基本不等式及其应用12种常见考点（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学基本不等式及其应用12种常见考点考点1基本不等式的内容及辨析1．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.【详解】解：由图知：，在中，，所以，即，故选：C2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设AC=a，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论．【详解】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.3．（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“a+b≥2”是“”的（

）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】若a+b≥2，则成立，当且仅当时取等，若，不妨设，则a+b≥2不成立，所以“a+b≥2”是“”的充分不必要条件.故选：C.4．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式判断．【详解】x，y都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D．考点2由基本不等式比较大小5．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A选项，根据的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式，即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决.【详解】因为，所以，对于A项：，当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误；对于B项：因为，所以，，当时取得等号，此时，故B错误；对于C项：因为，所以，所以，于是等价于，等价于，构造函数，，所以在1,+∞上单调递增；所以恒成立，所以不等式成立，故C正确；对于D项：根据B选项的分析，，则，即，当时取得等号，此时，故D错误.故选：C6．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可.【详解】因为，所以，即，所以，即；因为，所以，即，所以，即；因为，所以，即，所以，即；又因为，且，所以，所以，所以；综上所述，.故选：A.7．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列、等比数列的性质，利用二次函数及均值不等式可得解.【详解】因为数列an为等差数列，所以，因为bn为等比数列，所以，而，所以，故A对C错；因为，而可同为正数也可同为负数，当时，，当时，所以，大小不确定，故BD错误.故选：A8．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，由导数分析函数在0,+∞上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可.【详解】设，则在0,+∞上单调递减，所以，所以，，，，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在0,+∞上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可.9．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.【分析】由，得，所以，A正确．因为，所以，所以0，所以，B正确．因为，所以，当且仅当时取等号，所以，C正确．因为，所以，D错误．故选：ABC．10．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.【详解】A.，当时，等号成立，故A正确；B.，当时，等号成立，故B正确；C.，故C正确；D.，当时等号成立，故D正确.故选：ABCD11．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（

）本号资料全部来源于微信公众号：数学第*六感A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由条件求出，结合对数运算，基本不等式逐项判断即可.【详解】因为，所以，，所以，A正确；，B正确，，C错误，由，可得，D正确，故选：ABD.12．【多选】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．【详解】∵，∴即，∴，A正确；由基本不等式知：，当且仅当时等号成立又，∴∴即,当且仅当时等号成立；已知,故，B正确;令，，C错误；令，，分母为零无意义，D错误．故选：AB．13．【多选】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知正数a，b满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出的范围并结合均值不等式判断AB；举例说明判断C；利用不等式性质推理判断D作答.【详解】由，，得，即，而，则，A正确；显然，当且仅当时取等号，则，B正确；取，，则满足，，此时，C错误；由，得，即a>2，于是，同理，则，D正确．故选：ABD14．（2023·四川成都·模拟预测）已知分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据函数的奇偶性算出表达式，然后利用的单调性，奇偶性，结合对数函数的单调性，对数的运算性质进行大小比较.本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】，用代替，，根据分别为上的奇函数和偶函数，于是，结合可得.故，设，则，根据基本不等式和余弦函数的范围，，，于是，则g′(x)在上单调递增，注意到，于是时，递增.由于是偶函数，根据对数的性质，，，于是，，，故只需要比较的大小.由，，根据基本不等式，，故.由于时，递增可知，，结合是偶函数可得，，即.故选：C15．（2024·山西晋城·一模）定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】B【分析】由题先分析出实数，，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为，所以在，，中，负数的个数为1或3，又，所以在，，中，1个为负数，2个为正数，不妨设，则．因为，所以，因为，所以，则，故的最大值是，无最小值．故选：B.16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（

