第50讲、外接球、内切球、棱切球（教师版）

第50讲外接球、内切球、棱切球知识梳理知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知识点五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．知识点九：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形必考题型全归纳题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为【答案】【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得，则正方体的对角线长为，设正方体的外接球的半径为，可得，解得，所以外接球的表面积为.故答案为：.例2．（2024·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为．【答案】【解析】该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为，由，可得，所以球的表面积.答案：例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球的表面积是【答案】【解析】由题意可知：长方体的长宽高为2，3，4，所以长方体的体对角线长为：，故长方体的外接球的半径为，球的表面积为：，故答案为：变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为.【答案】【解析】因为长方体的外接球的表面积为，设球的半径为，由题意，，，长方体的外接球的一条直径为.因为，，所以，，则长方体的体积为.故答案为：变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为．【答案】【解析】由题意，根据长方体外接球的性质，可得，，该长方体的外接球的表面积.故答案为：.题型二：外接球之正四面体模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．【答案】【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，所以该正四面体的表面积为，所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，所以球O的体积为．故答案为：例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．【答案】【解析】如图所示：因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为，则正四面体为，设球的半径为R，则，解得，所以则正方体的棱长为，所以正四面体的棱长为，故答案为：例6．（2024·全国·高三专题练习）棱长为的正四面体的外接球体积为.【答案】【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.设立方体的外接球半径为，则，所以立方体外接球的体积.故正四面体的外接球体积为.故答案为：变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为.【答案】【解析】由图可知正四面体的外接球的体积等于正方体的外接球的体积，求正方体外接球体积即可．如图，由题可得正四面体与正四面体全等，所以正四面体的外接球的体积等于正四面体的外接球的体积，也即是正方体的外接球的体积，因为正方体棱长为1，所以外接球直径为，所以正方体的外接球的体积为：，所以正四面体的外接球的体积为．故答案为：．变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为.【答案】【解析】设正四面体的边长为，则该正四面体每个面的面积为，正四面体的侧面积与底面积之差为，解得.如下图所示：过点作平面，垂足为点，连接，可知外接球球心在上，设球的半径为，的外接圆半径为，，由图可知，，即，解得.因此，正四面体的外接球体积为.故答案为：.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2024·高一单元测试）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．故答案为．例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设四面体的外接球的半径为,则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，则故，故四面体ABCD外接球的体积为，故选：C例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有，整理得，则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有，所以所求的球体表面积为：．故选：A．变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，则，，，解得，，．所以三棱锥外接球的半径．三棱锥外接球的体积．故选：C题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．【答案】52π【解析】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则，正六棱柱的体积，当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点，其半径为，∴外接球的表面积为．故答案为：．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，因为，所以.于是（是外接圆的半径），.又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得.因此.于是直三棱柱的表面积是.故选：D.例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C【解析】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，则，所以，则，外接圆的半径为，所以棱柱外接球的半径为，令，则，则，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则该三棱柱外接球表面积最小值为.故选：C.变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱的体积为，则其外接球表面积的最小值为（）A．12π B．6π C．16π D．8π【答案】A【解析】设正三棱柱底边为，高为，外接球半径为，如图所示，取上下底面正三角形的的中心分别为（D在中线CE的三等分点靠E处），易知三棱柱的外接球球心在的中点处.故由题意可得:外接球表面积为：当且仅当时取得最小值.故选：A变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱中，已知，侧面，且直线与底面所成角的正弦值为,则此三棱柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三棱柱如图所示，因为，所以该三棱柱为直三棱柱.因为侧面，所以三条侧棱两两互相垂直.所以为直线与底面所成角，所以，则.因为所以.将三棱柱补成长方体，设外接球的半径为，所以，所以.故选D.变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B．60 C． D．【答案】D【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，∵正△的边长为6，则∴外接球的表面积.故选：D．题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为．