2023艺术生新高考数学讲义 第37讲 圆锥曲线常规解答题（学生版+解析版）

第37讲圆锥曲线常规解答题

【知识点总结】

一、直线/与圆锥曲线c的位置关系的判断

判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Ax+By+c=0

代入圆锥曲线C的方程尸（x,y）=O，消去y（也可以消去x）得到关系一个变量的

Ax+By+c=0,3

一元二次方程,，即/C，消去y后得依2+区+c=0

Fg)=0

（1）当a=0时，即得到一个一元一次方程，则/与C相交，且只有一个交点,此时，

若C为双曲线,则直线/与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线，则直线/与抛物线

的对称轴平行

（2）当awO时,△>（），直线/与曲线C有两个不同的交点；A=0,直线/与曲

线C相切，即有唯一的公共点（切点）；A<0，直线/与曲线C

二、圆锥曲线的弦

连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦

直线l:f{x,y]=Q，曲线C:F（x,y）=O,A,B为/与C的两个不同的交点，坐标分别为

A（x22）,则（5为）是方程组的两组解,

尸［,y)=0

方程组消元后化为关于尤或y的一元二次方程A/+Bx+c=0（ANO）,判别式

A=B2-4AC，应有A>0，所以“与是方程A/+8x+c=0的根,由根与系数关

系（韦达定理）求出/+Z=-且，尤再=£，所以A8两点间的距离为

AA

22

|AB|=V1+k\xf-X2|=yjl+kJ（X[+x?）2=J1+^??，即弦长公式，弦长

一一|AI

公式也可以写成关于y的形式

2

,同=&+公认-y2|=Jl+k瓜+川一4yM伍丰。）

三、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量一函数一定值”，具

体操作程序如下：

（1）变量--选择适当的量为变量.

（2）函数--把要证明为定值的量表示成变量的函数.

（3）定值--化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.

求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.

四、求最值问题常用的两种方法

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.

（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求

函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.

五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”

（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）.

（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用.

（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）.

【典型例题】

例1.（2020•全国•高三专题练习）设抛物线C：炉=2加（〃＞0）的焦点为/，/（°,0-1）是。上的点.

（1）求C的方程：

（2）若直线/：丫=依+2与C交于A,B两点，且|A斗怛?|=13,求上的值.

例2.（2020・全国•高三专题练习）已知椭圆!+£=人＞0）过点/（0,2）,离心率e邛.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线＞=x+l与椭圆相交于A、B两点，求LMB.

22o

例3.（2021.宁夏.海原县第一中学高三期末（理））设椭圆c：3+}=l（a＞人＞0）过点（0,4）,离心率为己

（1）求C的方程；

（2）求过点”（3,1）且以M点为中点的弦的方程.

2

例4.（2021•江苏.南京市中华中学高三阶段练习）已知双曲线E:尤2一当=i（b＞o）的离心率为2.

b~

（1）求双曲线E的方程；

（2）设点P（0,-3）,过点。（0,1）的直线/交E于不同的两点A,B,求直线B4,尸8的斜率之和.

例5.（2021・全国•高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，设点厂（1,0）,直线/：x=-l,点尸在直

线/上移动，R是线段尸尸与y轴的交点，RQLFP,PQ"

(I)求动点。的轨迹c的方程；

(2)直线x=7砂+4与曲线C交于A,B两点，函.砺是否为定值，若是求出该定值，若不是说明

例6.(2020•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，直线/与抛物线俨=4x相交于不同的两点A,

B,且/不过原点.

(1)若丽•砺=—4,证明直线/必过定点，并求出定点坐标；

(2)若证明直线/必过定点，并求出定点坐标；

(3)若直线/始终过点(1,0),证明：次.砺为定值，并求定值.

例7.(2022•全国•高三专题练习)己知椭圆G：「+/=l(a>6>0)的离心率为母，椭圆G的长轴是圆

。2：/+/=2的直径

(1)求椭圆C1的标准方程;

(2)过椭圆G的右焦点尸作两条相互垂直的直线4,其中4交椭圆G于尸，。两点，4交圆C?于

N两点，求四边形PMQN面积的取值范围.

【技能提升训练】

1.(2021•全国•高三专题练习(文))已知椭圆的长轴在无轴上，长轴长为4,离心率为正,

2

（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.

（2）直线》-2丫-2=0与椭圆交于A,B两点，求A,2两点的距离.

2.（2021•河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知椭圆W:上+/=1,直线/过点（0,-2）与椭圆W交于两

4'

点A,8,。为坐标原点.

