一文搞定基本不等式二次不等式19类题型（学生版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学一文搞定基本不等式，二次不等式19类题型TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型一基本不等式的直接使用题型二“1”的妙用：乘1法和1的代换一、乘“1”法二、“1”的代换题型三配凑法题型四整体法或换元（与）单分母换元双分母换元题型五二次比一次型题型六和，积，平方和互相转化题型七消元法题型八因式分解型题型九齐次式：分离常数型题型十同除型题型十一根式平方和为定值型题型八判断基本不等式能否成立（易错）题型九基本不等式恒成立与能成立问题题型十基本不等式的实际应用问题（涉及调和平均）题型十一对勾函数题型十二一元二次方程，不等式常考问题R上的恒成立·判别式法有区间限制的恒成立恒成立·变更主元能成立问题解含参一元二次不等式一元二次方程根的分布题型十三与指数对数结合的基本不等式问题题型十四万能“k”法题型十五不等式的性质中档题汇编一、利用基本不等式求最值的技巧(1)利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。(3)条件最值的求解通常有两种方法:一是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;二是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解二、调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：若，则（当且仅当时取“=”）使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，本号资料全部来源于微信公#众号：数#学第六感三、常用不等式链：（主要用于和积转换）四、对分母进行换元若分母中出现有“+”，“－”符号可以考虑进行换元如，可以令，则有，求的最小值，就变成了常规的乘“1”法五、不等式中恒成立问题的求解恒成立问题是高考中的高频考点,由于我们所学知识有限,与函数有关的问题我们还只能就一次、二次函数进行一些讨论,尽管恒成立问题在函数、数列、解析几何中都会有涉及,但我们目前只能了解这类基本解答模型,还不能就更多内容进行深入讨论。求解含有参数的不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想的应用。(1)判别式法：对于含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决,这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。(2)变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。（3）数形结合法（4）变量分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x的关系,那么a>y恒成立⇔a>ymax;a<y六、含参不等式的求解问题(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0,Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的实根(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像在x轴上方的部分,满足不等式ax2+bx+c>0;图像在七、柯西不等式：课本之外的，基本用不到若，则（当且仅当，即时取等号）.八、“万能K法”（也是基本用不到，属于凑数的）设K法的三个步骤：⑴问谁设谁：求谁，谁就是K；⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值九、一元二次不等式(其中a>0)的解集.Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不等的实根(x1＜x2)有两个相等的实根(x1＝x2)没有实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}题型一基本不等式的直接使用（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）若，，且，则的最小值是________若，，则的最小值为______．若，，则的最小值为______．题型二“1”的妙用：乘1法和1的代换一、乘“1”法（2023上·广东广州·高一广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________（2023上·广东深圳·高一深圳中学校考）已知且，则的最小值是．已知，且，求的最小值．已知正数x、y满足，求的最小值为______．若，且，则的最小值为．二、“1”的代换通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）若，，且，则有最小是________已知，，，则的最小值为．已知实数x，满足，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．8正实数，满足，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．已知正实数x，y满足，则的最小值为．已知，则的最小值是．题型三配凑法加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．已知实数x＞3，则的最小值是（）本号资料全部来源于微信公众*号：数学第六感A．24B．12C．6D．3若，则函数的最小值为（）A．B．C．6D．4当时，（）A．有最大值1B．有最大值2C．有最小值5D．有最小值已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（）A．36B．4C．16D．9已知，，且，则的最小值为（）A．4B．8C．16D．32已知正数a，b满足，则的最小值为．题型四整体法或换元（与）单分母换元已知，则的最小值是（）A．6B．8C．4D．9若，，，，则的最小值为．（2023·深圳外国语学校校考）已知x，y为正实数，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3已知，其中，，，则的最小值为．双分母换元（2022·深圳外国语学校校考）若正实数满足，则最大值为________已知正数满足，则的最大值是（）A．B．C．D．（2022·深圳外国语学校校考）若正实数满足，则最小值为________已知x，y为正实数，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是．题型五二次比一次型（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考）求函数，的最小值．函数的最小值为______．当时，求函数的最小值．求的最小值函数的值域是（