【答案】【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．设正三棱柱的上下底面的中心分别为，则外接球的球心为的中点，的外接圆半径为，，所以球的半径为，所以四面体外接球的表面积为，故答案为：．例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为．【答案】【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，设球心为O，作平面，则为的外接圆圆心，连接，则，设的外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，由正弦定理，得，所以，中，，所以，解得，所以．故答案为：．例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为.【答案】【解析】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，设是PA中点，因为，所以，因为平面平面ABC，所以，因此，因此四边形ODAG是平行四边形，故，∵，∴，又外接圆的半径，由正弦定理得，所以该外接球的半径满足，所以外接球的表面积为.故答案为：．变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为.【答案】/【解析】设，则，取正三角形的外心为，设四面体的外接球球心为，连接，则平面，又平面，则，则平面截球所得截面为大圆，又，则又底面外接圆的半径，所以三棱锥外接球的半径.当时，有最小值，所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.故答案为：变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为．【答案】/【解析】如图，分别取、、、的中点、、、，连接、、、、，可得，，则为异面直线与所成角，∴，由面，而，故面，面，则，设，可得，，，，则，在中，由余弦定理，可得，，解得，设底面三角形的中心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面，由底面三角形是边长为2的等边三角形，可得，∴为三棱锥外接球的球心，∴，则，，又，可得，则三棱锥的外接球的半径．∴三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为.【答案】【解析】取中点，中点，连接，则，因为底面，所以平面，因为四边形是菱形，则，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱锥的外接球体积为．故答案为：．变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥中，平面BCDE，，，，且，则该四棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】连接，因为，，所以在直径为的圆上，取的中点，即四边形外接圆的圆心，在中，即，解得，所以四边形外接圆的直径即外接圆的直径为，所以，因为平面BCDE，所以四棱锥的外接球的球心与底面的距离为，所以四棱锥的外接球的半径为，对应的表面积为故答案为：变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的体积是．【答案】【解析】如图,将三棱锥还原成直三棱柱,设三棱柱的外接球球心为,分别为上下底面的外心,则为的中点,为底面外接圆的半径,所以球心O到面的距离为,由正弦定理有:,所以,.故答案为:.题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．【答案】【解析】如图，是正四棱锥的高，而，则，，显然正四棱锥的外接球的球心O在直线上，令，则，在中，，解得，所以该四棱锥的外接球体积为.故答案为：例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为【答案】【解析】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，∴，∴，PQ＝3．球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则，，在中，，即，解得，∴球O的表面积为．故答案为：.例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为.【答案】【解析】在正三棱锥中，取的中点E，连接，，如图，由，，得，，又，平面，，则平面，而平面，于是，又，,平面，因此平面，而平面，从而，，且，由，得，，由于两两垂直，则以为棱的长方体与三棱锥有相同的外接球，于是三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为：变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.【答案】/【解析】设顶点P在底面的投影为（为等边的中心），则该三棱锥外接球的球心O在上，连接，因为底面，则侧棱与底面所成的角为，可得，设棱锥外接球的半径为R，因为，即，解得，所以外接球的表面积为.故答案为：.变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球体积为．【答案】【解析】在正三棱锥中为等边三角形，顶点在底面的射影为底面的重心，所以，又，，所以，所以，同理可得、，即，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径，所以三棱锥的外接球体积.故答案为：变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（

）

A．64 B． C． D．【答案】B【解析】设外接球球心为，等边三角形的外心为，等边三角形的外心为，三点共线，则是正三棱台的高，设台体的高为，设外接球的半径为，过作，垂足为，根据正棱台的性质可知，所以平面，平面，所以，设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.在直角三角形中，，所以.当球心O在线段上，则，解得，当球心O在的延长线上时，则，无解，所以正三棱台的外接球表面积为.故选：B变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，，，为外接球球心，设外接球半径为R，分别为棱台上下底面的中心，则，由勾股定理得：，，设，则，，故，解得：，故，故球的表面积为.故选:B变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】如图所示：连接交于点，连接，则平面ABCD，因为正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，所以，设外接球的半径为R，易知球心O在线段上，在中，，即，解得，所以外接球的表面积为，故答案为：变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为．【答案】【解析】如图所示：作平面，垂足为H．连接，则H为的中点．设，则，，从而，故四棱锥的体积为，解得．由题意可知正四棱锥外接球的球心O在上，连接．设正四棱锥外接球的半径为R，则，即解得，故该四棱锥外接球的体积为．故答案为：变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】图1设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，，根据边长关系，知该棱台的高为，则，由，且四边形为直角梯形，，，可得，则，当且仅当，即时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上.显然球心M在所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然则，有，即解得，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然即，即解得，，此时，外接球的表面积为.