）本号*资料全部来源*于微信公众号：数学第六感A．B．a1<a2 C．a1【答案】B【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.【详解】由题意得，，因为，故，，即a1故选：B考点3由基本不等式证明不等关系17．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，且满足.(1)证明：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用基本不等式可得，由，再结合基本不等式即可证明；（2）配方得到，从而可得，令，从而利用二次函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，当且仅当时，等号成立.，当且仅当时，等号成立.（2）因为，所以，令，则，因为的开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，所以，即的最小值为.18．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知a，b，c均为正实数，且．(1)求abc的最大值；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）变形后，利用三元基本不等式求出最值；（2）变形后，利用基本不等式“1”的妙用进行求解【详解】（1），当且仅当，即时等号成立．（2）证明：，当且仅当同时成立，即时等号成立．19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，实数满足．(1)解不等式；(2)证明：对任意实数，使．【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）根据条件，利用“零点分段法”，即可求出结果；（2）利用三角绝对不等式得到，再利用重要不等式得到，即可证明结果.【详解】（1）因为，由，得到，当时，得到，解得，当时，，所以x∈∅，当时，得到，解得，综上，不等式的解集为或.（2）因为，当且仅当时取等号，即时取等号，因为，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以对任意实数，使.20．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．(1)若，求证：；(2)若a，b，，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证；（2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明.【详解】（1）因为，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，整理得，所以．（2）解法一：因为，且a，b，，所以，，，所以，同理可得，，以上三式相加得，当且仅当时等号成立．解法二：因为，且a，b，，所以，，，且，所以，当且仅当时等号成立．21．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题意，根据基本不等式可得，利用作差法，结合立方和公式和基本不等式计算即可证明；本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感（2）由题意可得，结合基本不等式计算即可证明.本号资料全部来源于微信公众号：*数学第六感【详解】（1）由，且可得，故，当且仅当时等号成立．，，当且仅当时等号成立．（2），当且仅当时等号成立．故．22．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证；（2）由，结合基本不等式，即可得证.【详解】（1）证明：因为正数满足，由，当且仅当a=b=c时，等号成立，本号资料全部来#源于微信公众#号：数学第六感可得，即，所以，当且仅当a=b=c时，等号成立.（2）证明：由，当且仅当，即，等号成立.所以.23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由关于三个重要不等式左右分别相加，得到，结合题设条件推得代入即得；（2）先证明三维的柯西不等式，再利用柯西不等式将左式化成，再构造不等式，化简得到，代入条件即得.【详解】（1）因为为正数，，所以，因为，所以，当且仅当a=b=c时等号成立，所以.（2）先证明三维的柯西不等式.已知求证:,当且仅当时取等号.证明：设①当，即时，不等式显然成立；②当时，∵对于任意实数，都有,当且仅当时取等号,∴，即∴,当且仅当时取等号.故得证.由柯西不等式，得，即.因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故得：.考点4基本不等式求积的最大值24．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值.【详解】，，设，则，，当x=2x，即，时等号成立，所以的最大值为.故选：D25．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为．【答案】/0.25【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以有最大值为.故答案为：.26．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则.【答案】【分析】先利用对数的运算法则进行化简，，右边使用不等式，根据不等式的传递性，，换元后利用函数的单调性得，所以只能，再根据取等条件求出即可.【详解】，，即，根据不等式得，，令，所以，因为，所以.，，所以，单调递增，单调递减，所以，即，，所以只能，即，所以，当成立，即，所以.故答案为：.27．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为【答案】【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为.【详解】由，因为，所以上式，又因为，，由均值不等式得：，利用函数在区间上是单调递减可知：，当且仅当时取到最小值.故答案为：28．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为【答案】【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解.【详解】因为且，则，解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，则，即的最大值为故答案为：29．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为.【答案】/0.25【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果.【详解】因为，即，当且仅当时取等号，，即的最大值为.故答案为：.30．【多选】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.【详解】对于A：∵，，.∴，.当且仅当，即，，取“”，∴A正确；对于B：，由（1）知，∴.∴.∴B正确；对于C：.∴，∴C错误；对于D：，当且仅当，即，取“”，∴D正确.故选：ABD.31．【多选】（2022·广东佛山·一模）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（）A．若，则 B．的最大值为C． D．角的最小值为【答案】ABC【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判断C选项.【详解】选项A，若，由余弦定理，得，所以，则三角形面积，A正确；选项B，由基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，由余弦定理可得，则，B正确；选项C，因为边上的中点为，所以，而，即，则，所以，故C正确；选项D，因为，即，所以由余弦定理得，又，且函数在上单调递减，所以，D错误.故选：ABC.32．（2024·四川·模拟预测）设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】画出图形，即可得到，由正弦定理求出，再由勾股定理得到及，最后由面积公式及基本不等式计算可得.【详解】如图所示：为直角三角形，，则，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以是的中点，由，又，，所以，又，所以，当且仅当时取等号，即面积的最大值为.故选：B33．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50【答案】B【分析】由，利用等差数列的性质推出，再利用基本不等式计算即得.【详解】由可得，因则等差数列an的公差d≥0，故，则，当且仅当时取等号，即当时，取得最大值25.故选：B.考点5基本不等式求和的最小值34．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断．【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错；选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确；选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错．故选：B．35．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：D36．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知，则的最小值为.【答案】20【分析】由可得，再由基本不等式求解即可.【详解】依题意，，由可得，所以，等号成立当且仅当.故答案为：20.37．【多选】（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D．【详解】由题意，得，，，对于A，，故A正确；对于B，取，，则，故B错误；对于C，取，，则，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：AD38．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为．【答案】8【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.【详解】因为，（且），所以函数（且）的图象恒过定点，所以，所以，，，当且仅当，即等号成立，即的最小值为.故答案为：.39．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，由基本不等式可得，则由，代入即可得到答案.【详解】由题知，，b2=1，即，，则，因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：D.40．（2024·江西·模拟预测）已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量平行，得到，结合基本不等式即可求.【详解】由题意，因为，所以，又，所以，当且仅当即时等号成立．故选：A41．（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为．【答案】【分析】由余弦定理、基本不等式得出cosB【详解】，当且仅当，即为等边三角形时，，又