（1）设C为A3的中点，当直线/的斜率为I■时，求线段OC的长；

（2）当△。钻面积等于1时，求直线/的斜率.

3.（2020•全国•高三专题练习）经过椭圆工+9=1的左焦点尸1作倾斜角为60。的直线/,直线/与椭圆相交

2

于A,8两点，求A8的长.

22

4.（2021.福建省厦门集美中学高三阶段练习）椭圆E:二+与=l（a>b>0）的左右焦点分别为片，工，焦距

ab

为2&，。为原点.椭圆E上任意一点到月，居距离之和为2道.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点尸（0,2）的斜率为2的直线/交椭圆E于A、8两点，求的面积.

5.（2021•全国•高三专题练习）已知①如图，长为2VL宽为g的矩形ABCD,以A、8为焦点的椭圆

..x2y2

J卡铲=1恰好过8两点

②设圆（x+道>+;/=16的圆心为S,直线/过点7（石,0）,且与x轴不重合，直线/交圆S于8两点，过点

T作SC的平行线交于M,判断点M的轨迹是否椭圆

（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆”的标准方程;

（2）根据（1）所得椭圆M的标准方程，若直线，：y=&+2与椭圆相交于尸、。两点，求工.。。的最值.

6.（2021•吉林・长春市第二实验中学高二阶段练习）点"（x,y）与定点口（2,0）的距离和它到定直线彳=8的距

离的比是1:2.

（1）求点M的轨迹方程.

（2）求轨迹M的以（2,1）为中点的弦所在直线方程.

22

7.（2022・全国•高三专题练习（理））已知椭圆C：=+当=13>6>0）的左、右焦点分别为耳，F2,离心率

ab

为叵,过点匕的直线/交椭圆C于A,3两点，的中点坐标为（-：二）.

（I）求椭圆C的标准方程；

（2）求AA鸟8的面积.

22_

8.（2021•全国•高三专题练习（理））已知焦点在x轴上的椭圆C：=+与=Ka>b>0）,短轴长为26，

ab

椭圆左顶点到左焦点的距离为1.

（I）求椭圆c的标准方程；

2

（2）如图，已知点尸（§,0）,点A是椭圆的右顶点，直线/与椭圆C交于不同的两点E,F,E,尸两点都在x

轴上方，且=证明直线/过定点，并求出该定点坐标.

9.（2021・全国•高三专题练习）已知直线/：4x+3y+10=0,半径为2的圆C与直线/相切，圆心C在x轴上且在

直线/的上方.

（1）求圆C的方程；

（2）设过点P（l,l）的直线4,被圆C截得弦长等于26,求直线人的方程；

（3）过点/。,0）的直线与圆交于48两点（A在x轴上方），问在无轴正半轴上是否存在点N,使得x轴平分

NAA有?若存在，求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

22

10.（2017•陕西渭南•二模（理））己知P,。是椭圆E:1r+%=1（。>6>0）上关于原点。对称的任意两点，

且点P,Q都不在x轴上.

（1）若。（凡0）,求证：直线尸。和的斜率之积为定值;

（2）若椭圆长轴长为4,点A（O,1）在椭圆E上，设M,N是椭圆上异于点A的任意两点，且4"，4V.问直

线儿W是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

22

11.（2022.全国•高三专题练习）已知椭圆C：'+当=l（a>b>0）的右焦点后与抛物线V=4x的焦点重合，

ab

且其离心率为3.

（I）求椭圆c的方程.

（2）已知与坐标轴不垂直的直线/与C交于N两点，线段MN中点为P,问：为坐标原点）

是否为定值？请说明理由.

12.（2021・全国•高三专题练习）已知①如图，长为2g,宽为1的矩形ABCD,以A、8为焦点的椭圆

②设圆（尤+右）2+y2=16的圆心为S,直线/过点7（出,0）,且与x轴不重合，直线/交圆5于口）两点，过点

T作SC的平行线交SD于判断点”的轨迹是否椭圆

（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M的标准方程；

（2）根据（1）所得椭圆M的标准方程，记4，4分别是椭圆“左、右顶点，若尸是椭圆“上的动点，判

断以”"产是否为定值，并说明理由.

13.（2021•陕西・西安中学高三阶段练习（理））如图所示，抛物线关于无轴对称，它的顶点为坐标原点，点

P(l,2),A(xi,yi),8(X2,*)均在抛物线上.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）当B4与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线的斜率为定值.