故选：D.题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以，所以是以为斜边的直角三角形，因为，所以点P在平面内的射影是的外心，即斜边的中点，且平面平面，于是的外心即为三棱锥的外接球的球心，因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径．因为，，所以，于是，根据正弦定理知的外接圆半径R满足，所以三棱锥的外接球半径为，因此三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为．【答案】/【解析】取的中点，连接，因为，所以和都是等边三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，因为，公共边，所以≌，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为故答案为：例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】如图：过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则都是直角三角形，又，同理可得，，所以M点是的外心；又，是以斜边的直角三角形，在底面的射影为斜边的中点，如下图：则，设三棱锥外接球的球心为，半径为，则在上，则，即，得，外接球的表面积为；故答案为：变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为.【答案】【解析】设，则，因为，则，在中，因为，则，由余弦定理可得，即，解得，可知，即，所以两两垂直，可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，可知球O即为正方体的外接球，其体对角线即为外接球的直径，即，所以球O的体积.故答案为：.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为A． B． C． D．【答案】A【解析】取中点为，连接，易知在中：又平面为外心球心在上设半径为，球心为在中：故答案选A变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接过作∥,且=，连接，则∵△为等边三角形，则∴，，根据题意可得∵，则由题意可得，则，则如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接，则∴△的外接圆半径，则设棱锥的外接球的半径为，则即，解得三棱锥的外接球的表面积为故选：D．变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C．s D．【答案】D【解析】作出图形，根据题中数据证明出平面平面，并找出球心的位置，列等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果.如下图所示：取的中点，连接、，设和的外心分别为点、，分别过点、作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心，由题意可知，和都是边长为的等边三角形，为的中点，，且，，，，，平面，平面，平面平面，易得，，平面，平面，，同理可得，则四边形为菱形，，菱形为正方形，平面，平面，，所以外接球的半径为，因此，四面体的外接球的表面积为.故选：D.题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.【答案】【解析】由题设，圆锥体的高为，若外接球的半径为，则，可得，所以圆锥的外接球的体积为.故答案为：.例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为.【答案】/【解析】作圆锥的轴截面，则该轴截面等边△的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且△ABC外接圆半径等于圆锥的外接球半径，如下图所示，因为圆锥的侧面积，所以,设球的半径为R，由正弦定理得，因此，这个球的表面积为.故答案为：例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.【答案】【解析】设球的半径为，则圆柱的表面积，球的表面积，所以.故答案为：.变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】设球的半径为，则，所以，，取圆台的轴截面，如下图所示：设圆台的上、下底面圆心分别为、，则、分别为、的中点，连接、、、、、，则，由垂径定理可知，，，所以，，，因为，，，所以，，所以，，所以，，所以，，则，因此，圆台的侧面积为，故选：D.变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得圆台的高为，设圆台的上下底面圆心为，，，球的半径为，当圆台的两个底面在球心异侧时，，所以，解得，；当圆台的两个底面在球心同侧时，，，解得，，此时，不合题意，舍去，故球的体积，故选：B．变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，连接，如图，因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以，，所以，,所以，所以圆台体积.故选：D.题型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为.

【答案】/【解析】作出底面的外心，侧面的外心，取中点，连接，因为平面平面，面平面，因为是边长为2的等边三角形，所以，又因为平面，所以平面，由球的性质可得平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，故，在中，因为，，则，设的外接圆半径为，根据正弦定理有，则，设三棱锥外接球的半径为，则，则外接球的表面积为.故答案为：.例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．【答案】【解析】如图，取BC中点G，连接AG,DG，则，，分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，由，所以正方形OEGF的边长为，则，所以四面体的外接球的半径，球O的表面积为．故答案为：．例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】因为，所以的外接圆圆心即点，三棱锥外接球球心在过点与平面垂直的直线上，由于平面平面即球心在平面内，所以球心即为的外接圆圆心，球的半径即为的外接圆半径.因为，所以，从而.设，在中，根据余弦定理有，所以，由正弦定理得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为．【答案】【解析】取的中点E，连接AE，如图．因为，所以．又面面，面面，且面，所以面，面，所以．在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．又AE，面，且AE，相交，所以面，面，所以．设，则，解得，所以．所以三棱柱外接球的表面积．故答案为：变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥中,平面平面ABC,,,,为等边三角形,则三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】因为平面平面,平面平面,平面,所以平面;如图,因为,所以三角形的外心即为中点,过三角形的外心作平面的垂线,过三角形的外心作平面的垂线,则两垂线必相交于球心,连接,则外接球半径.在中,,,所以,所以表面积.故答案为:.变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为.