）A． B． C． D．题型六和，积，平方和互相转化（2023上·重庆·高一重庆巴蜀中学校考）已知实数，满足，则的最大值为________已知，，且，则的最小值为．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为．若，，，则的取值范围是．本号资料全部来源于微信公众**号：数学第六感（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）若，，且，则的最大值是________（2023上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考）（多选）若正实数、满足，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．．已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3（1）求ab的取值范围；（2）求a＋b的取值范围；（3）求4a＋b的最小值题型七消元法在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．已知，，且，则的最小值是________（2023上·广东广雅中学高一校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．若，，且，则的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3（2023·深圳外国语学校高一校考）（多选）已知，且，则（

）A． B．的最大值为4C．的最小值为9 D．的最小值为已知(1)若，求的最小值及此时的值；(2)若，求的最小值及此时的值；(3)若，求的最小值及此时的值．题型八因式分解型设，为正实数，若，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1（2023··重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9若，且，则的最小值为（）A．3B．C．D．本号*资料全部来源于微信公众号：数学第六感已知，，，，则的最小值为A．8 B．10 C． D．题型九分离常数型若，则函数的最小值为（）A．4B．5C．7D．9已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解．【详解】因为，，，所以，，所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B．已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．5题型十同除型已知正数x，y满足，则的最大值为．设正实数、、满足，则的最大值为（）已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y²＝1，求12x2＋8xy－y2的最小值．题型十一根式平方和为定值型已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值．已知为正实数，且，求的最大值若x>0，y>0，且2x2＋eq\f(y2,3)＝8，则xeq\r(6＋2y2)的最大值为________．题型八判断基本不等式能否成立（易错）（2023·商丘·高一联考）（多选）下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．（多选）下列命题中，真命题的是（

）本号资料全部来源于微信公众号：数学第*六感A．，都有B．，使得C．任意非零实数，都有D．若，则的最小值为4（多选）下列命题中，真命题的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零实数，都有D．若，则的最小值为4（2023·深圳实验高一校考）（多选）下面结论正确的是（

）A．若，则的最大值是B．函数的最小值是2C．函数（）的值域是D．，且，则的最小值是3题型九基本不等式恒成立与能成立问题（2023·重庆南开中学高一期末）已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．（2023上·重庆八中校考）已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10本号资料*全部来源于*微信公众号：数学第六感（2023上·湖北黄冈·高一统考）对满足的任意正实数x，y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是．（用区间或集合的形式表示）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型十基本不等式的实际应用问题（涉及调和平均）不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（

）A．第一种方案更划算B．第二种方案更划算C．两种方案一样D．无法确定甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度，在后一半路程用速度，平均速度为；第二种：在前一半时间用速度，在后一半时间用速度，平均速度为；则，的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为()A．ab≤a＋b2(a＞0，bB．a＋b2＜2aba＋b(a＞0，b＞0，C．2aba＋b≤ab(a＞0，bD．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞（多选）给出下面四个结论，其中不正确的是（）A．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．则若n次(n≥2)购买同一物品，用第一种策略比较经济B．若二次函数f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在区间(－1，1)内恰有一个零点，则由零点存在定理知，实数a的取值范围是C．已知函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则3b＋2a的取值范围是D．设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x，则△ADP的面积是关于x的函数且最大值为第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x(x>0)台，需另投入成本y1万元．若年产量不足80台，则y1＝eq\f(1,2)x2＋40x；若年产量不小于80台，则y1＝101x＋eq\f(8100,x)－2180．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？题型十一对勾函数（2023上·常德市一中校考）已知函数．若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．已知函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______．函数在上的值域是．题型十二一元二次方程，不等式常考问题R上的恒成立·判别式法（2023上·广东深圳·高一校考）若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（

）A． B． C． D．（多选），关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．有区间限制的恒成立通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题函数，当时，恒成立，则a的取值范围是________（2023上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是．设对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围为．已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是．本号资料全部#来源于微信公众号：数学第六感若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是．恒成立·变更主元转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为．若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是．函数，若恒成立，则实数x的取值范围是．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围．已知12⩽m⩽3，不等式x2+mx+能成立问题能成立问题可以转化为m>ymin或m＜ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．若存在实数，使mA． B． C． D．关于的不等式在内有解，则的取值范围为．若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求实数m的取值范围．解含参一元二次不等式对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏解关于的不等式：．解下列关于的不等式：．一元二次方程根的分布方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是．方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为．关于的方程在区间内有