22

14.（2022.全国•高三专题练习）已知A3是椭圆下方=1（°>6>0）不垂直于x轴的任意一条弦，P是A3的

中点，。为椭圆的中心.求证：直线A3和直线OP的斜率之积是定值.

15.（2021•甘肃•嘉峪关市第一中学模拟预测（理））已知椭圆C：^+4=1（a>。，6>。），离心率为无，

a2b22

且点（后,在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C上的任意一点M（除短轴的端点外）与短轴的两个端点与，的连线分别与x轴交于P,Q

两点，求证|。叩。。|为定值.

16.（2021・山西运城•模拟预测（理））已知尸（1,2）在抛物线C：y2=2px±..

（1）求抛物线C的方程；

（2）A,8是抛物线C上的两个动点，如果直线的斜率与直线尸8的斜率之和为2,证明：直线AB过

定点.

fV22

17.（2021•江苏•高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆上+方=1（6>0）的离心率e=1,Fi,B分别是

椭圆的左、右焦点，Bi,比分别是椭圆的上、下顶点，尸是椭圆上任意一点（不与81,比，重合），。为坐

标原点.

（1）若线段的中点在y轴上，求阴的值；

（2）若直线尸51,尸治分别与l轴交于点"，N,求证：QM・|O川为定值.

18.（2019•江西九江•二模（文））已知椭圆C：二=1（a>6>0）的离心率为正，其内接正方形的面

a2b22

积为4.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）设M为椭圆C的右顶点，过点（36,0）且斜率不为0的直线/与椭圆C相交于P,。两点，记直线

PM,QW的斜率分别为％,fe,求证：发业2为定值.

19.（2018・全国•一模（文））设不区为椭圆C：t+y=is>o）的左右焦点，〃为椭圆上一点，满足岫工班,

4b-

已知三角形

叫鸟的面积为1.

⑴求。的方程：

⑵设C的上顶点为“,过点（2,-1）的直线与椭圆交于R、S两点（异于丹）,求证：直线印?和的斜率之和为

定值，并求出这个定值.

20.（2021•广西桂林•高三阶段练习（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆E中心在原点，焦距为2,

右准线/的方程为无=3.过B的直线交E于A,B两点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若丽=2丽，求直线AS的方程.

22

21.（2020・四川郸都•高三阶段练习（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:讶+2=1（。>6>0）的

右焦点厂（1,0）,且离心率e=

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线/过点（0,&）且与椭圆相交于两不同点A、B,求砺.砺的取值范围.

22.（2016・宁夏•一模（理））已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，离心率e=?,椭圆上的点

到焦点的最短距离为1-孝，直线1与y轴交于点P（0,m）,与椭圆C交于相异两点A、B,且彝=簟布.

（1）求椭圆方程；

（2）求机的取值范围.

23.（2021・全国•高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点尸（2,0）,一个顶点为4（百,0）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线/:y=fcc+后与双曲线C的左右两支各有一个交点，求上的取值范围.

24.（2022.全国•高三专题练习（文））已知双曲线C:，-]=l（a>0,6>0）的其中一个焦点为（岔,0）,一条渐

近线方程为2尤-y=0

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知倾斜角为一的直线/与双曲线。交于A5两点，且线段A5的中点的纵坐标为4,求直线/的方程.

4

25.（2021•全国•高三专题练习）已知双曲线l5-5=1（“>0/>0）经过点4：20',1）且实轴长是半焦距的¥.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若直线/与双曲线C交于P,。两点，且线段尸。的中点为（1,2）,求直线/的方程.

26.（2021•全国•高三专题练习）已知双曲线C:旨-V=i.

（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点（-加,J万的双曲线的标准方程；

（2）若直线/与双曲线C交于A、2两点，且A、2的中点坐标为（1,1）,求直线/的斜率.

27.（2022・全国•高三专题练习）已知抛物线y=—N+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点4、B,求

AB的长.

28.（2021・全国•高三专题练习）已知抛物线C的焦点为尸（九0）（机>0）,N为抛物线上一点，|NF|=4|O尸|

且SANFO=百•

（1）求抛物线c的方程；

（2）过点尸且斜率为左的直线/与C交于A,B两点，|AB|=8,求直线/的方程.

29.（2020•全国•高三专题练习（文））已知抛物线y2=-x与直线>=左。+1）相交于A、B两点.

（1）求证：OA±OB；

（2）当AOAB的面积等于加时，求上的值.

30.（2021.上海.高三专题练习）若抛物线丁=4x上存在关于直线>=履+3伏力0）对称的两点，求左的取值

范围.