【答案】【解析】在平面四边形中设，即在Rt中，.在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得.设三棱锥外接球球心为，则平面.又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，则，所以四边形为直角梯形.设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于，在中，为的中点，，由，所以.令，则，因为，当且仅当，即时（满足）等号成立.所以，所以外接球表面积的最小值为.故答案为：变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】如图所示，作中点，连接、，在上作的中心，过点作平面的垂线，在垂线上取一点，使得，因为三棱锥底面是等边三角形，是的中心，所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，又因，则即为球心，因为平面平面，，，平面平面，，所以平面，，，，，设球的半径为，则，，即，解得，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为．

【答案】【解析】设，由矩形的性质可知：，则三棱锥的外接球的球心即为，半径，所以三棱锥的外接球的体积.故答案为：.变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为.【答案】【解析】依题意，点是三棱锥外接球的球心，设球的半径为是外接圆的圆心，设圆的半径为，点到底面的距离为，由题意，可得，则.因为是边长为3的正三角形，所以由正弦定理，可得，则.所以三棱锥的体积为，三棱锥的体积取最大值则需要最大.由题意可知，点在过且与底面（此处底面为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点运动到该圆的最高点时，最大.取的中点，连接，过点作.如图所示，由圆的对称性可知，此时，则.又平面平面，且平面平面平面，所以平面.因为在中，，又，所以.易得四边形为矩形，所以.因为在中，，所以，所以.故答案为：.变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥中，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积的最小值为．【答案】【解析】如图，取中点，连接，，由，则，，由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，而面，所以，设，，则，易知，，取外接圆的圆心，易知在直线上，设外接圆半径为，由正弦定理，，同理，取外接圆的圆心，则在直线上，，过，分别做平面和平面的垂线交于点，易证，，∴，为三棱锥外接球的球心.①当时，，，，，分别在线段，上，易知，设三棱锥外接球的半径为，则，，由基本不等式，，当且仅当，即时，等号成立.②当时，，，，，分别在线段，的延长线上，如下图所示，此时，，∵，∴，且无最小值.综上所述，的最小值为，∴三棱锥的外接球表面积的最小值为.故答案为：.变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为.【答案】【解析】在平面图形中设，即Rt中，.在中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得.设三棱锥外接球球心为，则平面.又平面平面，交线为平面四边形为直角梯形.设外接球的半径为，在平面中，过做于，在中，为的中点，.令，则，当且仅当时，即时（满足）等号成立.所以球表面积最小值为.故答案为：.题型十：外接球之二面角模型例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；在平面ABC内，设，则，，因为，所以，所以，所以令，则，所以，当且仅当时取等，故选:B例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正的重心为，则是正的外接圆的圆心，取的中点，因为，所以是的外接圆的圆心，过作平面，过作平面，，如图，则为四面体的外接球的球心，又二面角的大小为，则，又在正中，，则在中，，设四面体PABC的外接球的半径为，则，所以四面体PABC的外接球的表面积为.故选：C.例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为点均在球的表面上，所以四边形内接于圆，所以，所以，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角为，所以，在中，因为，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圆的直径为：，即四边形外接圆的直径为，因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为：所以四面体外接球的表面积为.故选：B.变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【解析】如图所示，取的中点，连接，分别取和的外心与，过两点分别作平面和平面的垂线，交于点，则就是外接球的球心，连接，则为二面角的平面角，即，则是等边三角形，其边长为，，在中，，所以，又由，所以，所以四面体的外接球的表面积为.故选：A.变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥，如图2．若二面角的大小为，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，取AC的中点E，AB的中点F，连接ME，EF．因为，所以．易知，因为，所以，所以．过点E作OE⊥平面MAC，过点F作OF⊥平面ABC，，连接OA，易知E，F两点分别是△MAC和△ABC的外心，所以点O是三棱锥的外接球的球心．因为，所以，，所以，因为，，所以，所以，又，所以，则三棱锥的外接球的半径为，所以外接球的表面积．故选：C.变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在中，，，，，沿将折起，使得二面角为60°，得到三棱锥，如图2，若，则三棱锥的外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，平面，平面，所以平面．又平面，则，因为平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，即90°．因为为60°，所以60°，在中，，可得，．易知，的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示，则该长方体的外接球即为的外接球，球心PC的中点，，表面积为，故A正确．故选：A.变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接，因为，所以到的距离相等，故即为球心．由球的表面积等于，设外接球半径为，故，解得，过作垂直于于点，因为，，所以，同理，过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点.因为，，且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面，则为三棱锥的高，故三棱锥的高为，其中，所以三棱锥的体积．故选：B.