D．10变式32．（2024·全国·高二专题练习）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（

）A． B．3 C． D．【解题方法总结】数学结合，利用距离的几何意义进行转化．题型四：点点对称例10．（2024·全国·高三专题练习）已知，，点是线段的中点，则.例11．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为.例12．（2024·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于变式33．（2024·高一课时练习）已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为．【解题方法总结】求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得题型五：点线对称例13．（2024·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（

）

A．， B．，C．， D．，例14．（2024·全国·高二专题练习）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．例15．（2024·全国·高二假期作业）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．变式34．（2024·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（

）A． B．6 C． D．变式35．（2024·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（

）A． B．C． D．变式36．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（

）A． B． C．1 D．2【解题方法总结】求点关于直线对称的点方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得题型六：线点对称例16．（2024·高二课时练习）直线关于点对称的直线的方程为．例17．（2024·全国·高二专题练习）直线关于点的对称直线方程是．例18．（2024·河北廊坊·高三校考阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为.变式37．（2024·全国·高三专题练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为．变式38．（2024·辽宁营口·高三统考期末）若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为.变式39．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是.【解题方法总结】求直线l关于点中心对称的直线求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．题型七：线线对称例19．（2024·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．例20．（2024·全国·高三专题练习）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．4例21．（2024·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（）A． B．C． D．变式40．（2024·全国·高三专题练习）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．变式41．（2024·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线为（

）A． B． C． D．变式42．（2024·全国·高三专题练习）如果直线与直线关于直线对称，那么（

）A． B． C． D．变式43．（2024·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0变式44．（2024·全国·高三专题练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B．C． D．