31.（2018・福建•莆田第十五中学高三阶段练习）已知抛物线C顶点在原点，焦为点尸（1,0）.

（I）求抛物线C的方程；

（II）求抛物线C被直线l--y=x-2所截得的弦A3中点N的坐标.

第37讲圆锥曲线常规解答题

【知识点总结】

一、直线/与圆锥曲线c的位置关系的判断

判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Ax+By+c=O

代入圆锥曲线C的方程尸（x,y）=O，消去y（也可以消去x）得到关系一个变量的

[Ax+By+c=0,,

一兀二次方程”即｛/（，消去y后得依~+6x+c=0

尸=0

（1）当。=0时，即得到一个一元一次方程，则/与C相交，且只有一个交点,此时，

若C为双曲线,则直线/与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线，则直线/与抛物线

的对称轴平行

（2）当。片0时,A>0，直线/与曲线C有两个不同的交点；A=0,直线/与曲

线C相切，即有唯一的公共点（切点）；A<0，直线/与曲线C

二、圆锥曲线的弦

连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦

直线/"（尤,y）=0，曲线C:F（x,y）=O,A,B为/与C的两个不同的交点，坐标分别为

：%，为b则4（1乂），3（%,无）是方程组下"小的两组解,

方程组消元后化为关于尤或y的一元二次方程A/+Bx+c=0（ANO）,判别式

A=B2-4AC，应有A>0，所以%,4是方程4/+丘》+。=0的根,由根与系数关

系（韦达定理）求出马+尤2=-且,%Z=£,所以两点间的距离为

AA

\AB\=J1+"-x2|=J1+公J®+%『_以占=Ji+E在，即弦长公式，弦长

公式也可以写成关于y的形式

,同=&+/6-j2|=J1+左2他+为『-4yM（k丰0）

三、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量一函数一定值”，具

体操作程序如下：

（1）变量--选择适当的量为变量.

（2）函数--把要证明为定值的量表示成变量的函数.

（3）定值--化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.

求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.

四、求最值问题常用的两种方法

(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.

(2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求

函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.

五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”

(1)重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).

(2)重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用.

(3)重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系).

【典型例题】

例1.(2020•全国•高三专题练习)设抛物线C：V=2py(p>o)的焦点为尸，/(〃°-1)是。上的点.

(1)求C的方程：

(2)若直线/：、=履+2与C交于A,B两点，且|/里•忸耳=13,求上的值.

【详解】

(1)因为是C上的点，

所以p2=2p(p-l),

因为P>0，解得P=2,

抛物线C的方程为V=4y.

(2)设8卜2，%)，

[y=kx+2

由<2/得/—4Ax-8=0,

[x2=4y

A=16左2+32>0

贝lj再+兀2=4左，石入2=-8，

由抛物线的定义知，|AF|=y+l,忸同=%+1，

则|AF|.忸典=(%+1)(%+1)=(例+3)(5+3),

2

=kxlx2+3k(^xl+X2)+9,

=48+9=13,

解得4=±1

例2.(2020•全国•高三专题练习)己知椭圆1+%=1(a>6>0)过点“(0,2),离心率《=

(1)求椭圆的方程;

（2）设直线y=x+l与椭圆相交于A、B两点,求s-

【详解】

解：（1）由题意得6=2,£=理，

a3

结合/=/+°2,解得片=12

22

所以椭圆的方程为：—+^=1.

124

匕匕1

（2）由1124得Y+3（X+1）2=12

y=x+l

即4f+6%—9=0,经验证A＞0.

设4（%,%），3（蹑%）.

39

所以七十/二一万，%,-x2=——,

故I=Jl+%2J（X]+冗2）2-4工1%2二—

因为点/到直线AB的距离d=匡＞=昱,

V22

后“0_1以句135A/2_3A/5

所以SAAMB=-X|AB|X＜7=-Xx~2^=~4~'

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程，弦长公式等，考查运算能力，是基础题.

22o

例3.（2021•宁夏・海原县第一中学高三期末（理））设椭圆C:]+方=1（。＞人＞0）过点（0,4）,离心率为g

（1）求C的方程；

（2）求过点”（3,1）且以M点为中点的弦的方程.

【详解】

⑴将（0,4）代入C的方程得*1,

b

又]a2-b29

/.Z7=4,得

a525

22

即1一1卷6=99，・・・a=5,・・.C的方程为r三十v少=1.

a252516

（2）设直线与。的交点为A（%,y）,B（x2,y2）,代入椭圆方程得

寸

2

Q

2_

%+%

=1

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-D

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