变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，设E，F，G分别是BC，AC，BD的中点，则，因为，所以，则二面角的平面角为，且平面EFG，又因为，所以，所以，因为平面EFG，所以，所以平面ABC．又因为F是外接圆的圆心，所以FG经过球心，且G是外接圆的圆心，所以G是三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为，则，故三棱锥外接球的表面积．故选：D.题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中点，连接，因为，，所以，.因为平面平面，所以平面.设，所以，所以球的体积为.故选：例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由是其外接球的直径，得中点是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．求出中长（用余弦定理），由正弦定理求得外接圆半径，求出面积，求体积求出，从而可得外接圆半径，得表面积．如图，是中点，则是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．∵，，∴，，，，，，∴，．故选：D.例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,是边长为的等边三角形,三棱锥的体积为,则球的表面积为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】画出其立体图像,如图:设中点为为球的直径,故点为三棱锥外接球的球心.设外接圆的圆心为是边长为,故外接圆半径为:.故是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得:三棱锥的体积为根据三棱锥体积公式可得:可得,解得:根据几何关系可知:在中,有根据球的表面积公式为故选:A.变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为A． B． C． D．【答案】B【解析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离为由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为A． B． C． D．【答案】B【解析】如图：由题意，是球的直径，，，，，，，，球的半径为，球的表面积为，故选：．变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为A． B． C． D．【答案】B【解析】连接AO,BO因为PA=AC,PB=BC,所以和为等腰三角形,又因为为球O的直径,所以O为PC的中点,所以,又因为平面PCA平面PCB,所以BO,又因为所以平面PBC,设半径为r，则

，所以，故选B．变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，，三棱锥的体积为，则球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，，三棱锥的体积为，所以，解得三棱锥的高为，设为三角形的外接圆的圆心，连接，则平面，因为为该球的直径，所以，连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为，由勾股定理可得球半径球的表面积为，故选D.变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意作出图形如图示.设球心为O，球的半径r.过三点的小圆的圆心为，则⊥平面，延长交球于点，则平面.所以.因为为的中点，所以因为是边长为4的等边三角形，所以.且.由勾股定理得：.所以.所以三棱锥的体积为，解得：.所以该三棱锥的外接球的表面积为.故选：D变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知是球的直径，是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【解析】设球心为是球心的直径，是的中点，，设到面距离为，则，即，由正弦定理可得外接圆直径为球半径为，球表面积为，故选D.题型十二：外接球之共斜边拼接模型例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴，又底面ABCD，∴，∴平面PBD，∴，即，取PC的中点M，如下图：连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，在中MO=PC，∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，在中，由于，O是AC的中点，所以是等腰三角形，

，外接球半径为，外接球的体积为；故选：B．例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，则，所以，又因为，，，则，所以，由，，，则，所以，又由，，，则，所以，可得为三棱锥的外接球的直径，又由，所以此三棱锥的外接球半径为，所以球的表面积为．故选：C．例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，因为，所以，则，所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，因为，，所以，所以，因为，所以平面AOB，所以，解得，所以其外接球的体积为，故选：D变式47．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．∴外接球的半径．故．选C．变式48．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为【答案】1【解析】是公共的斜边，的中点是球心，球半径为．题型十三：外接球之坐标法模型例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取，则是长方体，其对角线长为，∴四面体外接球半径为．，故选：B．例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为【答案】【解析】如图将正方体补全，依题意可得、、、为正方体底面边上的中点，要使球的表面积最小，即为求的外接球的表面积，如图建立空间直角坐标系，则，，则几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，设球心为，球的半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的表面积，即该球表面积的最小值为.故答案为：例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为.【答案】【解析】过C作面于H，则三棱锥的体积为，所以，取AD中点M，连接CM，MH，因为为等边三角形，所以，又面，面，所以，又，所以面，面，所以，在中，所以以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系，设球心，在面的投影为，由得，所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设由得，解得，所以，故外接球的表面积为，故答案为：变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；故选：B变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，于是，则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为．