．故答案为：.42．（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【详解】因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象，所以的对称中心为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选：A43．（2024·宁夏石嘴山·三模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则取最小值时，n=（）A．4 B．12 C．16 D．6【答案】A【分析】由函数找到定点，得到一个关于的等式，利用它们都是正数，结合代换1思想，最后可用均值不等式来求出最小值.【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，又因为，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：A.44．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是【答案】8【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，又，所以函数单调递增，又，所以，所以，即，所以，当且仅当，即，，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.45．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为．【答案】【分析】根据给定的递推公式探求得数列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得.【详解】正项数列中，由，得，则，即数列是以4为周期的周期数列，而，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是求出数列的周期，再借助周期性求前n项和.46．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.（1）若，则；（2）与的面积之比的最小值为.【答案】/【分析】根据，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得，根据三点共线可得，利用三角形的面积公式可得，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）；（2）因为，所以，因为M，O，N三点共线，故，即，又因为，而，，则，即，当且仅当时取等号，所以与的面积之比的最小值为.故答案为：；.考点6二次与二次（或一次）的商式的最值47．（2021·浙江嘉兴·二模）若正实数，满足，则的最大值为．【答案】【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2（）2+，然后结合二次函数的性质可求．【详解】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝，则＝＝＝﹣2（）2+，当，即b＝2时取得最大值．故答案为：．【点睛】思路点睛：b+3a＝2ab，可解出，采用二元化一元的方法减少变量，转化为的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.48．（2021·天津河西·模拟预测）函数的最小值为.【答案】9【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.【详解】因为，则，所以，当且仅当即时等号成立，∴已知函数的最小值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.49．（2020·江苏南通·二模）已知，，，则的最大值为.【答案】【解析】由已知可得，令，则原式，利用基本不等式即可解决.【详解】由已知，所以，故，令，原式，当且仅当，即，时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值的问题，涉及到对数的运算性质，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.50．（2018·江苏常州·一模）已知，，2x+y=2，则的最大值为.【答案】【详解】由题，而即，当且仅当，即时取等号则，故答案为．51．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是．【答案】2【分析】变形式子，由均值等式求最值即可.【详解】因为，所以，当且仅当．即时，等号成立．故答案为：252．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为.【答案】16【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可.【详解】由，则，而，故当时，目标式最小值为16.故答案为：1653．（2023高三·全国·专题练习）函数的最大值为.【答案】/【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.【详解】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.考点7基本不等式“1”的妙用求最值54．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为．【答案】【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论．【详解】正数，满足，，当且仅当即时取等号．故答案为：．55．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：56．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为．本*号资料全部来源于微信公众*号：数学第六感【答案】9【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解.【详解】，当，即，联立，得到时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：957．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：58．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为．【答案】【分析】根据数量积的坐标表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范围.【详解】因为，，，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的取值范围为.故答案为：59．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为．【答案】【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故答案为：.60．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．【答案】/．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】由，得，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：．61．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为．本号资料全部来源于微信公众#号：数学第六感【答案】12【分析】令，，从而可得，，再根据，结合基本不等式求解即可.【详解】令，，则，，且，，所以，．又，所以，当且仅当，，即，时，等号成立．故答案为：1262．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为.【答案】【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论.【详解】令时，可得，可知函数，且的图象恒过定点，因为定点在直线上，可得，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.63．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是.【答案】【分析】由，得到，从而有，再根据三点共线，得到，然后利用基本不等式求解.【详解】解：因为在中，，所以，又因为，则，因为三点共线，则，结合题意知，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：64．（2024·广西柳州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=2π3，的平分线交AC于点D，且，则a+4c的最小值为．【答案】【分析】利用三角形面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则的面积为12ac则ac=2a+2c，所以1a+1故a+4c=(a+4c)1当且仅当4ca=a所以a+4c的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用角平分线与三角形面积公式得到的关系式1a+65．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是．【答案】8【分析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值.本号资料全部来源于微*信公众号：数学第六感【详解】因为，所以．因为，，三点共线，所以，所以．当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值是8.故答案为：866．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为．【答案】【分析】根据平均数得到方程，求出，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由题意得，解得，由于，故，当且仅当，时，等号成立.故答案为：考点8条件等式求最值67．（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，得到，从而，故，而，故，又，故，从而．设函数，则，观察易得在0,+∞上单调递增，故，又，所以．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为．【答案】【分析】解法1、根据题意，得到，结合基本不等式求得，进而求得的最大值；解法2、根据题意，得到，利用权方和不等式得，进而求得的最大值．【详解】解法1、由，可得，由基本不等式得，可得，所以，当且仅当时取等号，联立方程组，解得，，故的最大值为2．解法2、由，可得，因为，由权方和不等式得，即，所以，当且仅当，即时取等号，联立方程组，解得，，故的最大值为2．故答案为：.69．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为.【答案】4【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【详解】由可得，因为，所以，即，则，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.70．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（用表示）．本号资料全部来源于微信公*众号：数学第六感【答案】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.【详解】因为是正实数，，所以，当且仅当时取等号，于是，所以的最大值为.故答案为：71．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为．【答案】/【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得.【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为．故答案为：．72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为．【答案】2【分析】依题意得，再利用基本不等式求解.【详解】依题意得，则，即，则，解得，则的最大值为2．当且仅当时取得最大值.故答案为：2.73．（2023·全国·模拟预测）已知，b>12，，则的最大值为．【答案】/【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.【详解】令，，则，，，，，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立．故答案为：74．（2023·山西·模拟预测）已知，且，则的最小值是.【答案】8【分析】通过对变形可得和，然后利用基本不等式可解.【详解】因为，所以，所以，所以.又，所以，即，即，所以，则，当且仅当时，等号成立.故答案为：8考点9基本不等式的恒成立问题75．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（

