抛物线中的常考二级结论与模型【7类题型】（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学抛物线中的常考二级结论与模型近两年新高考中抛物线较多出现在多选题，从备考出发需要加深对抛物线常考二级结论和模型的研究，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤，研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．近3年考情考题示例考点分析关联考点2023年新高考II卷，第10题抛物线焦点弦的几何性质抛物线解析式，焦点坐标抛物线与圆2022年新高考I卷，第11题直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线是否相切，距离公式与弦长公式2022年新高考II卷，第10题抛物线焦点弦的几何性质综合含参抛物线的运算2021年新高考I卷，第14题已知斜率，求焦点弦长弦长公式2020年新高考，第13题由垂直关系求抛物线的准线方程利用向量数量积处理垂直关系总览总览题型解读【题型1】抛物线焦半径角度型公式的应用 7【题型2】联立韦达化处理（选填常考） 14【题型3】阿基米德三角形模型（双切线模型） 26【题型4】抛物线与圆 36【题型5】过焦点的直线与准线相交 42【题型6】中点弦问题（点差法） 48【题型7】最值与范围 53模块一模块一高考真题再现1．（2023·全国·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）本号资料全部来#源于微信公众号：数学第六感A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．4．（2020·山东·高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=．5．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.模块二模块二高考模拟·新题速递【题型1】抛物线焦半径角度型公式的应用如图，过抛物线焦点F的直角与抛物线交于，两点，直线与x轴夹角为θ，则较长的焦半径，较短的焦半径，焦点弦，补充：

【证明】：别过，作x轴的垂线，垂直为H，M，易知AHTP，BMTQ为矩形在△中，由抛物线定义可得：，则，解得；在△中，由抛物线定义可得：，则，解得2024·湖南衡阳·二模已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），（为坐标原点），，则．2024·云南楚雄·模拟预测已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（

）A． B．1 C．2 D．4（2024·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是.已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为.（多选）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（）A． B．C． D．2024届·辽宁大连统考（多选）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（

）A．若，则中点到轴的距离为4B．弦的中点的轨迹为抛物线C．若，则直线的斜率D．的最小值等于9(多选)如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（）A. B.四边形的面积为100C. D.的取值范围为【题型2】联立韦达化处理（选填常考）一、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点则,.二、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则有.②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么本号资料全部来源于微*信公众号：数学*第六感.③若恒过定点.④以为直径的圆必与准线相切.⑤若的中点为，则(梯形中位线)⑥为定值.三、一般弦长设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）.（多选）已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（

）A．若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8B．若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为C．设，则的最小值为D．若，则直线AB过定点2024·江苏南通·二模设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（）A． B． C． D．2024·江苏·一模在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为；的值为.2024·广东湛江·一模（多选）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（

）A．B．若以线段AB为直径的圆过点F，则C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切（2024·黑龙江·二模）已知抛物线，经过焦点斜率为的直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的值为.（多选）如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（A在轴的上方，在轴的下方），过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（

）A．当直线的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2C．存在直线使得 D．若，则直线的倾斜角为（多选）已知点是抛物线，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是（

）A． B．直线的斜率是C． D．设原点为，则的面积为2024·福建·模拟预测（多选）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N，，则（）A． B．∠ADB是锐角C．是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形2024·湖南常德·三模（多选）过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆过坐标原点B．C．若直线的斜率存在，则斜率为D．若，则（多选）已知抛物线：的的焦点为，、是抛物线上两点，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为已知抛物线.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形面积的最小值为．【题型3】阿基米德三角形模型（双切线模型）一、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1：MF⊥AB性质2：MA⊥MB性质3：MN∥x轴性质4：S△ABM最小值为p²对于点A，B:①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点对于点M③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”二、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）【性质1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.【性质5】，设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____（多选题）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（

）A．点在抛物线的准线上 B．C． D．若，则的值为2024届嘉兴市统考已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（

）A．B．若，则点处的切线方程为C．存在点，使得D．面积的最小值为4（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（

）A． B．C． D．以为直径的圆过点（多选）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（

）A．抛物线的方程是 B．C．当时， D．2024届·广东省四校第一次联考过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点【题型4】抛物线与圆设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.（多选）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（

）A．B．准线方程为C．以线段为直径的圆与的准线相切D．直线的斜率之积为定值（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（

）A．B．弦AB的长度最小值为lC．以AF为直径的圆与y轴相切D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切（多选）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（

）A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切B．直线过焦点时，的最小值为6C．若坐标原点为，且，则直线过定点D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上（2024·福建漳州·模拟预测）（多选）点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为.B．周长的最小值为.C．当最大时，直线的方程为.D．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1.【题型5】过焦点的直线与准线相交一、结合锐角三角函数与相似二、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即看到准线想到焦点，看到焦点想到准线（2024·海南·模拟预测）已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于两点，与的准线交于点（点在线段上），，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过焦点F作斜率为的直线分别交抛物线C和准线l于点P，Q，若点P在第一象限，则.（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则．本号资料全部来源于微信公众号*：数#学第六感（2023·广东茂名·三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是.抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则，．

【题型6】中点弦问题（点差法）设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则证明：设,,代入抛物线方程得，，将两式相减，可得，整理可得已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为.已知抛物线的一条弦恰好以点为中点，弦的长为，则抛物线的准线方程为（

）A．B．C．D．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是2024届·长沙市第一中学高三下学期月考（七）过抛物线的焦点F的直线交E于点A，B，交E的准线l于点C，，点D为垂足．若F是AC的中点，且，则（

）A．4 B． C． D．3（多选）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．是定值C．是定值 D．【题型7】最值与范围一、圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、与抛物线焦半径有关的最值问题的转换方法本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决（2024·河北邯郸·三模）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（

）A．13