故选：B.变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为．【答案】【解析】设三棱锥外接球球心为，半径为R，则在过直角斜边的中点与平面垂直的直线上，且满足.以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设球心，，又，设，，则，由，得，则，由，，可得，又，所以当时，取最小值，最小值为，所以三棱锥外接球表面积的最小值为.故答案为：.变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱､的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为.【答案】【解析】以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系.则，设，球心，，又.联立以上两式，得，所以时，，为最小值，外接球表面积最小值为.故答案为：.变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为．【答案】【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，设为的中点，为三棱锥外接球的球心，则为外接圆的圆心，平面，，设，则，所以，化简得，所以，所以球的半径.故答案为：.题型十四：外接球之空间多面体例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为．【答案】【解析】设正方体的中心为，为棱的中点，连接，则为矩形的对角线的交点，则，同理，到其余各棱的中点的距离也为，故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，故答案为：例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.【答案】【解析】因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，序曲其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，则垂直于平面与平面，则,所以，解得，所以该截角四面体的外接球的表面积为,故答案为：例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于．【答案】【解析】设正四棱锥底面的正方形为，顶点为，棱的三等分点为点和点，棱的三等分点为点和点，连接与交于点，连接，，，，，则底面，如图所示，因为正四棱锥的棱长是6，即，所以，所以，即，所以正四棱锥的外接球的球心为点，，又因为，，，所以，则,同理可证，则,又因为，，，所以，则，同理可证出该几何体其他顶点到点的距离都相等，故剩下的几何体的外接球的球心也为点，，所以在中，，解得，即剩下的几何体的外接球的半径为，故剩下的几何体的外接球的表面积：，故答案为：．变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：设上下底面的中心分别为，设该“四角反棱柱”外接球的球心是，显然是的中点，设的中点为，连接，过做，垂足为，因为，，所以，在直角三角形中，，所以有，于是有，在直角三角形中，，所以该“四角反棱柱”外接球的表面积等于，故选：B题型十五：与球有关的最值问题例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为.【答案】【解析】如图所示，取的中点为，连接，因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面，因为平面，所以，设，在直角中，，同理，所以，整理得到，又由，当且仅当时等号成立，即时，的面积取最小值，因为平面，平面，所以，所以，又因为为直角三角形，故，所以为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，可得外接球的直径为，所以外接球的体积为.故答案为：.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【解析】由余弦定理得：设，则，由得：，解得：，因为，故由基本不等式得：当且仅当，且时，即时取最小值.底面三角形外接圆半径，.故答案为：例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为.【答案】【解析】如图以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取的中点，连接，，，得，，，，，所以，，，因为，，所以，，所以平面，因为，点又在平面上，所以点在直线上，则，当的面积取得最小值时，线段的长度即为点到直线的距离，即时，面积最小，由，，为直角三角形，可得，，，过点作交平面于点，连接，，可以得到直三棱柱，向外构建长方体，则三棱锥外接球即可以为长方体的外接球，设外接球的半径为，所以，即，则外接球体积为.故答案为：变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为．【答案】【解析】由勾股定理得：，设BP=x，，则，，，由得：，解得：，因为，故由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其中长方体的外接球的直径为，故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为.【答案】【解析】如图所示：设球心为所在圆面的圆心为，则平面．因为为等腰直角三角形且，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的表面积为.故答案为：．变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．【答案】【解析】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为，则平面ABCD，平面SAB．因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，所以，，由勾股定理得，所以球O的表面积．故答案为：变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为.【答案】/【解析】正中，为的中点，则，而平面，平面，即，而，平面，则平面，平面，有，又，因此，与的斜边中点到点A，B，M，P的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，从而，点O是三棱锥外接球球心，设球的半径为，有，的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图，则有，即到平面的距离为，因此到平面距离的最大值为，又，即有，解得，，，所以球的体积为.故答案为：变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为.【答案】/【解析】依题意，三角形为正三角形，面积为，设四面体的高为，则，解得，设球心为O,三角形的外接圆圆心，当四面体体积最大时，三点共线，如图，三角形所在平面截球得到的圆为三角形的外接圆，其半径，连接球心和三角形的外接圆圆心，则平面，设球的半径为，，，解得，这个球的表面积为，故答案为：题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，即球的体积为.故选：B.例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故，故的内切圆的半径为.因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，故直三棱柱的高为2.将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为，故外接球的的表面积为.故选：D.例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（