）A．2+22 B．4 C． D．【答案】A【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，，又，所以，即，因为，，所以，所以，所以，又，即，所以，所以，令，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，则实数的最大值为2+22.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值.76．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当，所以，，故实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.77．（23-24高二下·陕西西安·期末）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题化为，利用基本不等式求左侧的最小值，注意取值条件，即可得参数范围.【详解】由题意，只需在时即可，又，则，故，当且仅当时等号成立，故，所以，即.故选：A78．（2023·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】参变分离可得，再设，结合基本不等式求解的最小值即可.【详解】解析依题意知，，结合，知，不等式转化为，须.设，由，知，设，当且仅当，即，时等号成立，因此实数的取值范围是.故选：A79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可.【详解】因为且，所以，当且仅当时取等号．因为不等式恒成立，所以，解得．故答案为：.80．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围.【答案】【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围.【详解】因为不等式恒成立，所以，由，，可得，当且仅当时等号成立，所以，解得.所以的取值范围为.故答案为：.81．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为．【答案】【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.【详解】∵，则，原题意等价于对任意恒成立，由，，则，可得，当且仅当，即时取得等号，∴，解得．故正实数的取值集合为.故答案为：．82．（2024·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数．（1）若的图象过点，则的最小值为；（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为．本号资料全*部来源于微信公众号：数学第六感【答案】9【分析】（1）由的图象过点得，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；本号资料全部来源#于微信公众号：数学#第六感（2）由的图象过点得，进而得出，利用换元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值．【详解】（1）由的图象过点得，，即，所以，当且仅当，即时等号成立．由恒成立得，，（2）因为的图象过点，则，即，当时，不合题意舍，所以，即，则，则由得，所以，设，所以，当且仅当，即，则时，等号成立，故答案为：9；．【点睛】方法点睛：第二空由的图象过点得出，代入消元得出关于的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．考点10对勾函数求最值83．（2024高二·全国·竞赛）设函数，则下列结论中正确的是（

）．A．在递增 B．在递减C．的最小值是 D．不存在反函数【答案】D【分析】由基本不等式可判断C；由双勾函数的性质可判断A，B；在其定义域内非单调函数，不存在反函数，可判断D.【详解】当时，,当且仅当，即时取等，当时，,当且仅当，即时取等，故C错误；由双勾函数的性质可得：在上递减，上递增．故A、B不正确．在其定义域内非单调函数，不存在反函数，故D正确.故选：D.84．（2022高三·全国·专题练习）给出四个命题：①的最小值为2；②的最大值为；③的最小值为2；④的最小值为4．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本不等式可判断①的真假，取特殊值，举反例可判断②③的真假，利用换元，结合函数的单调性可判断④的真假，即得答案.【详解】对于①，，则，当且仅当，即时取得等号，即的最小值为2，正确；对于②，当时，，②错误；对于③，满足且，当时，，③错误；对于④，令，则在上单调递减，故时，取到最小值5，即的最小值为5，④错误，故真命题的个数是1，故选：A85．（22-23高一上·全国·阶段练习）函数的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】结合对勾函数的性质即可求解.【详解】根据对勾函数的性质，当时，函数为增函数，故当时，有最小值，故选：B.86．【多选】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（

）A．若，则函数y=x2B．函数最小值为C．当D．最小值等于4【答案】BC【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解【详解】A选项，令，则，由对勾函数性质可知，y=t+1t在故，故y=x2+4B选项，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故函数最小值为，B正确；C选项，当时，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故，C正确；D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，故，D错误.故选：BC87．【多选】（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】因为x≥1，所以(当且仅当x＝2时取等号)；，但是等号取不到；因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号；因为x≥1，所以(当且仅当x＝1时取等号).故选：ACD.考点11容积的最值问题88．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.【答案】米，米；立方米【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解.【详解】由题意，，即，，所以，即，解得，当且仅当，即时等号成立，因为，所以.即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米.89．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

【答案】长为m，宽为m时总造价最低．【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出．【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，，当且仅当，又，即，时取到等号，故长为m，宽为m时总造价最低．90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为元．【答案】【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案.本号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m，所以房屋的总造价为，因为，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：.91．（2023·山东·模拟预测）如图，在中，∠BAC=π2，，为所在平面外一点，的面积为，且平面PAC⊥平面，，则三棱锥体积的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】设，则，得，设，结合面面垂直的性质、余弦定理、等积转换与基本不等式，即可求得三棱锥体积的最大值.【详解】因为平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面，又，平面所以平面PAC，因为平面PAC，故，设，则，得，设，在中，由余弦定理得，所以，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥体积的最大值为．故选：D．考点12基本（均值）不等式的应用本*号资料全部来源于微信公众号：数学第六感92．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为，比较两种方案，沙坑面积最大值为.【答案】（其中，），或，/【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；（2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.【详解】连接，由，，，，得，在中，，由，得，显然在上单调递减，所以满足的关系式为（x∈(0,1)，）或，；

方案1：设游泳池的面积为，由（1）得，解得，当且仅当2x=y，即，时取等号，所以；方案2：设游泳池的面积为，取的中点，连接，，设，，在中，，则，解得，当且仅当时取等号，，而，所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.故答案为：（x∈(0,1)，），或，；【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键.93．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面米处观看?（精确到0.1米）.本号资料全部来源于微信公众号：数学#第六感【答案】3.2【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可.【详解】如图：作于，设，则，.所以（当且仅当时取“”）又，故（米），故答案为：3.294．（2024·山东济南·三模）三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（

）A． B． C．18 D．36【答案】C【分析】由线面垂直得到线线垂直，推出该三棱锥的最长的棱为，故，最短的棱为或，分三种情况，利用锥体体积公式和基本不等式求出体积的最大值，得到答案.【详解】因为平面，平面，所以，，故，因为，所以，故，则该三棱锥的最长的棱为，故，最短的棱为或，当最短的棱为，即时，由勾股定理得，故，故，当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积为，当最短的棱为，即时，设，则，则，故，三棱锥体积为，当且仅当，即时，等号成立，当最短的棱为，即时，设，则，则，故，三棱锥体积为，当且仅当，即时，等号成立，综上，该三棱锥的最大体积为18.故选：C95．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且#本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感(1)求；(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由题设条件重新组合后将证明替换成，再利用正、余弦定理即可求得；（2）利用三角形中线的向量表达式和向量数量积的定义式，可推得，根据余弦定理和基本不等式求得，代入即可计算得到.【详解】（1）由，得(*).因为，所以，由正弦定理，得，代入（*）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推论，得.（2）由余弦定理，得，即，所以，当且仅当时等号成立，故得.又，两边平方可得，，所以，即线段长度的最大值为.96．（2024·湖南常德·一模）已知的内角的对边分别是，且.(1)判断的形状；(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.【答案】(1)等腰三角形(2)3【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明；（2）先用基本不等式证