）A．4 B．16 C．8 D．64【答案】D【解析】根据球的体积公式，，解得.因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为，故正方体的体积为.故选：D.变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半径，则内切球的半径，正三棱柱的高．设正三角形的外接圆半径为R，易得，所以外接球的半径．所以它的外接球与内切球体积之比为．故选：C变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正三棱柱的底面边长为高为，对三个侧面进行展开如图，要使线段的最小值是，则连接（左下角，右上角），此时在连接线上，故①，因为正三棱柱内部存在一个半径为的内切球，所以整理得，将代入①可得，所以正三棱柱的底面外接圆半径为，所以正三棱柱的外接球半径为，所以该棱柱的外接球表面积为故选：B变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点设正六棱柱的底面边长为若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径，即外接球的半径则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为故选：C．变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4，又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱的体积为h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝．故选：B．题型十七：内切球之正四面体模型例49．（2024·高一课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，，设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，由等体积法可得，解得，因此，该正四面体的内切球的体积为.故选：D.例50．（2024·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设正四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点，作平面于，则为中心，则，.，，，又，，内切球表面积.故选：.例51．（2024·江苏·高一专题练习）正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，令正的中心为，连接，显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，即，而，则，在中，，解得，，所以它的内切球与外接球的表面积之比为.故选：D题型十八：内切球之棱锥模型例52．（2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点，由矩形的性质可知，即为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径；因为，，平面，可得平面，平面，则，且，，平面，可得平面，平面，则，故该四面体的四个面都是直角三角形，设四面体的内切球的半径为，因为内切球与四面体的四个面都相切，故满足，则，解得；因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为.故选：C.例53．（2024·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥，则，过P作底面垂线，垂足为H，则，所以，则，故其内切圆表面积为，故选：B．例54．（2024·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，在三棱锥中，，，三棱锥是正四面体，是的中心，平面，三棱锥的内切球的表面积为，，解得球的半径，设，则，，，，，，解得，，此三棱锥的体积为.故选：D.变式64．（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为平面，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均为直角三角形，设球的半径为r，则，而，，所以，解得，所以球的表面积为，故选：A.变式65．（2024·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，即为，如图，在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，为正八面体的中心，平面，平面，则，，.在中，，则该正八面体的体积，该八面体的表面积设正八面体的内切球半径为，，即，解得，.故选：C.变式66．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为四面体四个面都为直角三角形，平面，所以，，设四面体内切球的球心为，半径为，则所以，因为四面体的表面积为，又因为四面体的体积，所以，所以内切球表面积.故选：C.题型十九：内切球之圆锥、圆台模型例55．（2024·全国·高三专题练习）在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心在上，到的距离相等为球的半径，设其为，因为是直角，所以是正方形，即，由得，即，解得，球体积为．故选：C．例56．（2024·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示：设该圆锥的内切球的半径为，则，所以，，因此，球的体积为.故选：C.例57．（2024·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（

）A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为【答案】B【解析】由题设，底面直径，故半径为，体高为，所以圆锥的体积为，A正确；圆锥的表面积为，B错误；底面周长为，侧面展开扇形半径为2，故圆心角为，C正确；由轴截面是腰长为2的等腰直角三角形，圆锥的内切球最大截面为其内切圆，所以内切球半径为，故球体表面积为，D正确.故选：B变式67．（2024·贵州贵阳·